Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 122
Текст из файла (страница 122)
т !м скалярные фупкцня е=ь(з) я т т (ю апределяютяр«зув с точностью да пала. жеяяя е пространстве (еспеспэенлыг ура«и««ил кривой). С «ел«ется плес«ай «Риэай з там п галька з там случае, есл«ее круче«не таждестзеапа раева кулю; эгэлагячаа С вЂ” пря. мая ляпая, есл«ее кряэ«эке таждестзеяна раен« аулы, я только «этом случае.
(с) Прп праяззальяам выборе параметра 1 (гХг! \ !г г г! з=— ~г~з ' рт =)гхг~' (17 2-5) точками абаз«язепа дяфференцяраззяяе па Г. Паяезяа отметить. чта г э1.)- — эзп з(+( — Ь) Хг рз з (17.2Л) (раэлажсли«ис«эр«нил дгижгщ«йся почки иа па«ге«я«аль«ив и «ермаль«гю сеыяаэллвщиг; см. также п, 5.3-2). (й) Еднннчные векторы 2, и н Ь, нйпранленные, соответственно вдоль положительной касательной, главной нормалн н бннормалн, следующим образом выражаются через производные от функции г=г(з) по г; здесь н далее производные по е обозначаются штрнкймн: 17.2-4.
Ура«пеняя касательная, «ариэли я бяиармзэи! урез«зияя саирмяасающейся, пармальнай я спрзмляющей пвж«остей. (а) Касательная, главная нормаль я бянармэль кривой С и тачке Р, (гд юя зм Р, (хь гь г,) определяются саатэетстэеяяа следующими эектарпымм урэе«с«я«ми: г г, + и1, г г, + ип, г гч+ «Ь, (17,2-7> гдэ и — яеремеяяый параметр. Ве«гаряые урез«с««я сапрякасэющехс», еармэльяай м спрямляющей плоскостей имеют саатэетстзеяяа слсдуюи(я« з«я: (г — г,) Ь=О, (г — г,) ° 1=0. (г — г,) п 9.
(!7.2 '1) (Ь> Каардяиаты ед«п«ч«ых эекгараз (2) атяасятельна прэеай декартовой прям« угальяай сясгемы «аардмяат равны: ! х', ! = р', ( г' (иаира«ляюи!ие «агииисм «асапгль«эй), (17.2-9а) 1 ! 1 л' и — Р, я = — г" («алэагляющи«каси«эсы гла««ай «ермали\, (!7.2.9Ы З ' Р Ь г Ь Ь вЂ” (Е'а" — Р" г >, Ь = (г'»" — г"я'>, Ь вЂ” (Л'Ры — Х"Р') (П,г-ж> («апраэляющие «эси«усы би«гамаля).
Кр««пэпе и кручение выражаютс» формулам« х' Р' г' 1 . ° „ ! 1 (17.2-!9) Падстзпазка яапрээлявщях каспеусаэ (9) з х †.чч Р Рч г гч (17,2-1 Ц сага ссе а сага при«ад«с к ура««еяиям «лез!ель«ай, «ар«зля я бяпармэля е де«арчаеых прямаугаль«ых каардиязтэх ура«не««е (х-«1)ссе а +(г — г ) села„+(г — г!) сазе о (17.>-12) определяет аэпря«асающуюся, яармальпую, спрямляющув плескает«. !7.2-5. Дополнительные замечания. (а) Пеягр «ргеч яы кряэай С, секзэяяый с ее точной Рм определяется радиусаывектором П 7.2-15) г„г +р„п (Ы Предельное палажеяяе сферы, прахадящей через четыре раэл«чяые тачки Рн Рч Я Р, кР«эай, пР» с«Реылэ«п« Ры Р«Я Р, к Р, ЯээызаегсЯ са«Р««есэ ачсйсЯ сфсраа кривая э точке Р,, ее центр леж«т «э прямой, проходящей через центр кривизны я имеющей яэпрээлеяэе б«гармэл«. Радиус-вектор гй центре сапр«касающейся сферы э ес радиус р() тэкаэы: рс= )7 оз+(ртрл)".
«с-гз+ртрьь=гч+рзп+отрьь, (пл.и> Кривая С лслсип иа сф«ре -радиуса Л, если рс — Л (неабхадпмае м дасгзтачиае услазае) Паляр«ыми прямыми кряеай С паэыззюгся кэсэтельяые « ее палярнай «риэай; паследпяя апределяется кэ« геометрическое место центров саар«касающихся сфер «ряеай с. Палерм«я лазер«масть «ряеай с есть л«нсйчэтзя поверхность (п. 3,1-!5>, образа. ванная касатсль«ымя к паляряай яр«пай. (с> Э газ ь ее и т ы и э зал ют ы, Кзсэтельяая к кряеай С описывает л«пэйчэтую пазсрх«эсть, состоящую яэ двух палас«ей, касающихся вдолЬ да«най крнеай. Эзальэентами (раэзерткамя> кряэай называются чряэыс, лежащие яа этап паэерхяастя «артагаяэльяыс ее абраэующям, т.
е. касательным к «ряэай С. Если яээсстпа урээне«яе г = г (з) кривой С, та урэеяс«ия ээальэеят имеют езд р = р (э) = г(э) .).( à — з> 1(э>. (17.2.15) Каждой э«эльзе«ге саагэстстэует свае эяачеппе Я, представляющее сабай настая«ную сумму кляпы дуг« э и отрезка «асательяай РСР! ат тачка РС кряэай С да тачка Р! ззалвты. Крива» С' называется ззалютай кривой С, если касзтельаые к С' яеляюгся пармалямп «С, г. е. если С есть эеальзеятэ кривой С', Эяалюгм яр«еай С лежат яа «« палярчай паэерхэасчя, гез-з.
524 гпв-), !7.1-Е. Порядок писанин (см также и !7,! 3) Пусть нрнные г 1(з> н з г(з) проходят чарам точку Р, (г,), где г, 1(зд=г(з,) если расстаннне между тачнамн зтнх кРивых ) 1(з,+Аз) — г(з,+Аз) ! является бесконечна малой !и+1)-га порядка относительна аз, те генернт. чта кривые имеют «асанне л-ге парадна а точке Рь Наабхеннмым н достаточном условием того, что регулярные нрнаые г=1р) н г Я(з) имеют масанне п-га поРЯДка н точке Р, !м,, Уп а,) =— Р, (с,), анлнютсн соотно- шении г — г, да дн Х-Хз дм ди =О, (17.3-4) [à — Г>, !'и, Гн)=О или д» до 1(зз)=г (зз) = гз. 1'(за =я' (зз), ..., 1(а) !зз) я!а) !зз) 11 + ) (зз) фг( ) (зз) 67 2-)з) которые должны выполннтьсн прн пеххехнщем выборе начала отсчета м аапранаеннз на «зжхей нз кривых, Длз ириней, зананной урааненннмн а=а !м), д=г !з), усаеанн касании и гп нарзана ернннмают ннх, аналогичный !17.1.)0).
где 17.3. ПОВЕРХНОСТИ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 17.3-1. Вводные замечания (см. также и. 3.1-14, примеры см. н и. 3.5-10). В пп. 17.3-1 — 17.3-14 рассматривается геометрия регулярного куска поверхности 5, определяемого векторным уравнением г=г(и, о), для некоторой области изменения параметров (криволинейных координат на поверхности) и, о (и. 3.1-14). Предполагается, что функции (1) имеют непре. ржаные частные производные первого порядка, и ранг матрицы (17.3-7) лежащей на поверхности 5, имеет вид (п.з-2) (17.3-3) дг= г да+ г с(о авен 2 (и. 13.2-7), т. е. три функциональных определителя д(х, у)/д(и, о) (у, г))д(и, о), д(г, х)>д(а, о) не обращаются в нуль одновременно, или ГнХгчФО (Гав = —, !'ч= — ), дг дг' (17.3-3) где В случае необходимости предполагается существование производных более высокого порядка. (1?.3-9) Усаеннн, перечисленные выше, обеспечнаают существование н линейную еезаанснмасть векторов г н с, направленных соатаетстаенна по касательным к ааарвннатным н а лнннам н=сопз1 н а=сапы «а поверхности, премеднщнм через точку (н.
с) Точки аанермнашн, н которым три опралеанзалн существуют, но обращаютсн н нуль прн любом выборе параметрпа и, о, назынаются зсзбыли шззаамн! нм соответствуют ребра, вершины н т. д. 17.3-2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. [а) В каждой точке поверхности Р, (гН еж Р,(х, у,, г!) =(ип о,), удовлетворяющей условиям и. 17.3-1 (регулярнал тачка поверхности), существует единственная касательная плоскость, которая определяется как предельное положение плоскости, проходящей через три различные точки поверхности Рп Рш Р, при стремлении Р, и Р, к Рб при этом Р, и Р, перемешаются вдоль кривых, имеющих различные касательные в точке Р,. Эта плоскость содержит г= Из йз нлн и Сгз(1)з и Уз (1), ГЛ. 17. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ или уравнениями х=х(и, о), у=у(и, о), г=г(и, о), или >р (х, у, г) =О, (17.3-1а) (17.3-1Ь) (17.3-1с) !7.3. ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 525 касательяые ко всем регулярным кривым поверхности, проходящим через Р!.
Касательная плоскость определяется уравнением У Уз дг ди др да где все производные берутся при а и,, о=о!. (Ь) Нормалью к поверхности 5 в ее регулярной точке Р, называется пря. мая, проходящая через Р, и перпендикулярная к касательной плоскости в этой точке. Уравнение нормали имеет вид г — г)=(Н, (17.3-5) д (Е, м) д (з, м) д (х, Е> Н д (и, а> д (и, «) Ъ (и «) (17.3-б) есть единичный вектор нормали к поверхности 5 в точке Р;, все производные берутся прн и= из, о=оп Направление вектора Н называется направленное положительной нормали в точке Рб положительное направление линни а (иаправление вектора г„), положительное направление линии о (направление вектора г ) и положительная нормаль образуют правую систему осей (п.
3.1-3). !7.3-3. Первая основная квадратичная форма поверхности. Диффереициав длины дуги и элемент площади. (а) Дифференциал радиуса-вектора г вдоль кривой г=г(а(!), о(!)) или и=и(1), о=о(!), и, следовательно, квадрат дифференциала длины дуги дз=(дг! иа поверхности (!) в точке (а, о) равен дзз=(дг !а=Е (а, о) диз+2Р (и, о) !(ц до+ 6(а, о) доз (перепл основная квадратичная форма поверхности), Е(" ")=г ' =( ° ) +(дн) +(дн) д» д» дг дг дз дм Р(и, о)=г ° г = — — + — „—, + — —, диде дида дада' '(" ") =" "-(-"-) +(" ) +(-. ) . В каждой регулярной точке поверхности (!), отнесенной к (действительным) координатам а, о, квадратичная форма (9) является положительно определенной (и.
13.5-2), т. е. Е ) О, 6 ) О, Е6 — Р') О. (17.3-1Щ (М Угол т между двумя регулярными кривым» на пезермнастн! з И,(б нлн н Уз(1), о=р,(О 17.2. ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 527 17.2-4 ГЛ. !7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 17.З-З. протоияжимя через точку (и, е). определяется формулой бц,.бц, Е бУ би»+Р(бУ» бУ»+бУ» бтд+ О ли» бт» со» т= ! '!Ц ! ! б"' )'вбит+зяби,бу,+ О ау[)гв ли[+ трав,бу,+Обу[ Е ' *+Е( — — »+ — — )+Π— —, (НЗ!!> би,би, »би,бу, би,бу> н,бу, б» б» б» б» б» Щ б» б» В час»ло»ти, угол т, между коорлццатлыми лицеями и=сап»! я о=соцм, орохолвщлцц через точку (и, о). определяется формул»ыл Р ТЕΠ— )ы со» т» =, »1о т» = (17.2-!2> УЕО Услолие ортогоцальцости лоордцяатцыл ливий и, т имеет вид Р О (см также ло.
б.4-1 е !б.й-2). (с) Векторный элемент площади йА н элемент площади йА в регулярной точне поверхности (и, о) определяются вырзжениями йА=(г Х г )йийо=р([йА!, йА= бт [йА[ =У а(и, о)»[ийо, Ь> — единичный вектор нормали к поверхности. В каждой точке [и(з), о(э)[ величина д = [дг'пр>[ = [г'г"р>) (геодезическая кривизна кривой С з точке (и, о)) (17лр!6) является кривизной проекции кривой С на насательную плоскость (см. также и. 17.4-2, д) н й =Ь(п Ь>)=г" ° Ь>= — г' ° и' А» (нормальная кризиэла кривой Се лючкг (и, о)) (17.3-17) является кривизной нормального сечения (сечение поверхности плоскостью, содержзшей нормаль к поверхности, плоскость которого проходит через касательную н С; см.
также и. 17.3.5). (Ь) Т е о р е м а М е н ь е. Кривизна д кривой. лежащей на поверхности, разно кривизне ДА» нормального сечения, ыослостб которого проходит через яасатгльлую к кривой з данной гг аючлг, деленной ла косинус угла а между соприкасающейся плоасостью кривой е мной иижке и плоскостью нормального сечения, т. е. =Ф!. (1 7. 3-18) где а(и, о)=[)а х гт[ =мы рз ~д(и о)1 + ~д(п о)~ + [д(и «)1 . (17.3-13) Знак ЕА может быть выбран произвольно (см, таиже пп. 4,6-11, 5.2-7, 6.4-3, Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
