Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 121
Текст из файла (страница 121)
17.1-4. Кривизна плоской кривой. Соприкасающейся окружностью (иругом кривизны) плоской кривой С в ее точке Р, называется предельное положение окруж:ости, прохоляшей через Р, и две соседние точки кривой Р, и Р,, прн стремлении Р и Рз к Р,. Центр этои окружности (центр кривизны кривой С, соответствующий точке Р)) лежит на нормали к С, проведенной в точке Р,. Координаты центра кривизны равны ха=х,— ( — ") ~1+(Д)'1/~ф =х, —"...'+." (17.1-6) "="+[ +(".-.");1/(а),="+',"„' „"."' все производные вычислиются при х=х,(7=7,); точками обозначено дифференцирование по 7, Радиус ра круга кравизны (радиус кривизны кривой С в точке Р,) равен обратной величине кривизны й кривом С в точке Р;, кривизну можно определить как предел отношения угла поворота касательной и длине соответствующей дуги йа кривой С при стремлении Аз к ичлю: все производные подсчитываются при х=х, ((=А)1).
Данная кривая С является соответственно аогяуиюй или аылухлой в поло)кительном направлении оси Оу в зависимости от того, будет ли производная й)у)йхз и, слеловательво, кривизна Ь положительной иля отрицательной. Многие авторы называют кривизной, как это и сделано в п. 17.2-3, не К а )й',. В полярных коорлинатах р, ч) (п. 2.1-8) дифференциал длины дчги дз и угол р между касательной к кривой р=р()р) и полярным радиусом. вектором определяется формулами йН= йрз+р' И', 18 Р =р/,—,' (17. 1-8) откуда следует, что удо Р 1 да ЛО д„рз+я(Л 7' — О д ° (17.1-9) ') Правые чести формул (б) и (7) межио выразить через частные ироизеодиые от легай части уреииеии» кривой о (л, г) о ори оомощя формул (4.5-1б).
)у,й-г. 177 кРиВые В трехмерном еВклилОВОм НРООГРАнстпе 521 520 17.!-З. ГЛ. 17. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 17.1-5. Порядок касания плоских кривых. Говорят, что кривые у=((х) н У=у(х) имеют в точке Р, (к„у,) касание и-го порядка, если 7 (хв) =й(х(), 7' (хв) =й' (х )...., )внв (х,) =у™ (х)), /'"+" (х() фу'"+ы (х); (!7.!.10) это определение предполагает, что 7(х) и д(х) имеют в точке х, производные до (и+1)-го порядка включительно. ХПри соблюдении условий (10) разность 7(к+Ах) — й(к+Ах) является беснонечно малой (и+ 1)-го порядка относительно Ах.м В точке касания касательные к кривым совпадают.
Одна из кривых лежит по разные стороны от другой в достаточной близости от точки касания, т. е. кривые пересекаются в этой точке в том и только в том случае, если и четпо. Точка, в которой кривая и касательная к ней имеют касание второго порядка (или любого четного порядка), называется точкой перегиба. В точке перегиба кривая пересекает свою касательную. Кривизна в точне перегиба равна нулю. !7.1-6. Асимнтоты. Прямую линию называют асимнтотой данной кривой С, если расстояние от точки Р (к, у) кривой до прямой стремится к нулю при х' +уа со; говорят также, что кривая С асимптотнчески приближается к этой прямой.
Предельное положение касательной н регулярной кривой есть аснмптота; обратное утверждение неверно. ((исая нрняая захаяа ураянаянаы о !(к) я пределы Ищ — )=о и Ивп (7(к) — пх1=Ь 1(к) к со к к сп существуют, то прямая р = пк + Ь является аспчптотпй ярняпй.йс 17.1-7. Огибающая семейства плоских кривых. Огибающей однопараметрического семейства кривых (р(х, у, Х)=0 (17.1-1!) называется кривая, касающаяся в каждой своей точке одной из кривых семейства. Иногда к огибающей относят также точки, которые принадлежат одновременно всем кривым семейства.
В дальнейшем имеется в виду именно это последнее определение. Уравнение огибающей можно получить, если исключить параметр Х из уравнений (11) и уравнения ) гавр)(х, у, 1() =0; такое исключение параметра возможно н заведомо приводит к огибающей, если в рассматриваемой области зчаченнй х, у и А выполаяются условия — ~О, р„, 50. (НЕ!-13) В общем случае уравнения (!1) и (12) определяют А-дискрнминантную кривую, т. е, ггомгтринпсног место точек, е потерь(х пгреггкаются бесконечно близкие криаыг семейства (предельное положение точек пересечения нривых (р(х, у, Хв)=0 и (р(х, у, Ха)=0 нри Хя )в)).
Наряду с огибающей Х-дискриминантная кривая содержит н особые точки кривых, принадлежащих семейству. !7.1-8. Изогональные траектории. Семейство кривых, пересекающих все кривые однопараметрического семейства (р(х, у, Х)=0 под данным углом у, определяется дифференциальным уравнением (д — ссеу д з(п Т) йх+(д" з(п у+ Е сову) йу=О; (17.1-!4) при Т=л/2 уравнение (14) определяет ортогональные траектории. 17.2. КРИВЫЕ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 17.2-1. Вводные замечания (см, также п.
3.1-13). В пп. 17.2-! — 17.2-6 рассматриваются геометрические свойства кривой С, определяемой уравнениями г=г(!) нли ((,~~=(,) (!7.2.!) к = к ((), у = у ((), г = г (() ) ((, и (, могут равняться соответственно — сю и +со). Функции (!) имеют непрерывные производные по (, и йг(й(~0 для всех значений ! из промежутка (, ((((я, т.
е. С вЂ” рггулярнан дуга. В случае необходимости будет предполагаться существование производных более высокого порядка. Удобно принять за новый параметр длину дуги (в п = — ~йп — = ~ Уйг йг = ~ )~йхз+йуп+йга=~ )Ухва~-9»+йай( С (п. 5.5-4); знак дз выбирается произвольно и определяет положительное направление иа кривой и касательной (сл(.
также пп. 17.2-2 и 1?.2-3). Производные по з будут обозначаться штрихами, так что, например, нк,ш ня нПМ ' Ураавваввяя кривых я нряаапанайпых «оаряяяатах (гп 6) кратно рассиотрапы я и. 17.4-1. 17.2-2. Подвижной трехгранник (см. также пп. 17.2-3 и 17.2-4). (а) Касательная к кривой. Касательной к кривой С в точке Р,(г,) яы Р,(хы у,, гв) называется прямая, являющаяся предельным положейием секущей, проходящей через Р, и отличную от нее точку Р, кривой при стремлении Р, к Р,. Кривая (Н имеет единственную касательную в наждой точке, в которой существует йг?М ~ О.
Положительное направление касательной соответствует положнтельпоиу нзправленню на кривой. (Ь) Соприкасающаяся плоскость н соприкасающаяся окружность. Главная нормаль. Соприкасающейся окружностью или кругом кривизны кривой С в точке Р, называетсн предельное положение окружности, проходящей через Гоп!поп Р, и две соседние точки Р, и Ра кривой ппрнмп при стремлении Р, и Р, к Р,. Плоскость этой окружности йазывается соприкасаю- Гпплокпюннти щейся плоскостью кривой С в точке Р(; птсппспвп она содержит касательную к С в точке Р,. Направленная прямая, ндушпя из Г точка Р, в центр соприкасающейся окру.
4» жности, называется главной нормалью кривой С в точке Р,; главная нормаль Р, г Хоспвппппппя перпендикулярна к касательной. (с) Вннормаль. Нормальная и спрямляющая плоскость. Винормалью кривой С в точке Рв называется направленная грямая, проходящая через точку Р, и образующая вместе с положительной каса- йонпрнппп пыльной и главной нормалью прааую Рнс, 17.7 1.
подвижный трехгранник, систему декартовых прямоугольных осей саяааяяый с прастранстяанввпв) нра(в. 3.1-3). Плоскости, определяемые осями этого аподвижного трехгранника», называются: нормальной (плоскость, перпендикулярная к касательной), спрямляющей (плоскость, перпендикулярная к главной нормали), соприкасающейся (плоскость, перпендикулярная к бинормали) (см. рис. 17.2-1). ПЛНЗ. Пчд КРИВЫЕ Е ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИдОВОМ ПРОСТРВНСТВЕ 323 ттж-з. ГЛ. ГЕ ДИФФ> РЕНЦНДЛЬНДЯ ГЕОМЕТРИЯ (сди«ичиый вектор касательной), (еди«ичиый вектор главной нормали), (!7.2-2) (сдиничиый ееюнор бииармали). (=г' г" )г" ( (г Ь=(хп Вектор йп=г" называется векторам крнннзнм; через й обозначена кривизна, рассмотренная н п.
17.2-3. 17.2-3. Формулы Френа — Серре. Кривизна к кручение пространстненной кривой (см. также пп. 17.2-4 н 17.2-3), (а) Единичные векторы (2) удонлетноряют н каждой точке кривой соотношениям 2' =йп, п' = — й! +ТЬ, Ь' = — тп (формулы Фрине †Сгр), где й= — '=! !' 1=! г" !, рз (17.2-3) т= — = —, (г'г"г' '!. р ** Прн ноэрастйннн г точка Р, движется по крнной С; прк Этом: 1. Касательная вращается вокруг мгновенного положения бянормали с положнтельной угловой скоростью й (ярнннзна кривой С н точке Р!). 2. В«нормаль вращается вокруг мгновенного положения касательной с углоной скоростью т (крученые крнной С н точке Р,); положнтельно, если ннд кривой напоминает правую аннтоную нарезку. 3.
Трехгранннк вращается как твердое тело вокруг мгнонеипой осн, направление которой определяется вектором Лнрбу у(2= 12+ЬЬ, с угловой скоростью (положнтельной), равной ! 2) ! = рте+ йз (полнзя крнннзнз крнной С н точке Р,). Меха««ческий смысл праяээадяых ат базис«их эектараз трекгра«ая«а Фреис стано«ется более ачезядкым, если переписать формулы Фрсне э эяде 1' П Х 1=(ЬЫ Х 1, п'= П Х и, Ь'= П Х Ь=(т(> Х Ь: (17. 2.4> р 1>з есть радиус крязмзкы нрмзай с э точке Р, (рэдяус саприкэсзющейся акруж. Ь ности); р = !(т «еэызаегся радиусом «руче«яя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
