Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Если параметр ! есть время, то вектор е(() называется угловой скоростью вращения. гие — аосоеныметрвческкй опеРатоР, описываемый в системах кооРДииат пь ()- и о' (<)„я' (О, и' (О соответственно ыатрицамв 466 Ы !0-З в,о„— е,азат) взом — в,озз 1, взоаз оззозз ( взл,з — езл а лл и )И зн ( )И) = =в озз — о!заза В Оаз В)Паз вз ц> 2 (Ьр — ар — йт ->- ич) яв — ыпп — + соз и з!п В ПВ т е,о„- е,о„ в,а, — в,ом (!4.10.31> в,азз — ввоз, в, (О = 2 ((ар — и р — та ->- тц =— ир лт. т =ссзп — + з!п пз!п  —; ж' (компоненты в и> в нзиоавнжиой системе координат> (14.!0-33> вз Рб — 2 (тр — тр — АР+ АР) вм кп лч. — +совр —: ет Ф' !О =— 2(ар — Ар+ Рч — Рч) = нп . 6В = — 5!пбсо5Т +5!пт — =— е! )и ,(И к! т! имсозОсо5И +5!пф (П = — 2 (РР— РР+ их — зх)— ип лб 5!и В 5!и 1 — + со5 Т .— оп 9! кч ла = — ст 6 5(п И вЂ” + соз И вЂ”; ж (компоненте в (0 во вращающейся системс координат) (14.10-41) (!4 !0-39] (и 2(;Р тР+ Ьи — Хй) = йа Ку .
(Ф = — со5 —.. + — — = 5!пв ! — ->- — т!!/ Пр 1 °вЂ” — — (в, соз И вЂ” в, М п И), Л! соз 6 ЛΠ— - им оз, 5>п И + в, соз зр, к! (14.10-40> нф л)! — — = — (в, пи И вЂ” в, соз И) 16 6 + вп 464 ГЛ, !4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 14.10-3 подставляя (3>, (20> или (26> в (зб>, получаем соотношения между компонситами угла. вой спорости и алексисами матриц (заправляющими «осииусамн>, параметрами ЭйлеРа и углами Эйлера, В частности, !4.Н> 8.
Групна трехмерных вращений и ее представления (см. Также пп. 12.2-1 — 12.2-12 и 14.9-1 — 14.9-6). (а) Ортогональпые преобразования (1) трехмерного евклидова векторного пространства в себя необходимо ограничены и иевырождены и обрнзуют группу трехмерных вращений-отражений /с —,. Собственные вращении (де)(А)=1) образ!юг нормалы(ый делитель группы /г"„—., группу трехмерных вращений /с+. Ни группа /сз'-, ни группа /сз не коимутативны.
Вращения, кме!ощие один и тот же по абсолютной величине угол арап(еяия 1б!, принадлежат к одному н тому же классу сопряженных элементов. Вращения вокруг произвольной фиксированной оси образуют коммутативную подгруппу группы /(55 (двумерные вращения). я - является подгруппой группы всех невырожлениых линейамх преобразований з ввхлилово взкторного пространства на ссби (полная лимсйизя группа, плГ>. Эаметюз, что каждое прсобразовавнс из П>!Г явю:ется произвсдсиисм собственного или иесобст- !4.!О.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ВРАЩЕНИЙ псиного вращенна и нсотрицзтсльиого саммстри )еского преобразования (аффиииосо висобразоваиия, сжатия или растяжения; см. также пп. 14А-а и 13.3-4). (Ь) Неприводимые представления группы /стт Митрицы (20) обризуюгп игприапдиипс унитарное даукритиое представление еруппы /))з и поле комплексных чпггл, т. е. группа трехмерных вращений /з)", представ- ляется группой унитарных преобразований с определителем 1 двумерного унитарного векторного пространства на себя (двумерная ут!имодуляриая уни- тарная группа, специальная унитарная группа, СУГ), Справедливо и более общее утверждение. Группа трехмернык враще- ний >155 имеет ограикченные неприводимые представления размерностей п=2, 3, 4, ... Полную систему унитарных неприводимых представлений удобно () обо.
Пачить символами пОГ( и>, еух)!), 02"( /з>, ..., где еЯт'>' имеет разисрность и=-2/+1, а матраца размера (2/+ !>Х(2/+!), представляю!цая вращение с парзв>етрами Кэпи — Клейна и, Ь, — Ь, и (п. 14.10-4) или угламн Эйлера а, (>, Т (п. ! 4.10-6), имеет внд 1(/('>д ('. 6, у)1 == ( ( ) И из ( !> 0 л)>) (! пп) (/-! 4>' (! Е>) си>! — м-И /!.д-И г5!Ист-д ВИ (/ — )п — И>! (1+6 ИИ Пз Е+зп>' И! И=О И Х чт ( — !! (1+т>10-т>1(/-(-О>!(/ — 4>! (/-зп — И>1(/-(-6 — ИВ (И вЂ” Ч з т!) И> И=о 2/ 2/ (= 1 3 /= —,1, —,...;т,д= — !,— !+1, ...,/ — 1,/). 2' ' 2' Считаетсн, что 1/(Аг!)=0 при А) (О, и поэтому каждая сумма имеет только конечное число членов.
//редел>пзление еЯ/'и является точным (азиимчо однознпчиыл!) при 1=1, 2, ... и двукратным при /=т/5, 3/з, ... (см. также п, 14,10-4). Характере!1 (п. !4.9-4) представления 6Я"!' служит функция Хы'(а, 6, у) ен Тг((/(/> (а, (), у)~=— ' (/ /'> (14.10-42) (/=0 '/' !. '/з "» где б — угол поворота, определенный в п. 14.10-2. Особые индексы /, т и д, применяемые для от)/) и !/(1>,— Э>О как раз индексы, связанные с прсрическими функциями степени / (п. 21.8-12). Для целочисленных значений / эти функции образуют (2!+1)-меоное представляю. щее пространство для еЯ' р с функцпяыи (21.8-66) в качестве ортонормированного базиса.
ГЛАВА 15 ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ш,ю). (З.2. РАЗЛОЖЕНИЯ НО ОРТОГОНАЛЬНЫМ ЕУНКЫИЯМ 457 по ограниченному или неограниченному интервалу Уы(а, Ь), а в и-мерном случае — и-кратный интеграл 1 )) ) 1(5» 52 5п) йсз й5» Щл (15.1-2) по области У в п-мерном пространстве. Как правило, возможно ввести элемент объема йУ($) =) ,'у(5) (Щ так, что каждый интеграл (2) приобретает вид объемного интеграла (пп. 6.2-3, 15.4-1,Ь и 16.10-10). 15.1. ВВЕДЕНИЕ.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫИ АНАЛИЗ 15,1-1. Вводные замечания. Функциональный анализ рассматривает подходящим образом выбранные классы функций как множества «точек» в топо- логических пространствах (гл. 12) и, в частности, классы функций, состоящих из мыоюмгрных гекторов, допуска)ощнх определение скаллриого произегдгиия (и. 15.2-1) и разложения по ортогональным функцилм (базисным векторам, см. п. 15.3-4). Изящные и богатые геометрическими аналогиями выводы теории линейных преобрааований, введенной в гл. 14, распространяются на широкий класс операций, включающий линейные интегральные преобразования и дифференцирование.
Решения линейных дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными, и линейных интегральных уравненп находятся путем более или менее простого обобщения решения систем линейных уравнений, в частности, сюда могут быть включены задачи о собственных значениях (пп. 14.6-3 и !5.4-5). В пп. 15.3-! — 15.3-10 рассматриваются линейные интегральные уравнения, в пп. от 15.4-1 до 15.4-12 вводятся линейные краевые задачи и задачи о собственных значениях для днфференциалы|ых уравнений.
Остальная часть главы содержит различные методы решения линейных краевых задач, а именно: 1. Разложения по собственным функциям (п.15.4-12); этот мезол может быть расширен включением различных методов интегральных преобразований (п. 10.5-1). 2. Функции Грина (пп. 15.5-1, 15.5-3, 15.6-6, 15.6-9). 3. Сведение к интегральным уравнениям (п.15.3-2). 4. Вариационные мстоды (п. 15.4-7, см. также пп. 11.7-1 — 11.7-3). В частности, в пп. 15.6-1 — 15.6-10 рассматриваются краевые задачи для урагмемий Лапласа и Пуассона (теорня потенциала) и пространственная форма волнового уравнения. Несмотря на то, что многие практические задачи поддаются лишь численному решению (п.
20.9-4), общая н интуитивно наглядная точки зрения фупкционалшюго анализа предоставляют возможность далеко идущего проникиовеная в теорию поведения колебательных систем, атомных явлений и т. д. 15.1-2. Обозначения (см, также п. 15.4-1). На всем протяжении пп. с 15.2-1 до 15.5-4 Ф (х), 1(х), р (х), ... обозначжот или функцни одной независимой переменной х или, для краткости, функции нескозьких переменных х', х', ..., хл (см. также пп, 6.2-1 и 16.1.2).
В одмолгерном случае йх есть просто дифференциал, в многомгрмом случае йх==йхз йх» ... йхл. Интеграл 7=)1(э) % (15. 1-1) представляет в одномерном случае очределенный интеграл ь 15.2. ФУНКЦИИ КАК ВЕКТОРЫ. РАЗЛОЖЕНИЯ ЦО ОРТОГОНАЛЬНЫМ ФУНКЦИЯМ 15.2-1. Квадратичио интегрируемые фуинции как векторы. Скалярное произведение н нормирование '). (а) Действительная или комплексная функция, определенная на измеримом множестве Е «точек» (х) или (х', х', ..., х"), квэлратичио интегрируема на Е, если существует в смысле Лебега интеграл ) )1(5) )»сгс (п, 4.6-15).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
