Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 58
Текст из файла (страница 58)
также табл. В.З-)) н ...=а =а =...=о- ГЛАВА 9 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ МЛВНЕНИЯ 9.- ..1-1. Вводные замечания. Дифференциальные уравнения позволяют выразить соотношения между изменениями физических величин, и потому онн имеют большое значение в приложениях. В Я 9.1, 9.2 и 9.3 дано нлассическое введение в теорию. В 4 9.4 рассматриваются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, причем упор делается на решение их методом преобразования Лапласа. В 9 9.5 речь идет о нелинейных уравнениях второго порядка. В 4 9.6 приведены дифференциальные уравнения Пфаффа, хотя они и не являются обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Н екоторые вопросы, относящиеся к диф)юренциальным уравнениям, рассматриваются в других главах: преобразование Лапласа — в гл. 8, краевые задачи и задачи о собственных значениях — в гл. 15, диф()юренциальные равнения, определяющие спецнальные функцик,— в гл. 21. у Применяемые далее обозначения выбраны так, чтобы облегчить ссылки на общие учебники, !1оэтому деястаительные переменные обозначаются через г, у=у(г«компленр ые, в тречающвеги в общей теории лввебнык дифференциальных уравне=у г: омпленснна, обоаначаются через г, ю = ю (г>.
Независимое переменное а я Э.4 н Э 5, обычно представляющее время, обозкачено через (. 9 .1-2. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обынновенным дифференциальным уравнением порядка г называется уравнение Р [х, у(х), у' (х), ..., у"'(хН=О, (9 1-1) которое связывает независимое переменное х, искомую функцию у=у (х) н ее производные у'(х), ..., у"'(х). Решение (интегрирование) дифференциального уравнения (1) заключается н отыскании функций (решений, интегралов) у (х), которые удовлетворяют этому уравнению для всех значений х в определенно>4 конечном нлн бесконечном интервале (а, Ь). Заметим, что решения могут билль проверены подсптановкой в уравнение.
Он бщее решение обыкновенного дифференциального уравнения порядка г имеет внд у=у(х; Сы Сг, ..., С ), (9.1-2) геС, С, д 1, Сю ..., С,— лроизвпльныс постоянныв (постоянные ннтегрированкя, сы. также и. 4.6-4). Каждый частный выбор этих постоянных дает частное решение.
В задаче Коши (начальной задаче) требуется найти частное решение, удонлетворяю!цее г начальным условиям У(ьа)=уо У (хо)=уэ ". У' "(хо)=уэ (9.1-3) по которым определяются г постоянных Сы С„..., С . В краевой задаче на у(х) н ее производные накладываются г йраевых условий в точках х=а н х=Ь (см, также и. 9.3-4) '). $ ) Строго говор», начальные н краевые условия относится к одиосторокним произ. водным (п. 4.5-1). 92. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 9.2-2 ГЛ. 9. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНИ(ТАЛЬНЫЕ УРАВНЕННЯ ГраФи к дога честного решения нззынзется ннтсгрэльной нрнзой: совокупно ть осек тзянх г афякоз образует г-параметрнческое сгл»гйстго иннигрзяе«ыя яр и к аж гр Обратно.
если дзян г-пзраметрнческое семейстэо лостэточное числ Р д Рф Р ПнРУемых ФУнкЦий (2), то, нсключзЯ постоанные С» Сь ..., Сг Яз г + ! УР ззяепнй р) =р) (я; С», С», ... Сг) Н=О, 1 2 „,, г), по учим днффе енцнлльяое ураяяенне г-го порядка, описывающее это семейство. л Некоторые днфференцезльные урззнення имеют еще дополннтельны р Р е ешення особые интегралы, которые не нклю'»лютея з общее решенне (2) (см. тзх же и. 9.2-2.Ш. 9.1-3. Системы дифференциальных уравнений (см.
также пп. 13 6-! — 13.6-7). Система обыкновенных дифференциальных уравнений Г((х; у,, ую ...; у'„у,', ...)=О (1'=1, 2, ...) (9,1.4) снизынает одно независимое переменное х и несколько искомых функций У(=у((х) Уз=уз(х), ... и их произзодных. порядком г( каждого уранне- ийн (4) называется наивысший порядок входящей в него производной. Вообще говоря, требуется и урааиеннй (4) для отыскания и искомых функций уй (х); общее решение Уз=у!(х) Уз=уз(х)* ". Дапжиа СОДЕРжатЬ Гян Г,+Г +...+Г„ПРОИЗНОЛЫ(ЫХ ПОСТОЯННЫХ. Интегрирование системй (4) часто можно свести к интегрированию одного обыкновенного дифференциального ураннения порядка г путем искл о. чення и — 1 переменных уй и их производных. Гораздо важнее.
что каждую систему (4) можно свести к равносильной ей системе г уравнений пер«ого порядка путем заыены высших пронзнодных вспомогательными неизвестными функциямн. 9.1-4. Сущестаонаиие решений. Для корректности постановки начальной нлн краевой задачи требуется доназательстно сущестаонаиня решения, указы- нающее иногда н путь его построения. Существование физического явления, описываемого данным дифференциальным уравнением, может лишь подска- зать, но не доказать существование решения; доказательство существования проаеряет состоятельность математической модели (сы.
также пп. 4.2-1,6 н 12.1-1; примеры теорем сущестнозания см, а пп. 9.2-1 и 9.3-6). Правильно построенная математическая модель должна допускать реше- ния в виде непрерывных функций от пзраметрон, началы(ых значений н т. п. 9.1-5. Общяе указания. (л) Подстзноэка рядн тейлора (и 4.!0-4) плн других родов для в (я) е пенное пнффе- Ренцнальяое урэененяе может дать урзэненяя для ненззестяых коэффппнеетон (см.
также пп 9.2-5,Ь н 9.3.5). Некотооые днфференцналзные ураэнення могут быть упрощены заме- ной переменных (пп. 9.1-5,5, 9.2-3, 9.3-8,с). Каждое днфференцязльное урзененне нлп снстемз таких урзнненнй »»огут быть снедены к системе урззненнй первогО поРялхг. к которым прнменнмы методы и. 9,2-5. (Щ сягдрютн толы «гноя«мя диффгргяпнап«ия рроя«гний легко сгодялин я рр»»т нгннлм «нэн»йя яорлдко» (см также пп.
9,2.3. 9.5-5П р (я, р'л», р пе»', „,, р'")т) 0 (подстзнозкз р = р и ), Р(Ю р'. р", ..., Ут') = 0 ( (р' д»л' длг дд— дя = др дя=,(-,. если днфференцнальяое урзнненне Р(я, р, р', ..., р'г') 0 однородно ло оргвлг«. там у, р', ..., р'г' з смысле и. 4.5-5, то вводят р = рур. 9.2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 9.2-1. Сущестаойанне н единстнеииость решений. (а) Дифй)еренциальное уравнение первого порядка вада ив "=/(х, у) (9.2-1) я-»»1 р~-~ У=у (х) удовлетворяющее условию у(я,) = „;.. /(., „, „, пРеРывна в некотоРой акРестнасти точки (хэ, Уо). Более опРеделенно, если /(х, у) непрерывна в открытой области Р и удовлетворяла) в этой Обяасп»и условию Лапшина ! / (х, у) — / (х, !1) ! ~ М ! у — 11 1, (9.2.2) где М вЂ” некоторая положительная постоянная, то дифференциальное уравнежит нис (1) при любом начальком условии у(хо)=уо, где тачка (х, у ) принадлеобласти Р, имеет единственное рпиейив у=у(я).
Каждое решение = о ' о о может быть продолжено до границы области Р. Геометрическая формулировка теоремы такова: через каждую точку обло. сти Р проходшп единственная интегральная кривая. Условие Лппшнцз (2) удоелетноряется, е частнсстя, если ! (я, р) ммеет е О ог аннченную производную д!(др. е е огранн- (Ц (см.
также п. 9.1.3). Аналогнчнзя теорема сущестнонзннн спрзнеплнее я для снят»я днффслгнпиолеямя ррог«с«ий лергого порядка г яорнняе«он аиде; »(р) — =!(я;р,р,...,р) У=),2,...,л), (9.2-3] если условие Ляпп»нцз [2) зэменнть мз л ! /; (я: рп -., Р„) — 1, (я: ч(,, »1 ) ! т ы 9=1 (9.2-4) У»лсзне (4) сослюдэется, и члстпостн, если нее д)удр огрэннчены » / 9.2-2. Геометрическое толкование, Особые интегралы (см. также пи. с 17.1-! по 17,1-7). (а) Если к, у — декартоаы прямоугольные координаты точки, то дифференциальное уравнение первого порядка Р(. у, р)=О (ррн — — '„Р) (9.2-6) описывает поле иапрайлеиий нлн поле линейных злементоа (х, у, р), проходя- шнх через точку (х, у) с )тлопым козффициентом р=йу/йя=/(х, у). Каждый линейный элемент касателен к некоторой интегральной кривой однопарамет- рн»еского семейства решений (9.
2-6) у=у(х, й) нли»р(х, у, Ц=О. Поле ннпрееленнй позволяет прнблпжеяно грзфнческн построить янтегрэльпие нрнные; общнй хзрзктер семейства янтегрельных нряных может быть ясследоезя ме»»- ром и. 9.5-2. Прн пострОении ннтегрзяьных пряных могут окзззться полезныпн нзонлнны г» (я, р, р,) = 0 нлн ! (я, в) =- р» яз которых н»пегрэльные пряные имеют фянснроеэнныя д! , д! ;гловой козффяпнент р» Кривая — + —.1= 0 деет гтмг риис«ос место ею«с« дя др с пэмож нога перегиба. (Ь) Особы е и итог р а л ы (см. также п. 9.1-2). Пусть р(х, у, р) непрерывно днффсрспцнруема.
Исключение р из ураяпсний Р(х, у, р)=О, — =О дп (9.2-7) дает дискримниаитную кривую данного дифференциального ураааенпя (геометрическое место особых линейных алементон). Кривая, определяемая уран. пеннямн (7), есть особая интегральрая кривая, если на этой кривой »Р др д„- + д-р=О, причем обе произнодные др/дх и дг/ду не обращаются в нуль одновременно. Огибающая семейства интегральных кривых (6) всегда является особой интегральной кривой; она может быть найдена по общему интегралу методом и. !7Л-7.
269 9,2, УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 268 гл. 9. овыкнопенные днфференцн»льные урдвнення 9.2-3. )(Преобразование переменных (примеры см, в и. 9.2.4). (а) Замена переменных (точечное преобразование) к Х(Х, у), у» У(Х, у) 1 —.' Ф01, га (к, у> (д(', Р) (9.2-8) а) ау= + —.— Р дх ду у =,ы ах ах—.1- =-Р дк да преобразует данное уравнение (1) или (5) и новое дифференциальное уравнени е относительно х и д, которое может оказаться проще исходного, Найдя решение у=у(Х), мы получаем искомое решение в параметрическом ид: х=Х(х, у(х)), у=)'(х, у(х)). Если решение преобразованною уравнения получена в неивнам виде и(х, у)=0, то искомая связь между у и х может быть найдена исключением х и у из трех уравнений: х=Х (х, у), у= ]г(х, у) и и (х, у)=0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
