Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 52
Текст из файла (страница 52)
2, у7см>ла жордана. Если 1. (г) пнилитинпа е верхней полуп(оскости, исклииая, оазма>кио, конечное числа полюсов, и гтрсмилгсл к пупа лри , 'г ! со, кщда и О, лю д.щ тобо о дсйстлтпсльиазо >галажгггпфтэнага числа >и 79 КОНФОРМНОЕ ОТОГРЛЖЕН1!Е 7.9-1. 214 ГЛ. 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕЫЕННОГО внутри С, ае цсегюееаием, быть моеьет, конечного чесал полюсов аи а, ..., ам, нл которых им одна ие совпадает с точкзмм г =- т, г = т+ 1, з = т+ 2, ..., 2..., г = е Тогда м м / !Е! = — ') и / йб е1К пс аг — ~~ Ке = г (а ), Е = ел С 1=1 П,т-т! где кее г !а ) — еычет,'унццци г !е!= и /!е) секя» а точке г = а; 1 Р / л 1 ! — еей/Ы! = —.
и / И! соеес пйел; — ~„пела, (а/) 17 7-З! 2п/ .е й=т С /=-1 где К, Ы! .= и / !г! ешее яе. Ниегде быееет возможно выбрать контур С так, что метче Рал г правой части формулы 17! или еа! исчезает, 7.8. АНАЛИТИИЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ 7.8-1. Аналитическое продолжение и моногенные аналитические фугкгип (см. тзкже пп. ?А-1 — 7А-З). (а) Пусть однозначная функция /1(г) определена н анзлнтична всюду в области Об функция /е(г), определенная н анэлнгнческзя э обл стн Ое, есть аналитнческое продолжение /! (г), если существует пересечение областей Гл, и Р„содержащее открытую область О, в которой функция /1(г) н /е(г) совпадают.
Аналипеиееакое продолжение ф (г) определлелеся едиещепвеияым образом ло е эха еениям /' (г) в Р,, (см. также п. 7.З-З), Сверх того, аяалщнимгхие по-ьол- 1 етеяия /1 (г) удовлсееесоряют каждому фуикииональному ураенелиш и, е:агтлоапи, кахгдолеу дифференциальному ураенсмщо, хотз/ ол!у удоелетворхсгл /е (г) (принцип коисерсапееезлеа функциональных уравнений). Ь)пенно также ьосноееьзоазться фу! кцней /,(г) для расширения области оеередслення /1(г) н обретео; рзссматрнвать /1 (г) н /е (г) кек элементы единой аиолнтнческой функции /(г), очределенной всюду в О, и Ре. /1(г) н/нлн )т (г) могут допускать дальнейшее аналитическое продолжение, ведущее к другим элементам функции /(г).
(Ь) Мпогозйачные функция. Заметны, что/е(г) н/е(г) нс с язательно совпадают ао всем пересечения областен нх определецня.,/, !г) моекет иметь аналитическое продолжспне /а(г), определенное в Оы но гс совпсеее!ошее с /е (г). Аналитическое пРодолжение лютея пРоизводить елегеп/ньц нринадлежаи!ие к различным аетзям л!ноеоэночной аналитической функции /(г/; д!а значения /(ге), полученные при аналитическом продолжении )е (г) вдаль дзух различных путей С и Сы совнадщопе, сели С и С, яе окружают то!ну развел: аления /(г).
(с) Возможные зналнтнческне продолжения дзаного элемента образу!от моногенную аналнтнческую функцию /(г), определенную, исключая изоларопзаные огобенностн, но всей плоскости нлн в связной области с естественными границами. В то время как еыбор последовательности элементоп, определяющих /(г), не является фппспрованным, принцип коясежст юма г/еункциональных уравнений применим ко всем элементам и каждыи тазом один элемент едиягтееиным образом определяет все нет!и, 17залиртеаяные особенности и еапггиыеепую границу /(г). 7.8-2, КМетоды аналитического пцодолженмя. (а) Стандартный метод аналит!й!еского продолжения отправляется от ф!нкци! /(г), онредсленаой степенным рядом (?.З-4), сходящ!неся в круге )г — а)(г.
Для цап!той точки г=Ь этого круга значения /(Ь), Д (Ь), ... пзесстны н определяют раэложзнне н ряд Тейлора ь окрестности г=-Ь. Но. пыи степенной ряд сходится впутра круга ) г-Ье< г', ко~орый может иметь часть, рзсположенную апе пераого круга. Тогда мы г!од?язем апатнпч се ос продан!!сенс функомн ) (г) э часть кр:тз с центооье а точке Ь, лежащую зее круге с ьсн гром в точке а. Этот процес" ь:ожет быть продолжен пплоть до естественных границ ф)нкцепц кзждый степе!нюн ряд есеь элемент /(г) Заме е е и ее.
Фуеецея, определенная гшцетшм рядом с ке генцем оедцше е сходцее.тя, имеет це е(!езде!ей хере одну о об!о точку ае гееяеее ьгуее след:ые:тц (Ь) Пусть даны дае одяосвязные областн О, н /)з без обецпх тачек таки", что ят границы нес от одпн общий к)сок у. Еслн функция )!(г) и /з', ) анеля гнчны соответственно в областях Р- и О„непрерывны в О,ц у и Рз-1 '/ (т. с. вплоть до линии у) н созпзлают во всех точках крнной 7, то фуикш*.н /1 (г) и /, (г) являются апалятачсскями нзодолже!шямн друг друга.
(с) П р и н ц н п се! мы ет р н н. П!сть /(г) определена н знзтетн'зее в облзстн О, гран!ща кшорой содержат отрезок ",' осн Ох, непоерынна а 0 н прап!мает на 7 действ!щ льпые значешез. Тогда фупкпня )е (г), опредсл«!- н" я э облястн 0*, снччетрпчной с областью 0 относнтельао действятельноз /* (2) = / /г), (7.3. 1) гглятся аазлктещссх:ш ородощкеннсм /(г) в области О*. Бойсе обпю, ле/тлю /(г) определена и аяа:ини на е сбла и;и О, граница кот.рой гойерхгине ду е/ ое,ре/.»снести или прлмолимещеый отр~зок 5, на котором /(г) ис',ерерьмяа и принимает зееаеелеея, лезги,цие иа ьгхоторои дуге окружносчеи или лрямолиыгином олерешы 5, в !!лагкости ш 7огда функция /(г) мозес!ее бьеть аналилнтггет !ероделжени в обло.ть 0 ', симмтпричную с областвео 0 отлоеющнщно 57, е:риеея ее значения з то!хах, тснметричньт отноеителиео 5е, будут сне!лесе'1- / и еяы отяоситсльно 5.„.
7.8. КОНФОРМНОЕ ОТОВРАЖЕНИЕ ?.е-1. 1(ое!форме!ое отображение, (!) Функпня ю=,'(г) отображает точкн г-плоскости (нли рпмановзйе по- верх„.стя. п, 7АсВ а соответствуюшне точки ю-плоскостн (нли рнызновоа понг)ехпост!е). В кжкдоц точке г такой, что ) (г) аналнтнчна н /е' (г) О, алие-а .ение: ю=/(г) конформно, т. с угол между даумя крннымн, прон"дс- !цчц.е через то щу г, переходят а равный по вели !ннс и по нзпразлс:пю отсчета угол между соотсстстэу!ошеппн крнаымп в плоскости ы. ! "г. еечео мазней треугельеяц около темой точки е отображается в подобный б.сце- '"'н е мел*ее греуголынеи шплоекоете; кецдля г ароне треугельецка растягеееееы е отяееегаяа ! /' !г!: 1 и поворечяеаетсе ее угол егг /' !7). Коэффициент меееженне !тец еееее отеешешее малых плшцедее! ари отейешцееем ш=/!т) = а (х, щ-! ! е (х, ф )йм йи йее, е!,' йх йеи ! Р !г! Н = — ' е!х,и! 1дй де дх аи ° ьюлдей точке е, где отобэюееяяе конференц конфоечцее отогрежение преобразует ееецц х -- сопле, и = сопле е гетеейетео еелегоцальееьет ! раецтопцй е шпеецсееости.
Образце, лезем а !е, и! =сеял!, е !х, ч! = сопле сеотеетегеуют ортегццельеыч гоген огеяте е-еле!ее< и еем также табл 7 2-!!. Обл.еть «плоскости, атобрежеющаяся яа всю ге плоскость функцией / (Ю, аезывеется ееумдемеительиой областьее функция / ею те ьц, гд /' !е! =о назывеютсе критически ее 7очееми отобаелеецие ш = Е ее! '!. Отебоажееее, которое сокрецяет величину, ео не еле Еавлеиие отсчета угла чгыду двумя цеевычи, называется мзогоеаеьцым ил» ь* еформеым отображением вттзого роде !дяеемел иеаеенольееге, мо ее еонформеего алга! гхгтш ш =.
е), '! Некоторые заторы мазы еают особые тотем, где Еи ые = О, также ерцтятееце:е течкемя / !зе, 216 7.9.4. 7.9. КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 2!7 (7.9-7и) (7.9-7с) (7.9-8а) г=.. ((и — д) сх !' (и — д)'+4ус) (7.9-3) или 2=в,.)к'вз (7.9-8И или (7.9-8с) а,— г,г,— а, ш,— ш ю,— юв — а к„— г йч — и ш — шз (7.9.4) (7.9.5) (7.9-5) (7.9-9) ГЛ. 7.
ФУНКПИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 7.9-2. (Ь) Отображение в=)'(г) коиформно н бесконечно удаленной точке, если функция в=) (1/г) =р (г) отображает начало г=О конформно в в-плоскость. Две кривые пересекаются под углом у в точке г=со, если преобразование г=!/г переводит их в две кривые, пересекающиеся под углом у в точне г=О. Аналогично в=) (г) отображает точку г=а конфориво в точку в=со, если вт=!17'(г) отображает г=а конформпо в точку в=О (сл(.
также н. 7.2-3). 7.9.2. Дробно-лнкейное отображение (преобразование). (а) Дробно-линейное отображение в= —, (Ус — ад) ~ О (7,9-2) сз+ й устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками г-плоскости и точкамв в-плоскостн.
Оно имеет две инварнантные точки (которые могут и совладать), отобража(овеса сами в себя. Отображение нонформцо всюду, исключая точку г=- — й)с, которой соответствует в=аз. Прях(ым н окружностям г-плоскости соответствуют прямые нли окружности в-плоскости и обратно; в этой связи можно прямые рассматривать как окружности с бесконечным радиусом, проходящие через бесконечно удаленную точку. Для каждого дробно-линейного отображения, отображающего четыре точки г,, гм гз, г соответственно в вы в„вз, в, (инвариантное двойное отношение или ангармоническое отношение()).
Рзвеиство (4) определяет единственное дробно- шнеимое отобрижемие, переводящее три данна(е клочки гр гз, гз соответственно в три данные тоти вр вз, (оз. Существует дробно-линейное отображение, которое нреобризие(п виданную окружность или прямую в г-плоскости в задомную окружность или пржмуто в в-плоскости (см. также табл.
7.9-2 н п. 7,9-3). Частные случаи Огображеаме =Агв В, где А я  — лроеззользые комплексные числа, соответствует ало~жалю на угол аж А, Растяжению е А Раз а параллельному сдзягу на вектор м. Лолсймеа отображение (5) ею з самое обта камбармноа отобролсемие, которое соксомжт лсзоби. жамеглличжкик фиеар. Отображение 1 представляет геометрически оиаерслю точки а относительно еднззчной окружности с центром з начале координат с последующим сзммекрячным отображением относительно действительной ося. Отображено (б) лоеобоозсст.
1) прямые, проходящие через зачала координат, е прямые, также ерохохящзе через начало коордимат) 2) окружности, проходящие через начало координат, з прямые, не проходящее через начало координат, а наоборот (прямые, не проходящее через начало «оорданат, з окружяостя, проходящие через начало)С 3) окружности, которые зе йроходят через начало зоордязат, в окружности, также ае проходящие через начало ноордннат. ') Двойное отношение (() действительно, если точки гю гз, с„а (в следовательно, точен т„вю мю ш) лежат на окружности или прямой.
(Ь) Дробно. линейные отображения (2) образу(от группу; обратные преобразовзния и произведения дробно-линейных отображений также являются дробно-линейными (п. 12.2-7). Каждое дробно-линейное отображение (2) может быть представлено как результат (произведение) трех последовательных простейших дробно-линейных отображений: й г'=г-(--- (параллельный перенос), г = —, (инвелсия и сим.пегприя), (7.9.79) бс — ой о в=, г +-- (врищсгше и ристюсемие с последующим ларал- ЛСЛЬМЬ(и переносом) 7.9-8. Отображение в=- -(2-)- —.~) *), Отображен.е г ! ( 2 ( гу в= 1 (г-)- -1 ) эквивалентно следуюц(им; и=; ~)г !+ —,,' )соз(р, о=,' (! г! ' ) „„, реобразованне (8) конформно, за исключением критических точек г=! н 2= — 1. И внешность, и виутреннос(ь единичной окружности )21=1 отображаются на всю плоскость в, нз которой удален прямолинейный отрезок — 1(и(1, соответствующий единичной окружности ! 2 )=1. Некоторые важные свойства преобразования (7.9-8и) приведены в табл.
7.9-1. 7.9-4. Интеграл Шварца — Кристоффеля. Интеграл Шварца — Кристой)- феля в4 А ) (2 — х)а — 1 (г — х )оз ... (г — .н)ил 1 ! +. г, л и)=п — 2 1"=1 отобразкзет верхнюю полуплоскость у) О копформно во внутренность многоугольника в в-плоскости; контур многоугольника соответствует действительной осн, веРшины в(, ва,..., вл соответствУют Различным тачкам к,, хз,...,х„оси Ох и внутренний угол многоугольника в вершине вг равен ссрт (/=1, 2,..., и). Для киждого данного многоУгольника в в-плоскости 7Ри из точек хк могУт быть ) ого отображеаяе ооычно называют оа~абр«жемиам Жекоажасо. 218 7ж-б.
ГЛ, 7, ФУНК11ИИ КОй)ПЛЕКОНОГО ПЕРЕМЕННОГО 7.9 КОНФОРМНОЕ ОТОБРДТКБНИЕ 219 Таблица 791 Т а б л и ц а 7.9.2 1/ 1Л Свойства отображения и) = — 12-)- †) 21, а) ПРимеРы кои)форам!ых отображений !см так» е табл. 7,9-2 и 7 9-3) з =. х+ !гу= ' з ' знуг ю = и+ Ы = гс !9 Точка, «раааа !ые) или Точка кривая !ыс), или область в а-нлоснасти ~ облает~ в ю.плоскости Зачсчанля г'В Г Если гр воарастзет, та Е возрастает для 1 с!) 1 и убывает для, х ! < 1 Окружности с центром в 0 ,'г')=с =-сопз1Ф! Зллипсы с фокусами -!. 1 сл — +- — =1 с)Р а з1г' а ф д С' 72У' ф Гиперболы с фокусами -л- 1 с" О' го Ч Миа с,' Пряколнпсйиые лучи, выходящие нз начала координат гр .= сапы — — О Рис 1. ю=-з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
