Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Едгп;и ~ная полуакружеость !х~=),у)0 и) у~ й! !л Р лв Ф возрзстает, то и возрастает Прямолинейный отр зах †!<! Едиикчная полуокружиость ~а —.— 1, у(О ! Рп ~Р и Рас, 2. ю= х' Лизин тока для те~еггия, обтекаюшега едииачный КРУГ СО СКОРОСТЫО Гл В ОЗ и) О = СОЛМ О' ',72У б' Оаатсетствуюшне линии по. гтояигюго потенциала скорое гсй и = сОпз! выбраны произвольно; остальные точки х и пзраметры А и В определяются едннствсрнь м образом. Если одной из вершин л ногоугольншса соответствует бесконечно удаленная точка, нзпрвмер, х„ =-со, то фира!).ла (9) приводятся к виду п)=А' ~ (г — х',)"л ' (г — х') з ...
(г-х'„1)ил-1 ' г(г+ В', (7.9-19) А' и ()' — постоянные параметры и хы хи ..., х'„, — новые точки осн Ох. Рис, 3, ю=-зн )Г ) 7'т' А Фактн ~еское определение точек ху или х) весьма глао,ио, за исключевием некоторых выролгдеииых случаев и когда один алн иескольио углов аж обрашаются а нуль (см. 17.011. Прилткения формулы П)варна — Кристоффеля к атображени~о параллелограммов и пряиауголы оков в ю плоскостн приводят к аллиптнческвм функциям !п. 21.0.-!).
Отобра кения аб — 30 в табл. 7.9.2 суть частаые случаи формулы Шварца — Кристоффеля, 7.9-8. Таблица отображеиикт Табл. 7.9-2 иллюстрирует некоторые отобра-. жения, чгсто встречающиеся в различных прнложеннях. Рис 4. ю = 17х Пряиалакейяые отрезки действительной осв 9=0, соответствуго~цлге интервалам — са ( х ( — 1, — 1(х(О, 0(х(1, 1 (х (о» Прячолпнеигыа атрсзо ) Если Ф возрастает, то и ~ — 1<и(1 ) бь взет Прямолинейные отрезки дей стеительной оси а = 0 — са ( и < — 1, — 1>и> — оз, са) и) 1, 1(и(оз 22! 7.9-7. 79.
КОНФОРа!НОР Стоб ажрние 220 Рис. !9. и= 1по Рис. 5. то = 17а. ; со';.'д,' П ФАРРА,",4 Г) 5С П' Г Г К П' ййй Рис. 11. оо Нп*, 1!СО: и=К 7РС'С' есть полуоллипс ( — „"-.-)'. ~-.—; —.)'= ' Рис. б. та= оп. и Е П П' ПП В Рис.т, ы=е. а а — 1 Рис. 12 от= —. а+ 1 П' Г сб П Рис.б.в е. Е'; С Л С ! — а Рис.
13, ит ! ° 1. 2 Рис. 9. оо = а1п а. ГЛ. 7. ФУНКН1!И КО91ПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Т а б л и ц а 7.9-2 7лродооооенис1 аЬ. б! и! г ! а б л и ц я 7.9.7 !продоооссио 1 223 !г! ""'е фР х(Я ф' Я Л! :Ъу аФФ"~' г — а Рас. 1 . 27=.— —: а аг — 1 Е' ()' С' В' Я' , ХЕ!(4Б)2жР 1 Ргж. 16. в =2-(-— г ГЛ, 7, ФУНКНИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Т а б л и ц а 7,0-2 (продолжение\ г — а 1 -!. хе с ) (1 22) (1 ка) / а Рве.
14. ж=; а= (7, 1 — к,ха 4- 2У(1 — х'-,') (1 — .г)) х,— к, (а)!и((е>1, если — 1 .:к. <х,<И. 1 л- х х, — ' ) (': — 1) (" ' к, -е х,х — 1 — УУ(к- 1) (ке — !) х, — к, (х, <а <х, н 0<)(е < 1, если 1 <.42 <х,). ! ! ! 7Л КОНФОРМУ!ОЕ ОТОБРЛ)КЕНИЕ Т а б л в ц а 7.0.2 (прадалхеекие) а( ЯЯЯ~~~~~ф~ )) )ГИ Ра с 17 се г 1 пб 1'вс.
18. ы= — г-,'- —; Н'С'О' есть пол)аллипс 1 + аи 42 ( (ес' 42 Л'ж( 7 (!Р— ! а! ~~~Ф~~~4' 2 — 1, ы Рвс. 10. ж=!п —; г= — с(0-,—. и 2 — 1 Рвс. 20. ы =1п —; ЯЕС есть д)га 2 -1- 1 окружвости к" + 02 — 2р с! Л =- 1. и"-и 2+! Рис. 21. ж =(п — — —; центры окружностей г — 1 1 в тсс ах г = с(1~ е, радиусы (л.— — 1, 2). 21! с ГЛ. 7. ФУНКПИ11 КОМПЛЕКСНОГО ПГРГМГППОГО 7 9 КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 225 Т а б л и ц а 7 9 2 (продолхеение) Т а б л и ц а 7.9-2 (продогжгнж) Рис, 22.
нг = и 1п — +1и 2 (! — *)-1-и! — а (п (г+ П— и 1 — и — (1 — 2) ! п (г — 1); х, =- 22 — 1. г 1 — согг Рнс. 23. ог = 12*- — = 2 ! + соа г р( Я' Рис. 28. ог = — )п 1+ Мг А 1 — !М е !-1 Рис. 24. ы = сЕг— 2 е — ! Рис. 25. го = (по(К— 2 8 Г, КоРн и Т, Кори 7„9 КОНФОРМНОЕ ОТОБРА)КЕНИЕ Область О в «-плоскости Замечшпгв Преобразование Ра г — а ш=« г -!- а (1 действительно) Правая полуплосквсть рм о « = а преобразуется в течку и = О ж « — а ш=е 1 — аг (1 действительио) Единичный круг !г(<1 Частный случай пре. образования Шварца — Кристоффелл П.9.9) ш — 1 — = ге ш -1- 1 Полоса шириной и о <х<п, — сз < и < сз (! ~,«1)о)з ((1 — «1/е)з Сектор единичного круг )г! < ! о< р< па ()ф ! Ге)з (; (1 «1)а)з «.плоскость с разрезом от г О до г = сс вдоль положительной части действительной оси См, также и.
7.9-3 1 Г а Ч- Ь 1 «= — ~~(а — Ь) и, ( 2 ( и Внешность зллапса «' е' --+ — =1 а' Ь' Внешность параболы ! г ! сов* — = 1 Ю 2 ш = (к* ~ — 1'г) 4 Внутренность параболы ! г ( свез — 1 Ф 2 , «в+ 2Л» — Лз ш ! гз 2Я«из Полукруг 1«)<Л, л>о 10 Комбинации отображении Шварца — Кристеффелв (п. 7,9-4) с отображением 1 Область, ограниченмав прямыми лиинвмв (многоугольник) Н ГЛ.
7. ФУНКПИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕНПОГО Табтицз 7)3 Коиформные отображении некоторых областей «7 на единичный круг ((ш(<!) , га г = х -1- ге = 1 «! е 'г, и = и + гв = ! ш !е 7.9-В. Ф (а) Теорема Рим о ункцни, отобРажающие специальные области на е дииичны круг. а на об о то бра же н и в. Для калсдой односвязной обла,.гпи 0 в г-плоскости, кроме всей г.плоскости и г-и и г-плоскосгпи, из которой удалена одна точка, существует конформное отобралсе =1( ), устанавливает взаимно однозначное соответствие межд ние ш= г ктпорое в ме у всеми точками области О и внутренними гпочками единичного круга )ш! <1. г) налитичыкая функция 7(г) опргделгна едиосгпеенным образом, если задан образ ггош рот любой кривой, проходящей через зту точку, т.
е. 1(а)=ша и агар(а)=а, где ан и гг-заданные вели тны, Если О ограничена регулпрвой кривой (и. 3.!-13) С, то непрепывна на С и 'ста а у н вливает взаимно однозначвое соответствие межд всеми точками С н точками единичной окружности (ш( = 1. 3 а м е ч а н и и, !) Отображение задается оп е елен о 3 а ! е .. р д ленной аналишгческой функцией)(г)т иых выше тривиальных сл чаев, квж свитк простым коитуроч ма!хна отобразить ков н то разить ковбюрмио йа другую область Оц также Проблема коиформиого тсбражении области О на едмничвый к с решением нрзевой задачи Дирк«ее длв области О (и Ю 3-9) воз отображение может быть получено после зт, разов« в и й. получено послеловательныи првмеиением простых пресб.
(Ь) В табл. 7ки3 и иве еиы о ласте на единичный круг. р д некоторые коп.[)ормные отображения заданных З 2 НППОГхРАЗОВАННГ ЛАНЛАГА 229 ГЛАВА 8 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И ДРУГИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 8.1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ Преобразование Лапласа (п. 8.2-1) связывает однозначную функцию Г(в) комплексной переменной в (изображение) с соответствующей функцией 1(1) действительной переменной С (оригинал). Это соответствие, по существу, взаимно однозначное для большинства практических целей (п.
8.2-8); соответствующие пары 1(1) и Г(в) часто определяются при помощи таблиц. Преобразование Лапласа харантерно тем, что многим соотношениям н операциям над оригиналами 1(С) соответствуют богее простые соотношения н операции над их изображениями Г(в) (пп. 8.3-1 — 8.3-4). Оно ярнменяется, в частности, для решения дифференциальных и интегральных уравнений; метод решения заключается в преобразовании данного уравнения, содержащего оригиналы](С), в эквивалентное уравнение относительно соответствующих иэображений Лапласа Г (з).
(Операционное исчисление, основанное на преобразоввсснн Лапласа, пп. 9.3-7, 9.4-5 я 10.5-2.) 8.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 8.2-1. Определение. Преобразование Лапласа (одностороннее) Г(в)=К[1(1]]='] 1(Пе 181 (8.2-!) о ставит в соответствие каждой однозначной функции (оригиналу) 1(!) (( действи- тельно), для которой несобственный интеграл (1) сходится, единственную функцию Г (в) (изображение) комплексной переменной в=а+Йо. Интеграл (1) называется интегралом Лапласа, а функция Г(в) — преобра- зованием Лапласа (одностороннмм) функцвн 1(С). Часто употребляются записи Г (в)=Е'[1(С), в] нлз Г (в) =.ь](С]. 8.2-2. Абсолютная сходимость. Если иптшрав Лапласа (1) абсооопто сходится ыри а=.ош т, е.
сусцеспюуссп прсдел ь хо !нп ~ [1(с) е а" а(=- ~ [1(с) ~е ~"дс, (8.2-2) ь- -;, то он сходится абсолсотно и равномерно для а==не и иэображение р(в)— аналити алитическая функция (п 7.3-3) при Пе в=-.а =-ав. Точная нижняя грань а„ действительных чисел аш длЯ котоРых зто Условие соблюДаетсЯ, нззызае с в ', т я абсцнссой абсолютной сходимости преобразования Лапласа б [1(С)]; в полупло- скости Кев)а иэображение Г(в) — функция анзлитнческая. Хотя некоторые теоремы, относящиеся к првобрвваввввю Лгпхвсв, вушлвсатев тавьхо вввв преобрвваввввя (простое схохвмскпсы сущвствов]вве абсциссы абсолют- моа схопвмоств будет првлполвгвтьсв во всеы двльиеп]всгжс вхтв к . тв, А в димо епецвввьво атмесвсь облвсть вбсах~отссоС сход» юств, сввввввую с свогвашевввм, вхвючвющвм превбоввовввве Лвпхвсв, будем пвсвсь о ь о споввв от исследуемого соотпошевмв, ввх в 4юрмулв 131, ) для а )ао, если инспгграл (возможно, нссобстзспныгс) !, стцсшпвует для каждого поносного С,~О и 11(1) [ц Ае а для ()(вгв =-О (1(() имеет экспопснцивлысый порядок или 1(С)р О(е а ) прн С со, п.
4.4-3); 3) для а~ 0 или аюа„(какая из границ больше), если Е'[1' П)] гуи!гспсеует (ие обязательно в смысле абсолютной сходнмосги) с]ля а > ао. 8.2-5. Обратное преобразование Лапласа. Обратное преобразование Лапласа У! х!Г(в)] функция Г(в) номплексной переменной в=а+!ю есть функция 1((), для которой преобразование Лапласа (1) есть Г(з). Не каждая функция Г(в) имеет обратное преобразование Лапласа.
826. Теорема обращения. Лусспь Г (з)=Е' [1(С)], а.шпа; тогда в каждом открытом интервале, где 1(С) ограничена и имеет конечное число лишек максимума, минимума и осечек разрыва (или, более общо, 1(С) имеет ограниченнусо вариацию (ц 4 4-8 Ы) о,-с-ся 1 (1) = йш !' 1 " (') "'"' = с '"'"--о -сн з [1(1 — 0)+1(1+0)] для (~0 —,'1(О+О) для (=О, (ах) аа) 0 для ((О (8.2-4а) ажд о ( ~ 0 м)в 1(С] ос+ сд зяс !сш ~ ГО) шсдв=1(1] (а,а ) (8 245) во а,-гд Путь интегрирования в формулах (4) лежит справа от всех особых точен а,+но Р(з). Интеграл приводится к интегралу —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
