Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 138
Текст из файла (страница 138)
!8. ТВО не Ве Олтностеп и случдиные прфцессы !8.!О-о, При атом Т ( се при И=О, Бш — ~~ х(()е )е б(= с =с прин=ей (й= ~ 1, »2,.-)» й -й — !' О для остальнык значений в; с, прин 0» Т В»п — ) х((>созе(б(= — а„при в=в„(8= 1, 2, ...>, 1 г т аозт 0 длв остальиык значений в; Т 1 1 — Ь, при н = н (й = 1, 2, ...) (18.30.28Ь) 11»п — х <!) с»п и! б! Т соз! — Т ( 0 для остальных значений е; Т ~п — ~ р <О е <н! б! = О, (18,!0-2 Ос) т зт — Т Пусть, далее, функция р (!) Удовлетворяет тем же услоемям, что и х (!), так что !в Р(!)= ~ У е й +1(!) й= — со у»+ ~, '(а(,созе),(+ Вйз(п в>,()+ 0 (!) й=! = у, + ~ В, со» (е,! + Ф„) + О (О. Пз Рьза) й=! круговые частоты е», в», .„можно считать общими для обеих функций х (!) н и ОА 8»хх(е) =2л ~» (сй,~з б(е — вй)+ терр(в) = й = — со -злсзб<И1+2 ~ А«(б(" вй)+б(в+ей))+ рр<е) й=! (щ ~' с уй»(ИЬИ +)( (т) ху й= — оз с 3 -)--1- ~~~ ((айаь.)-Ь ()й) созейт+(ОЬВЬ вЂ” ьйаа)з!лейт)+ Яро(т) = й=> с у + у Айл! «О» (й)т + фй !Р() + Я 3»! (Щ 1 й=! Ч» (в) = 2л ~ сйуйб (в — ей) + »уро (е) й= — СО 1 8.
! 0- ! О. 38.10. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ Взаимиав корреляционная фуинция >3 (В измеряет связь между х((> и и <О „ „ ку «сериальиую корреляци»а» между значениями функций к(О и рр+тН разделеиныии зелазднеали»м т. Фуинции х ((> в р ((> называются некоррелироеавными, если Л (т) .= — - О ху 3 а м е ч а н в е Функции х <!), р б) принадлежат гнльбертовому пространству со скалярным произведением (и, а) (и (0) О (О)) <п !4.2-б).
Отметим соотношения орта. тональности Т И»п — 31 е (Н(е(О!»Н 3 г 1 при И=О, О при ИФО! — Т Т 1 3 г -- саз (а — (3) при И=О» Пш — ) соз (в(+ а) саз (Й(+В) б(= 2 7 »2Т <!8,!о.З(> — Т 0 при в-'Я. !8.!о.!О. Обобщенные преобразования Фурье и спектральные функции. (а) Чтобы избежать затруднений с членами, содержащими !дельта-функции в преобра зозаниях Фурье н спектральных плотностях периодических функций, можно ввести обоб щенное преобразование Фурье Х!и! (!И) от х (!) по формуле е ™ — »»'е»! Х;„! < И> — Х!п! ( в ) — ) х<(> . д(, <!8.!О-З») Формула обращения здесь записывается с помощью интеграла Стнлтьеса (п, слспП Если существует обычное преобразование Фурье ХР<<в>, то Если функцию х (О можно представать рядом периодических функций, см, также п, 18.Н.>), то будет ступенчатой функцией (п, 21,9.1), <Ы Обобщенная спектральиаз фу нлн стационарного в широиом с»анеле случайиога разозанне Фурье от его корреляционной функции; '!'»и! (Н) Ф!п! (И») = — СО И» причем Ехл(т)= )" е' дФ!п,<в>.
йяалогичные соотношения имеют место для корреляцяоиных и спектральяых функ ций по времени. 69Т 18.11-!. 18,Н. Типы случАйных пРОцессОВ. пРимеРы 696 гл. )з. 'теория ве~оятностеЙ и сл~чАЙные п~оцессы !зл(-!. (с> Лли дедал!еиглелаиых стационарных или стационарных и широком смысле процессие х (!) имеют место следующие обобщении соотношений Хинчииа — Винера (О) и (28); 1 1 зе 14 [ А 1п( [! (в +е)] — х)п( [! (е! — ае ! =-2е [сэ!п1 (в+ в) — Ф п1 (в — е)) = вфе сп ! с 51п ет 4ле 1 ХХ вЂ” Ф <в> ив= — ~ н <т) — свт д, (!8.)о.зз) 2л д хх ет в — е — сп вл Пш — — ~ [ Х;п1 [! (а+зП Х)п1 П (в — е)] [' сиа вт дв е 02е Т вЂ” и . ! ~ к<ох<(фт> щ=н пе (щ !о4О> От Т Отсюда при т=о получаем теорему Винера е кеадритиелел етклеиениш еэ Т 1 с йл Нш — ]е [Х!п(И<а+в)] — Х)п([(<в — е>] ~ ° дв= = Нш — ( )х<о Рис е О2е <!злвы) Если существует спектральная плитсюсть пи нремеин Ч' (в), ти соотношение ИО) приводит к соотношению Хинчииа — Винера (28), причем Чс (в) =2л Нш — — [ Х>п! [! (в+еŠ— Х;п(П (в — е)],'З, хх —,, 2е 18.11.
ТИПЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ. ПРИМЕРЫ 18.!1-1. Процессы с постовннымн и периодическими реализациями. (а) Постоянная выборочная фуниция (рис. !8.!1->,а). Если каждая выборочная функция (реализация) х (() тождестаенно равна постоянному Ь) а) с) Рис. !8.11-1. Выборочные Функции (реализации) для пити примеров случайимх процес. сие, на рис.
18.1!.),е х(п есть сулле показанных отдельных импульсоа ийс (! — (А). случайному параметру а с определенвым распределением вероятностей, то этим вполне определяется случайный процесс. Такой процесс является стационарным, но не эргоднческнм. Если существует М аз, то Мх (!) = Ма, Кхх (т) = Маз, (18.
11-1 а) в то время как (х(!) )=а, Ехх(т)=а' (18.И.! Ь) (Ь) Сн н уса идальн ый случайный и ропесс (рис. 18,11-1, Ь) х(() =а 8)п (в! +а). (18. 11-2) Если амплитуда а постоявна, а фаза а — случайная величина с равномерным распределением вероятностей в интервале (О, 2л), то пропесс х(!) стационарен н зргодичен с Если амплитуда а — непрерывная случайная величина с плотностью ф (а), не зависящая от фазы а, то процесс х(() стационарен, но, вообще говоря, не эрголичен.
При этом 1 (' ср (а) ди (рп, [х (!)1 =— л д )си' — х' (и!),'х! (18.11-4) Мх(!)=О, Кхх(т)=-- Маз ° ссжвт. ! О (и) ди 4((Здесь предполагается, что интеграл ) и сходится.) Х- )и! В частности, если амплитуда и имеет распределение рслел с плстаостыо (и. 18 8-7> — — и' (а- О> ! [ ае (18. 11. 8) оа (а> = (и < о), то слъ сайный прсцесс х(О будет гау. -ски. <п 18113> 'слс! Фаза ц Распзекелена иеРаеиемеРие на ииаеРаале (О, 2л), тп процесс не будет стацкс "ариЫм даже прн о н амплитуде и (с) Общий периодический процесс (см. также и.
18.109). Синусоидальный случайный процесс есть частный случай общего периодического процесса со случайной фазой вида х(!)=се+ ~ [а), сов й(ае(+и)+Ьз з!па(<ц>!+а)], (18.11-6) В=( где фаза а распределена равномерно в интервале (О, 2л) (предполагается, ч)о ряд сходится в среднем в смысле и. 18.6-3).
Такой процесс стацнонарен н эр. годичен, причем Мх(!)=-(х(()) =се, ф„, [х (!)) =— 1 (,' х)~ а), л Уи' — х* Мх (!) — (х (!)) 0 ]<хи (т) — ]схх (т) — соз вс. ~хх (т) ]~хх (т) =се+ 2- 5л~ (а +Ь!1) соз Ьа тс а =-1 6)хх ро) =Ч'хх (е)) = =2лсеб(в)+ 2 2 (аз+Ой) [6 (с) Ьшо) + 6 (О)+Ьао)1 ! ! (!8.11-7) ! ] <за. типы случлнных процессов. примеры 598 гл. 18. теорня вероятностен н случйнг!ые пропессы 599 18.!!.г.
П (т) = — ~ Фу«сыт аы = Фэб СО ! хх 2н (см. формулу <2!.9-25)) Веззчнзз Фэ зззыззетсз зиюэисуэиэстыз белого шуме Белый шум аредстззлает часто случайный процесс <сы, и. !8.11-(, м, 1<- 18.11-2. Процессы с ограниченным спектром. Теорема Котельникова. (а) Процесс х (!) имеет ограниченный спевтр нли ограниченную полосу частот, если его преобразование Фурье Хл((ш) (п. 4.11-3) равно нулю при )ш))2пВ; число В называется шириной спектра процесса х В) я измеряется в герцах, если ! измеряется в секундах. Теорема В. А. Котельн и к о в а.
Каждый процесс х (!) представлен б воде Рнс. 18.11.2. График функции з!и и! з!нс ! = —. я! с ограниченным слгктром может быть Ыа 2НВ (С вЂ” С„) Х(С*) УнВ(С-С„) (Сь=й<(2В), !г=б, -г- 1, .э. 2, ".), (18. И-)П т. е. процесс х(!) для всех ! однозначно определяется своими выборочными значениями х (Сь) а точках С<а раздглгииах промежутками 1/(2В). Функции <рнс, 18,11-2) Ын знВ С вЂ” С, "Ь (С)=Р 2В З)ЗС 2В (! С ) =)С 2В (Ь=О, -г-1, Э 2« ° ° .) (!811"!2) Более общий перноднчесннй процесс оаределнетса аялон Фурье х(с>=с + ~ (аьсозьыог+ь<эз)" ьыес) ь=! з котороы зсе (дейстзнтельные) коэффициенты с, аа.
ЬЬ случайны, а ряа предполагается сходящемся в среднем, узкой процесс будет стацновзрен е шираком смысле прз зыоолнекнн следующнх условий; Май — — МЬ„= О, Мааз Мэзй, Мса,.=ысз =МаЬ =О, еь эь (18,11-9) Ма,.а,=МЬ,ЬЬ=О <СДЫ. В этом случае формуле (8) дает разложение процесса х (С) по ортогональной системе в смысле а. 18.9-5, нрнчеы М.<С> = М; П <т> = Мс + 1 ~~ ~М (ай+ ЬЬ) со« Ьыбт. ы Ь=1 г((б) Б ел м й ш ум.
стацнонарный случайный процесс х <с) с постоянной спектральной плотностью Ф (ы) =Ф называется белым шумом. Вто зшззнне объяснзется некоторой анзлогней с белым светом; белый сост аредстзеляет собой сумму всех спектральных состзеляющнх, нмеющнх одну н ту же ззтснсазность, белый шум представляет собой сумму зармзиачаних ззлгбаиэй азх эасаээйш, зи«из(ах оВну и ту жэ аасз«рс и ю ах ел ашузэи Цоррелзазоензз функцзз дзн х(С) резне о5рззуют аолссую ортонзрызроззнную систему з прзстрзнстзе функцня х В ныы спектром шнрнзы )5 от<с«тем «выборочное свойство» функция «1ас: Хь =э (Сь) =2В ) К(С) ЗСЗС 2В(С вЂ” С ) Си (Ь=О, Ф 1, + 2...,) (1811-15) (з то:кзз С непрсрызностз функцзн х(СВ, «1зс (Л вЂ” с) з<пс (Л Ь) а), = =. 2В ) з<нс 2В (С вЂ” С ) а ос 2В (С вЂ” ! ) Ю = 8, = ( С О (С „-'-Ю, ь — т — (<(, !) (с, Ь = О, ь 1, ъ 2....>.
(! 8. 11- Ы) [Ь) Стационарный или стационарный в широком смысле случайный процесс х(!) имеет ограниченный спектр ширины В тогда н только тогда, когда его спектральная плотность по множеству наблюдений Ф „(ы) равна нулю при ) ш /) 2пВ, В этом случае разложение (!1) сходится в среднем (п. 18.5-3), т. е. М х(!)- ~ ха 8>пс2В(! — <ь) =О (18,11-!5) и формула (11) пргдслшелягт каждую реализацию х(!) через ге аыборочиае значения хь=х(йс(2В)) с аграялгиастью 1. 3 з не те з н е, В честном случае стационарного процессе с «плескаем огрзнзченныы спектрам чзстотс Ф. (ы) =.1 (Ф, «ы<щйнВ>, <М.(1-М> )О «ы<>2лп>1 Пхх (т) = 2ФэВ ( 18, ! 1 - 17) выборочные зззченнн х., =-и (Н(2В)) незтрнрозаеы н некоррслчрозззы.
18.11-3. 1'ауссовсние случайные процессы (см. также пп. 18,8-3 — !8.8-8 и 18.!2-б). Случайный процесс называется гауссовским, если все его распре. деления вероятностей нормальны для всех Сг, Сз, .. Каждый гауссогский лроцссс Однозначна олргдгллг<жя своим (обязательно нормальным) рослредггеиигм вероятностей второго горлдха и, следовательно, корреляционной функцией Кит пг, Сз)=Мх(<!)х(<т) гмгстг с 5(!)=Мх(!). В частности, совместное распрехделенйе каждого ыножестза выборочных значений х,= — х(С,), х,=х(<з), ... ..., х„=х(С„) является нормальпыы распределением, плотность ноторого дается формулой (18.8.2б) с 5<=Мх(С!), Лис=<(хх(<с !ь) 5)фь (/ 8=1, 2, ..., и), (18.11" 18) (л„)=(л ) '. (18.!1-19) Процессы, получаемые при сложении гауссовских процессов нлн при линейных действиях над иимн, являются снова гауссовскими (п. !8.12-2), Коэффниненты разложения гауссовского процесса по ортонормнроваиной системе (и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
