Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 98
Текст из файла (страница 98)
2 .) 2 21 ИП П 421 (12) 7 63 Фувкпии 89, .Е и другие специальные функции либо р+ д < 2 (и+ л), ) еги а ) < (т+ и — р — — д уе, ! 2 2 ./ Не!а> О, Аск>НЕА ) Веа,— 1, 7=1, ..., л, р 8 Не['~;а,— ~Ь1+(д р)С2+2)~) 1 ! ! ! р 8 Не ( Да,— ~ Ь,+(д — р) ~)8+ 1)1 > — ! 1. 1=! 11 ИП П 421(13) а ! 7.Ка ~ хе-18 И1„, „(х) Е(а1, . - а„еЕ1. ° ' 981х 8) 1хх = о 1 ! ! е+» 2 (2п)8 т Е(а„..., а ~19„..
-. 9,~1и 8)» 1 1 6+А+ив 2 () — и+А=, 2 а,„= а,д —— к+А 9,.8 = „ . й = 1. . - -* т [Нор >!Нор! — —,, 1л=1, 2, ...) . ИП11416(10) аФ 7831 ~ х 8(х-1) 'Г(И+а — д, А+а-д; а; 1 — х)Х Ха"'"(ах"' " Р) Дх= Г (а) 0 +88'8".Ас(а~~~" "" а"'А+2+а ) р+ д< 2(т+л), ) агап! < (и+л — -ур — — д) и, Нее>О, Ней)НЕ2,>Нее,— 1, !=1, ..., и, (ч.— 9. ЕПЕЦНАЛЬП14Е ФУНКЦИИ 8.1 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФУНКЦИИ 8Л1 Эллиптические интегралы 8.110 1. Всякий интеграл ~ вв (х, )/Р (х) ) ь(х, где Р (х) — многочлен третьей или четвертой степени, вюнвет быть приведен к линевяои комбинации интегралов, приводящих к ааементарным функциям, и следуя щвх трех интегралов: 1 )' 1 — Ьвхв )/1 — вв г (1+вхв) )'(1 — хв)(1 — Ьвхв) — а — ', 1 )/1 — йв -пв рдр, (1.га ввевф) )/1 — ав вш" ф ФП100 Результаты приведения интегралов от тригонометрических функций ь нормальной форме см 2.58 в 2.02 3 Зллипгическвге интегралы, взятые в пределах ог 0 до †,, называются й ' полнили авливпвикесхими и нтеграввалси.
8.111 Обозначения: 1. Аф= )/1 — йвзпР~р; й' = — )/1 — )вв. )вв < 1. 2. Эллиптический интеграл первого рода. в!в р Ррр, й)- в )/1 — йв вш' а ~ У (1 — хв) (1 — авхв] вх )/(1 — хв) (1 — йв в) ' в которые яазываются соответственно гллиптикесхими интегралами первого, второгО и третьего рода в леев андрееои нормальвюа форме. Результаты такого приведения для часто встречавяциься вите~ ралоп даны в формулах 3,13 — 3.17 Число й назгаваотся вводулем хгпх шщсв рвлое, число )в' = Р 1 — )вд— пх дополнительнвьи моду вем, а число п — пираметром интегравы цветьего рода.
Ф П УУ вЂ” 106 2. Эллиптические интегралы подстановкой х = з)пу приводятся к нор. мальпой тригономевприкесхой форме 919 о 1 длчиптичаскип инткггилы и Функпии 8.113 Х л ~1 Я йо+(13) йв) ~ (ти 1)9 ~ )ои См. также 8.197 1., 8.197 2. 8.114 1. Ь'= — ~1 — —.й — —,' й— 1'З 2 -4 ~( 1)91о Ь* А' 3. Эллиптический интеграл второго рода: о вви о Е(вр, )и)= ~ )"1 — )ввоггвоавва= ~ в)х.
ФП135 рв1. в о о 4. Эллиптический интеграл третьего рода: о вви в П(у, и, й)= (1~~ в)и' а) У1 — А"впп а Г <1+охи) Р'(1 — «в)11- Евхв) ' ° =1 . Си13 о ви о )в(т, ))) — В(~р, х) михала 1' хвНх Ь. О(4в, )в) = рх1 Ив ми в и рх(1 — хв) (1 — Авив) о о 8.112 Полные эллиптяческие интегралы: 1. Х(й)=)г(—" , й) =К'(й'), 2. Ж(вв) = Е ( и, л) = Ж (й ), 3. Х ( ) = Р ( — ",, й ) = Х (1'). 4. Ю'(~) = Я, ~') =.8(а').
( в При дапиги полных дллиптических интегра.юв модуль Й, глужажий кезави- гпмоп поремепиой, часто опускают и пишут таь. Х( Х ()г)), К' (ио .К' (й)), Ж(ив Ю(во)), Ж' (ао.йх ()о)). Представление в виде ряда 920 В--с. сивпилльные Функцпи 1Г 4 ! ~,«««32 4 2 ! Ч,« 3, Я= 1+ —,( 1п —,— —,)й'+ —,(1 —,— — — — )й' + 2 (, й' 1 2) 2«-4 ! Ь' !.2 3-4) — — — — йв«с — ' + ...~. Ж43(158) 7 1 агссос —, )1= —.-(р+ — ) „+ —,— ~ — +(р+ — ! — „(1+ —,,) ~+ !55'с Г 37 2! ! +— — --,;+ ' 255 ( !44 43„ р= 1п —,, й'= 4е ", й" = 1 — йс, и"= 1 — и'.
Ж44(163') Тригоиомехрические ряди 8.117 При малых значениях й и «р можно пользоваться рядами 2 2 . с 24 1. Р(«Р, й)= —.ȫР— в!п«Рвов«Р ~ас+ — -а«в!пс«Р+ — --асг3п««Р+ ...), где Ж 10 (19) 2. К(«р, й) = — Мр — я!п«рсоа«р ! Ьс+ — Ь«в!п «р+ — 'Ь в!«««р+ ...
), 2 / 2.в24.4 я 3 « 35 где Ж 27 (86) 8.118 При й, блиеком к 1, можно польвоватьсн рядами: 1, р(р, й)= — К'1пс8( — + — )— 2, «р ах — ( а' — — а'18 «р+ — а'18««р — ...) 43«Р «, 2, с 2-4 сов р(, 35 где а,'= — „ег' — 1; а„'=а;, « — «с- —.— — «"- ( й' .
Ж10(23) 921 2. Е Эр, й) = — — Ж'1пй8( т + — ) + + — — ~~Ь'-- — Ь'18 Р+ — 'Ь,'й8 Р— ...), Вяе /', 2, в 2.4 в сове(, в д 25 где Рааложенве полных аялиптнческих интегралов по поликомам Лежандра см. 8.928. 8.119 Представление в виде бесконечного проюьедеввя. 1. Ж(й) =-,"-П( +й.), где 1 — рг~- йй, 1+ рг1 Ф П 166 См. также 8.197.
8.12 Фувяивовальиме соотношения между эллиптическими интегралами ФП691, ФП791 8.122 дР 1 ря — й'вР й вш т сов т МО 138, ВФ(710.07) ФП691 МО 138 ФП690 8.124 1. Функции Х и И' удовлетворяют уравнепюо — „~Ь' ® — йв=О. УВ П 371 2. Функции Ж и Ж' — ЯГ удовлетворяют уравкеишо й'+(й —,',")+й =0. УВП 371 8.121 1. 2. 3 4. в г оллиптичвснив ннтвггйлы и огннпнв Е( — ~р, й) = — Е (о, й).
Е( — Чл й)= — Е(Ч й) Р(пл ~ 4р, й) = 2пК (й) ~ Р (4р, й). Е0 ~ Ф, й) 2 Ж(й) ~ Е(Ф, й). Ж (й) .К' (й) + Ж' (й) Ж (й) †.К (й) Х' (й) =- — . д (й) и (й) х (й) дй йй'в й дл и — Р дй й глац ю(й) — х(й) дй й ЯЭ 151 ЯЭ 151 ЯЭ 151 ЯЭ 151 е — 9 спипнальнне Функции Формулы преобразования 8Л25 К(р, ',-— ,',) =(1+4)К(р, ц 2. Е (Чь, ~,)' —— , +„,~~(р, й)+йт(Чр, й)!— 1 — й — —, в(п т+ й' ! ! М(р — р)=)'хкч). МО 131 МО 130 3.
К(р" ,„")=(1+И)Р(р, Ю. 4. Е(ър, — )= + ~2Е(юр, й) — й"Р(юр, й)+ 8.120 В частности, 4 ~~',~+'„) =-,+,(~~(»)-~'~~( )). 8Л27 (1+в)*гв Ч~ а1игр= 1+ й агати МО 131 МО 130 МО 130 МО 130 МО 130 (си. 8.111 1.). МО 131 8.128 В частности, К ( — „". ~~ =Ь'К(5). 2. К (1Я=5(К(4)- К()))- 3, К®=Ы($)+гК'(5). МО 130 МО 130 МО 130 Интегралы от аллиптических интегралов см. 6Л1 — 0.15; неопределенные интегралы от полных вллиптических интегралов см. 5Л1. 923 зл эллипткчкскив интвггалы и эвикции 8.129 Частные значения: Ь- (Мп — ", ) = К ()зт ) = К ( — ") = (/2 ~ э ат у ! — >' =, — 1ГЯ)1'.
МО 130 МО 130 МО 130 МО 130 2. К'()/2 — 1)= )/2 71()/2-1). 3. Х' (з!и — Э ) = )/ З.К (з!и та) . К (!8' — ",)=К (' ~')=2К(!8з — ",). 8ЛЗ Эллиптические функции 8.130 Определение и общие свойства. Д р о б на я функция 7(з) комплексного переменного называется эллиптической, если она допускает д в а п е р и о д а (является деолколерподическои) 2ю> и 2ют, т, е, если 7(т.+ 2тю>+ 2пюа) = 7(т) (т, и — целые числа).
Отношение периодов эллиптической функции н е м о >к е т б ы т ь д е йствптельным числом. Для залив>мческой фуккцэи >(т) плоскость з можно представить себе разбитой иа параллелограммы — параллелограммы оерподоа, вершина>ш кон>рых служит точка з, ', 2и>ю» 2люа. В соответствующих точках этих параллелограммов функция 7(т) имеет одинаковые значения Ж 117, Сн 299 2. Пусть а — угол между сторонами а и 6 параллелограмма пер>юдов. Тогда а>, а — — ааюа Г >'а /а т= — '= — е™, Ч=-еем=е ~~ с> е ( — л соз а ) + > з!и ( — л соз и >1 3.
П р о из в од н л я эллиптической функвпн есть также функцял эллимточеская (с теми же периодами). См ГП 598 4. Вллпптичегкая фуш>цпя, отличная от постояшюго, имеет в параллелограмме периодов к о н е ч н о е ч и с л о и о л ю с о в: ке менее двух простых или одного полюса второго порядка. Пус>ь эти полюсы находятся з точках а„а,, а„п имеют соотве>ттвенно поРЯдкп а„а,..., оа. ПУст> н)лп эллиптической функции, лежащие в одном параллело>рамке периодов, суть 6м 6м..., 6, и пусть порлдок этих нулей соответственно ранен !», (>т,..., (!м.
Тогда у=а -)-а,+... +о„=Р>+Ц +... +8 Число у, равное этой сумме, называется порядком залипли»>ской функ>!пп. См !!! 599, Ж 1!55 См 800 — "01 5. С ум м а в ы ч е т о в эллиптической функции относительпо всех полюсоп. прилеплен>ащих параллелограмму периодоь, резка нулю. Ж 118 б. Разность между суммой всех нулей и суммоп всех полз>сов эллиптической функпин, расположенных в параллелограмме периодов, равна нокоторому ее периоду. 7.
Между каждыми двумя эллиптическими функциями с одииаковымп периодамн существует алгсбрапчоское соотношение. ! у П, 151 8. Однознечзэз функция не може> пиеть более двух периодов. Гу П> 147 з — з. опвпиальныи 'зуккпви 9. Эллиптическая функция порядка у принимает любое заачевие з параллелограмме периодов у ра а. См1П601, Си301 8Л4 Эллиптические фувкцви Якоби 8Л41 Рассматривая верткий предел р интеграла и= аа о как фуякцию от и, пользуются обозиачевием ~р=агаи и вазывают зтот верхний продел амплитудой. Величиву и кааывают аргументом и зависимость ее от ~р записывают так: зли = яшар =я(паши, спи=соз<р=созати, бп и = Ью = ) е1 — йз з(пз ~р = — Р з з йр ан пазьшеаотся соответственво синусом амплитуды или эллиптическим синусом, косинусом амплитуды яли аллияти ~еским косинусом в делзепей амк.штурм.
Все зги эллиптические функции были введены Якоби и носят его имя. Си 16 Эллиптические фуякпия Якоби являютсл двоякопериодическими Кнкцвями, имеющими з параллелограмме периодов два простых и о л ю с а. Ж69 8.144 азз Ие 1. и= Ге(1 — еа) (1 — Ьче( еез ет 2. и= ен — яв'еяз Ез е ел 3. и 1т~1 е Си 21 (23) 8.145 Представлевие в виде степенного ряда: „л"'е ' 3! + 3) 1( и = агй (р. 8.142 Амплитуда является бескояечкозкачпов фуякцяей и, обладающея периодам, равпым 4)т~ Точки р а з яе ~ вл ев и я амплитуды соответствуют зиачеяиям аргумевта и = 2тЛ -(-(2п -(- 1).еь'(, Ж 67 — 69 где т и и — произвольвые целые числа (см.
также 8Л51). 8Л43 Фуикцви )!з з 41<4+41) з а~<16+4441+аз) з 2! 4! 6! <-" <64+ — + + )и' — [)и)<)Х'!). Ж81(99) -)- + из — [[и) ( ) К' !). Ла 380(4) 8Л46 Представление в виде тригонометрического ряда илн проивведення (Ч=е ) ): УВ 11 358, Ж 84 (108) УВ И 358и, Ж 84(109) я 2я чт Е! »я» 3. ди и = — + — 2) — н1- сов —. 2К К Ь 1+у К «! УВ11358, Ж84(110). УВ П 358 «« +4 „"~~ т „, в)в(2я — 1) —." . Ла 369(3) «=! «г +4 ~~~~ ( — 1)" ч ш ! сов(2Я вЂ” 1) — "", Ла 369 (3) !. — ж[ 6. я са и 2)Г'и яи сое 2к зев 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
