Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 62
Текст из файла (страница 62)
(1 4.«>" =Г( — л, 1: 1: — х), Т з б л и ц з 9.3-2 !пзздеяжсне ! з)п пк = Сзз ПК = )+к !и — = 1 — к /и = О. 1, 2, . ) е/ Р/г)21 с — „г Р )а; с, з) = е- ) 52 = г !.) г „ .) ) — 1 е-а- +/а Ш к (и = !о< цеа < Пес), (т, я=1, 2, ...), (9 ' 48) а + и -1- » »Ы !с-1- Н+») !1+И+И * ей ае 9/ + азу = 0 (ае ф О) (9.4-1) у = Сс " [С=у (О)), (9.4-2) 282 гл. 9. овыкновпннып дпоопопнцнлльнып уилвнпння О.з-ш. /!+и 1 — и 3 п5)пхр~ —, —; —; 51п «), /л и 1 Р ! —, — —; —; 5)п'к) (2' 2! 2' /1+и 1 — и 1 сп5 кя( —, —; —; 51п х) 2 ' 2 ' 2' л / 55,1 — и 1, се5 хя~ — —; —; —; 1язх), 2' 2 ' 2' 2х Г ~ —, 1; 2 1 хз).
л !+л Юеик) !Ькр(1+ —, —; 1+л; —, 2' 2 ' ' сц'к/' л 5 10 Вырожденные гниергеаметрпческпе фупкц гипергеометрического дифференциального уравнения (31) можно передвинуть в г=Ь заменой г на г!Ь; тогда при Ь оз особая точка г=Ь будет стремиться к уже имеющейся особой точке г=оз (вырождепие особой точки). Это приводит к дифференциальному уравнению вырождеяяой гилсргеомстричсскаа функции (Куммсра) (9.3-42) которое имеет одну правильную особую точку г=О и одну существенно особую точку 2 =аз. Многие специальные функции являются решением уравнения (42) при частном выборе значений а и с (гл.
21). Разложение решения в ряд в точке г=О дастся формулой (17) при 9=0 и р=! — с, где При Р=О получаем вырожденную гипергеометрическую функцию Куммера— выра:кдгяяый гилсргсомстрическнй ряд (см. п. 2!.7-8): шй Е(а; с; г) 1+ — г+ —,, гз+... (!~г(<оз). (9.3-43) Второе !лпаейяе независимое) решеппе ыежвп получить тец же спееебаы, чтп я е п, 9.3-3, Ь; з честцпстя, еырезщеапзп гипергеепетоезескел Фупяцяп вюоега зеяз Ф( )= ! + ) ! ) г! ся!а — с+1,'2 — с;г) (9.3-11! Р(а) РН вЂ” с) является решеняеп, есле только с — пе целое отпетзм слццу!ьщ55е соотношения: 1 !' а. с' г = (1 5 (1 — 1)е а 1 еь а!' Г(а)Р!с — а) 3 О дк а дз с — =- я(а+ и с+ 1; г)! — = — Ф !ау); с аФ а дг с р(а! е, г)=е Е(с — а; с; — г), В табл, 9.3-3 приведены деползптельиые Формулы, 9 4-!.
94. лннп)тнып урлвнпння о ноотоянныын ковфонннпнтлмн 283 т е б л я ц е О.з.з Дополнительные формулы для вырожденных гнпергеометрнческнх функций а — — — 5 —, а — -...1 — — а 2 ) а —— 2 р !а; с; 5) = е р !с — а; с; — 5), а р .а -1- Н с + 1; «) = (а — с) я !а: с + 1; г) --, 'с р !а; с; з), 55 р (а + 1: с; 5) = !з + 2е — с) я (а; с; 3) -',- !с — а) р !а !. с 5) с — лГ!О Нш р(а; с; 2)= з" а (а+ 1) ...
!а .!. и — 1) а- л - ',е:з) ) Л !а !. л+ 11 + 2: Г!а+я+ 1) 5 -/ т+ а са а р! — ь: а+1: *)=е х О (пе !а-1-е .1- 1) > О; ! егг з ! < а/21. 9 3-!1. Обобщенные гнпергеометрнческне ряды, Степенные ряды (32) и (43) явятотся частными случвянп рядов и./еп (а) аз, ..., аш: с„сз..., с„г) =— — У ' (')»('з)»" ('ш)» ».' (5,)» (сН» ...
(с )„ !5е (к)/, =— х(х+1) (с+4 — 1) В элшх обоэяаясяиях !ясргсп !.три!е гие ряды (32) и (43) запишутся сопгпвшлствгнно как зр! (а, Ь; с; г) и зр,(а; с; 2). 9,4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 9 4-1. Однородные линейные уравнения с постоянными козффицнентамн (сы. также п. 9.3-1) (а) Уравнение первого порядка когда постоянной времени) =у(0)е ' 0,3?у(О), у(4п /а ) 0029(0) ГЛ. Р.
ОВЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕН11ИЛЛЬНЪ|Е УРЛВНВНИЯ В.4.1. (п) Уравнение ел|срого горлька аа — "!+ а! -д-"', + ау =0 (ао ш.'-. О) имеет решение (9.4. 3) У=С,е" +С,г'", (9.4-4а) а, У =(С, -).С,1) е згь (а-", — 4а,а, =0). Если оа, а,, аз действительны, то при а',— 4оаа>(0 корни а,, плексными; в этом случае формулу (4а) удобнее представить в У=со'(А сов юг+В мп ы1)=)7го! мп (ы1+и), (9.4-45) зз буди| комвиде (9А-4с) где величины (9.4-4й) 2а,' 2«а называются соответственно постоянной ватухяния и собственной круговой частотой. Постоянные С,, Сю А, В, )7, а определяются по начальным или краевым условиям (см. также п.
9.4-5, а). аг Ес ., а >о, «нна [= ааамаается хааффмцмеатом затухания; пра Лаи 4.«1, ",=1, о < (1 получаем соотаетстаехиа анар«ода«гг«аг заг«рканиг (4«), «рати«ах ог а«тока«иг (4»), ааг икаг«шаг «амба«на (4г), В последнем случае логарифма >есхмй лакремант 2ло>ю есть авгур«льный логарифм отношеааа послелоаатальнмх махснмуггоа рашання у (О. ураааанае (3) зацасмааюг иногда а багра>к~гамом гидг Л гр м- аг> м ьд — — - -(- 2 — — -(- у = Е с = — ой.|м УП вЂ” ! ,а '! — 1 при слабом аатухаака (йг к 1) имеем м, у а,>о, ш ю. (с) Для интегрирования уравнения порядка г 1 у — аз в р + а, †, р + ...-1- а,у =0 (аа ш'= 0) (9А.5) ат«1« надо найти корни характеристического урввцення — алгебраического уравнения степени г: аааг+а!аг '+.„-1-а„„,а-)-а,=О.
(9.4.6) члены (9.4-7Ь) Если все корни з„аз, ..., а этого уравнения различны, то общее решение дифференциального уравнения (5) есть у=С е ' -[-Се ' +...+С,е ' ° (9.4-7а) Если некоторый корень з» имеет кратность т», то соответствующие в (7а) надо заменить на а! — 1'! г ! (С»+С»,!+С»ага+...+С»( ! 1» ) г различные члены в решении (7) называются собственнымн колебаниями. г постоянных С» и С»1 определяются по начальным или краевым условиям (см.- также п.
9.4-5, а). зм-з. эз. линенные урлвнения с постоянными коэффициентлмн 285 Если коэффициенты уравнения (5) действительны, то комплексные корин характеристического уравнения встречаются сопряженными варами и чс 1ь> Соответствующие пары членов в решении также будут комплексно сопрнжены и могут быть заменены действительными членами: Р"Сею»!ш' '+1шСг'" '"'= 1«гео! (А соз ы1+ В жп ы1) = 17!жги! зш (ш1+ а], (9.4-7с) где А и В или )7 и и — новые (действительные) настоянные интегрирования.
(д) Если дапз система л однородньш лингйник диффергнциакьнык ура»наний с постоянными когффициен>лагш га> |рг,! — !) У|-1-|ру ! — >Уз+...-~-ц>[а ( — ) У„=О ()=1, 2, ..., л), (9.4-8) где фш (й[йг)-многочлены от й[й1, то каждая из и функций, составляющих решение у»=У»(1) (»=1, 2, ., л), имеет вид (7); показатели а; будут теперь корнями капакгпгристичес«ого ураангния сишцемм 0 (з) — = де1(гр!» (а)) =О. (9.4-9) Подставляя выражения вида (7) в уравневия (8), мы получаем соотношения мен(ду коэффициентами; коэффициенты, оставшиеся произвольными (постоянные интегрирования), определяются по начальным или краевым условиям (см.
также п. 9.4-5, Ь и п. 13.6-2). 9.4-2. Неоднородные уравнение (см. также п. 9.3-1). (а) Методы, изложенные в пп. 9.3-1 — 9.3-4, применимы ко всем линейным дифференциальным уравнениям. Поэтому общее решение неоднородного уравнения ,!т|„ 1-У = — аа — + а! =+...-1- а У =-1 (1) (9.4-10) можно представить в виде суммы общего решения (7) приведенного уравнения (5) и какого-либо частного решении уравнения (10).
Если, как это часто бывает в приложениях, 1(1) =0 прн 1(0'), то частное решение у=у,(1) уравнения (10) такое, что у,=у' =...=у(' !)=-0 Л' Л! "' М при 1(0, называется нормальной реакцией на внешнюю нагрузку 1(1). Решение ура«мания (10) лпи эсдаиньш яачакьяьш значениях галичи« У, У', ..., У""' есть сумма Решения соотггл|стаующей мочальной задачи для однородного ураангнил (5) и нормальной реакции ул,(1). Во маогнх праложенхах (устойчхама злахтрхчасхне цаца, нолебааха) асс коря» харахтерзстнческого уравнения [(б) хлх (рн «мают отрацатальамадейстаатальныа часах, н обшаь решение уравнения |ь) исчезает более алх менее бистро (устойчнамй церехолнмй процесс»).
В такнх случаях глазный антарес предста«!яхт обычно «устааоамашайся процесс» р р П> — частное решение, вызванное данной аагруххой 110 В другах слу«аях а 03 оцралалаетса на талька данным лнффаранцнальным >рааненнам, ао а начальница услоааямм нормальная реахцаа ргг (О может ках содержать, тах а не содержать переходные члеам (Ь) Всякое решение у» — — у» (11 (»=1, 2 ..., и) неоднородной' системы линейных дифференциальных уравнений гру! ~дг, У>+>р>з ~я!) Уз+". +фуа ~д!)Ум=71(1) (1=1 2 " и) (9 4 11) 1 с ') есть сумма частного решения этой системы и общего решения соответствую.
шей однородной системы (8). Нормальная реакция системы (11) на множество внешних нагрузок 11(1), равных нулю при 1 х- О, есть частное решение, в котором при 1(.0 все функции у» вместе со своими соответствующими производными равнй нулю. ') это означает, что рассматрзааюгся правые часта только зада 1 (б — 118 о„ гла ы >(о — елааичнаа фуикцаа, определанная з и. 21.э-1, ГЛ. Р. ОВЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИЛЛЬНЫЕ УРЛВНЕНИЯ 2.(-З. (с> Если пРава» часть содержит перкоднческ»й член, частота которого соэпздает с частотой незатукающего скнусокдальцого члена к общем рек!енкк соответствующего Однородного урээкенн» нлк с»стемы, то данное уравнение клк система ке будет »меть ограниченного решения (резо»э»с>.
9.4-3. Свертки н функции Грина (см. также пп. 9.3-3, 9.4-7 и 15.5-1). (а) Физически реализуемые задачи Коши. Применение метода функции Грина (п. 9.3-3, 5) к дифференциальному уравнению (10) позволяет представить нормальную реакцию на внешнюю нагрузку /(/) в виде интеграла Д!аамеля или обертки у=у/у (/) = $ й„(/ — т)/(т) дт =~й,(т)/(/ — т) </т, о (9.4-!2) (т=О, 1, 2, ..., г), (9.4-13) ~ д< 0 если существуют производные в правой части. Функция й+(/ — т) есть частный случай функции Грина и определяется условиями Сй+(/ — т) =О (/) т); ~ Сйе(/ — т) бт=[ (/) 0)! (9.4-14а) йз(/ — т) =й,. (/ — т) =„.=й<' 1> (/ — т) =0 (/~ т) (9.4-145) йз(/-т) есть нормальная реакция на единичный импульс б (/ — т) (п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
