Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 140
Текст из файла (страница 140)
18.11-3 дано сравнение К„(т) и Фл (ш) для случайной теле. графиой волны н процесса жеребьевки с одинаковыыи среднимп значенияии ) "=О, дисперсиями Мха=па и средней скоростью отсчетов и=-. ЛЕ 2 Рвс. )6.((-З. Карреляцяаяяая функция я слевтральная цлагяость лля случайной телеграфной волны (а) я цряцесса бросания нанеты (6) с аляяаяавыыв среляяця звачавяяыя ) 5 = е, дасверсняыя мк' .=- сл я средней скарасгью отсчетов а =- — ы (яа шяалал ю в слу. 2 чавх а) я Н лряяягы разные едняяцы ыасштаба).
18.12, ДЕЙСТВИЯ НАД СЛУЧАЙНЫМИ ПРОЦЕССАМИ 18.12-1. Корреляционные функции и спектры сумм. Пусть х((), у(()— случайные процессы. Для ик линейной комбинации у (г) = ()+()у () (18.12-1) с действительными нлн комплексными коэффициентами и, () корреляционные функции Кх„(гп Гя), К, (Г„уя), К (Гз, )а) даются формулами К ля = 44Кхх+ !) Кху Клх (6Кхх+ !) Кух.
(!8.12-2) К„=! и)аКхх+~ Р !в Куу+и()Кху+и(5Кух. Му=М ~ Ь(С)й~, (18.12-10) (18,12.!1) (18.!2-4) (18.!2-12) (с) Отметим также следующие сеетиешеиии: Я„у (г) = ( г,, (М Я„(г — л) вл (!8.12.6) где (18.12-14) Ейй ')") = ~ (обобщгнныг соотношения Винера — Ли)! Муз(1)= ~ ю(г, р) Кух(С Р)йр. (18.12.7) Яху РВ = еай (ти Я, Гп =Еаойй (т), (18.!2-1б) (18.12-!8) Му*-ш,ейй (о)-е, ( й*(г) Вб (18.12.!У) (18.12-8) Н((ы)= $ Ь(С)г-™! Ц, (!8.12-18) 604 ГЛ. Яь ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 18.12-2. Эти формулы остаются справедливыми н для корреляционных функций )(хз(т), Кгх(т), Гчгз(т) в случае стационарных процессов; соответствующие спектральные плотиостн равны Ф„,=пФ„„+6Ф,у; Ф,„=аФ, +ВФух, Ф„=[(х['Ф„„+; 6['Фуу+д[)Ф„у+с4Фу,.
!8.12-2. Соотношение между входным и выходным сигналами для линейных систем. Рассматривается действительная линейная система с действ!пельныма входным сигналом х(Г) и выходным сигналом у(Е)пп $ ш((, Л)х(Л)йЛ= '! Ь((, ь)х(( — ь)йь, где весовая функция ш (функция Грина, п. 9,3-3 и п. 9.4-3) есть реакция системы на единичный импульсный входной сигнал 6(à — Л) и Ь((, ч) =— е((, ( — ь). В иаибпдее важных прииажеииих г есть время и ю П, М О при 1 < Л, так ках физически реализуемые системы ие могут реагировать аа будущий импульс (см. также п. 2,4-3), Если х(() — действительный случайный процесс и если средние квадраты Мх'(() я Му'(() конечны, то Му(1)= $ ((, Л) Мх(Л) йЛ! (!8.12-5) ((! (2)=Кух((з, (,)аы $ ш((з, )) Ехх((! ))") )1„,((,, (,)= $ ш((щ р)))„.(1 р)йр Если х(() — гауссовский процесс, то у(() — тоже гауссовский процесс и он вполне определяется соотношениями (5) — (7).
18.12-3. Стационарный случай. (а) Если входной сигнал х (!) стациопарвп и если линейная система инва. риаптпа во времени, т. в. ((, Л)=Ь(( Л), Ь(1, 0=АЙ)=Ы 1 Н((~)в'ы" й, то выходной сигнал (реакция системы) у(() тоже стациопарвя. Если прн.- атом х (() эргодичен (и. 18.!0-7, Ь), то и у (() тоже аргодичеи. !8.12-8. 18.Ж ДЕЙСТВИЯ НАД СЛУЧАЙНЫМИ ПРОЦЕССАМИ 605 Сооткошеная (4) — (7) для действительных х((), у(Г) сводятся к следующим: у(()= $ Ь(( — Л)х(Л)йЛ= ~ Ь(Ь)х(1 — Ь)йЬ, (18.12-9) ( )=[) ( — )= $ Ь( — Л)Р„„(Л)йЛ= ~ Ь(г) я„„( г)лг куу(т)= ! Ь(т — р))(ух()!)йр= $ Ь(С)))„х(т — Г)йГ (соотношения Винера — Ли), Муа= $ Ь(5)В„„(Е)йГ. Дли физически РеализУемых систем й (Ф = О при г < О.
(Ь) Важные соотношеная (11) значительно упрощаются, если их представить через спектральные плотности (п. !8.10-3): Фху (ы)=Н ((ы) Фгх (ы)! Фух (е!)=Н (!ы) Фхх (ы) (!8.12-13) Фуу (ш) = Н (ие) Ф у (ь!) = Н ((е) Ф х (ы) = [ Н (ио) [2 Ф, (ю). [ (и)й(и-,-Л)В = — )~ !И ум)1 ""Вы. 2п В частипм случае, иагда ихадиой сигчах есть стациааариый белый шум с ях (т) Е,б(т) (п. !ВЛ(Ь В): 18.12-4. Соотношения для корреляционных функций и спектров по времени.
Соотношения (2), (4) и (10) — Н7) справедливы и для соответ. теующих средних по времени (п. 18.10-7 — !8.10-9), если они сушрствуют. 18.12-5. Нелинейные операции. Если х(()-случайный процесс, то у = у (х) = у [х (г) [ определяет новый случайный процесс; распределения и средние по множеству наблюдений для процесса у находятся методами пп. !8.5-2 и 18.5-4. В частности, корреляционная функция выходного сигнала у (() для действительного ((З, ) 2-20) где У(з)= ) У(к)е '" Ук (о,<нез(оз), (18.12-22) 1Р В частности М +Мх,' Мх'е (18.!2-24) стационарный гауссовский процесс если для функции у(х) существует (т) = ~цг ~ аезркк (т), Му= ао Йку (т) а )(кк (т) Вуу (18.12-25) где 666 гл. Рд теоРия вероятиостеи и случлииып процессы га.(з-а. процесса находится по формуле В„у(йы 1,)= ~ ~ у(хг)у(хз)цгкк (хы хз)йхгйхз (18.12-!9) где хг=х(!т), х,=хКз).
Иногда удобнее фоРмула (г () — . $ ~ мк (з, з) у(зг) у(зз) тзгдзз г с с контуры ннтегрнроевннн С, н С, нервллельны мннмой осн н ленгвт в полосе а е абсолютной скоднмоств внтегрелз. 18.12-6. Нелинейные операции над гауссовскими процессами. (а) Теорема Прайса. Если даны две совместна нормальные случайныс величины хы хз с казариацией Л,з и если функция ) (хг, хз) для некоторых дейстзшлгльлых а) О, Ь ( 2 допускает оценку (х(' + ка) )1(хг, хз) )(аз — М)(хг, хз)=м ' (л=1, 2, ...).
(18.12-21) д).гз дк" дкл гз з Эта теорема позволяет находить средние н, в частности, корреляционные функции по формулам вида Ьгз дз! (к„к,! МГ(хг, хз)= ~ М д„д Юге+С, О где С есть среднее значение М)(хы кз) прн Л,з=б, т. е. для некоррелпрованных хы х,.
Эта теорема приводит также к полезным рекуррентным соотношениям: )' з Мх~хл=лгл ') Мхю (х," 'йЛ,з+Мхю ° Мх," (л, т=1, 2, ...). (!8.!2-23) О Мхзгхз = 2Л'„+ 4 Л,зМх, (Ь) Р а з л о ж е н и е в р я д. Если х(!) имеет Мх=й, йк (т)=а'р„(т) и Вуу (т), то аг,== ~ у(аа Уг2) е "Нй(а)йа (Й=О, 1, 2, ...), )у ш Нь (а) — многвчлвны Эрмнта (табл.
21.7-1). ГЛАВА 19 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 19.!. ВВЕДЕНИЕ В СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ 19.1-1. Статистики. Математическая статистика занимается как статистическим описанием результатов опытов или наблюдений, так и построением и проверкой подходящих математических моделей, содержащих понятие вероятности. Ее методы расширяют возможности научного предсказания и рационального принятия решения во многих задачах, где существенные параметры не могут быть известны пли контролируемы с достаточной точностью.
Статистическое описание и вероятностные моделя применяются к физическим процессам, обладаюгпим тем свойством, что хотя результат отдель- нога измерения физической ееличины х ле может бьгть предсказан с оогглалючной точнослгмо, значение некоторой лодкодлщей функции у=у (хы х„..., х„) от множгсглла рктультагггов хг, х,, ..., х„лаатаримх иэзгсрелий может быть предсказано с сущсстзслна лучшей точностью. Такая функция называется статистикой, а указанное свойство физического процесса — его статлглгической угтайчизастью, Статистическая устойчивость в каждой конкретной ситуапии есть эмпирическяй физический закон, которыя может быть проверен ТОЛЬКО ОПЫТОМ, Часто точность предсказания некоторой статистики возрастает с нозрастаиием объема л выборки (х„хз, ..., х„) (фиэическггй закал бокьшик висел), 1!анболее известные статястийи — относительная часагата (п.
19.2-!) н зыборочные средние (п, 19.2-3) !9.1-2. Классическая вероятностная моделш статистики случайной выборки. Понятие о генеральной совокупности. (а) В классической модели наблюдаемая физическая величина х рассма. тривается как одномерная случайная величина с подлежзщей оаредслению илн оценке плотностью гр(х). Кажлая выборка (х,, хз, ..., х„) значений х рассматривается как результат л независимых повторных измерений (п. 18.2-4). При этом хы хз, ..., х„ представляют собой взаимна независимые случайные величины с адимакаеай гиотнастьго вероятности гр(х).
Такая выборка называется спучаймой выборкой объема л и представляег собой л-мерную случайную величину (хы хз, ..., х„). Плотность ее распределения называется функцией правдоподобии: Е (хг, хз, ..., х„) =- гр (х,)гр (х,)...гр(хл). (!9.1-1) Каждая статистика, определяемая как некоторая функция у=у(хг, хз, ..., х„) выборочных значений х,, хз, ..., х„, представляет собой случайную величину, распределение которой (выборочное распределение статистики у) однозначяо определяется функцией правдоподобия, а следовательно, н распределением величины х. Каждое выборочное распределение зависит, как правило, от объема выборки л, Кроме рзссмвтрнзземой модели, ьюгут встречзтьсв н другие; расоределенне х может быть днскреткым (нгрм, контроль качества), выборка может вметь бесконечный объем. ЗНЗЧЕННЯ Кь МОГУТ битЬ НС ОДННЗКОЗО РЗСНРСЛЕЛЕНЫ Н НЕ битЬ ВЗВНМНО НЕЗЗННСНМЫМН, случзйнзя нелнчвнз х может быть многомерной.
19.2-2. 19Д. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ 609 19.1-9. ГЛ. 19. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА (Ь) Когда возрастает объем выборки (и), многие выборочные статистики сходятся по вероятности (п. 18.6-1) к соответствующим параметрам теоретического распределения величины х; в частности, относительные частоты сходятся по вероятности (и даже в среднем; п. 18.6-3) к соответствующим вероятностям (п. 19.2.1).
Поэтому каждую выборку рассматривают как выборку из теоретически бесконечной генеральной совокупности, распределение признака в которой совпадает с теорепгческим распределением всрояпюстей величияы х. Последнее называется распределением генеральной совокупности, а его параметры в параметрами генеральной совокупности. Во многих приложениях теоретическая генеральная совокупность есть идеализация действительной совокупности, яз которой получена выборка. О выборочном методе для конечной совокупности см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
