Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 102
Текст из файла (страница 102)
1. Г(г+1)= ~ сьгь ь=о ' с ~ ( — 1)ь'ьь ,е со=1 с»+г= 1 ) о!=С, е„=4(а) прн л>2, Вег>0 НГ40(1), НГ 40(3)! З.З ЭИЛКГОВЫ ИпткттаЛЫ 1- с И 1-сс теда И ГсдСтВВННЫК ИМ Ьтннцин 951 Асимптотическое представление для больших значений (з(: 1 1 159 571 Г (з) = х зе 'ф'2я[1+ . + а „„, хо,+0(х ~)~ [[агиз( < я[. УВМ28 8.327 Для з действительных н положительных остаток ряда меньше последнего удержанного слагаемого.
1 11И1 )Г(х+1у) [е' [у[з =[ "2я [х н у действительны). 54 В, Г(з+а) е а1в*= 1 8.33 Фуикциояальные соотношения длн гамма-функций 8.331 Г (х+ 1) = хГ (х). ° МО6 МОб 8.332 1. ! Г (1у) (1 = ! ('- л'- [у депстьителеи[. 2 сьяр 3. Г (1+ сх) Г (1 — зх) = [х действителен[. 4. Г (1+ х+ зу) Г (1 — х+ 1у) Г (1 + х — 1у) Г (1 — х — 1у) = 2кс (аз+из) [х к у дейстьительны[. Лоу Ь 2рл — соз гал 8.333 [Г(л+1))"=С(л+1) П йа, где л †натуральн число к С(з+1)=(2я) ехр[ — ~ + ~ — х 11~ Ц ((1+ — ) ехр( — х+ *«))-. УВ1143 Ф11 782 и, УВ П 12 1. Ц,„, = — з" Ц [ 1 — ( — „') ] [л=2, 3, ...[.
М02 з 1 à — зезр — 11 з=! 1 ( 2 + х ) 1' ( 2 — х) = "л 3. Г(1 — х) Г(х) = —. ФИ 430 1-а 1 с-1 8 333 Г(лх) =(."я) л з Ц Г(х+-) [теорема умножения[. ь-е з — з спвцнлльпыв еуик11нн Частные случаи 2зз-т г 1. Г(2х) = — Г (х) Г (х+ -е ) [формула удвоенвя). рп 1 2. Г(3 )= Г(х)Г(х+ З) Г(х+ З) . «-1 3.
и г (-"„-) г (1 — а) = '2и) ь-1 УВ П12 8.337 1. [Г'(х)) (Г(х)Г (х) [х>0). 2. При х>0 шшГ(1-(-х)=0,88560 ... достигается, когда х 0,46163 ... М01 ЯЭ 107 Частные значения 8.338 Г (1) = Г (2) = 1. 2. Г( — ) =3/л. 3. Г( — — ) = — 2)/л. 2) П г(з)= з«-(),з) ' ь=~ М01и УВП36 8.339 При и натуральном 1.
Г (и) (и — 1)! 2. Г(и+ — )= — (2и — 1))! ул 2 .Р' 3. Г ( — — и) =( — 1)" р! , „ г ул (, 2 ) (2а — 1)0 Г ++ — '~ 4 ( 2 I Яре — гз) (4ре — Зз) ... (4ре — (2а — !)з) ( ) В 221 8.336 Г ( — ~ ) Г (1+ а) = (21)*" уГ (1+ ": ) ~ е '~ аш*(гу) е)) 2у 2Р [Ве(уе) > О, Ве(х-угз) > О]. НГ 133(10) Связь с пои-функцией см. 8.361 1.
Связь с 6ша-функцией см 8.384 1. Интегралы от гамма-функцвн см. 8.412 4., 8.414, 9,223, 9.242 3., 9.243 4 ! Р /1 1 1 1егг 1. 1п Г (г) = 1 г — —, г! 1и г — г -(- —, 1п 2л + ! [ — — — + — ~ — Ж ~~г 1,, 1[! [Ве г > О). ! агсгя— 2 1п Г (г) = г 1и г — г — 2 )па+ )п 'Рг2п+ 2 е(г 2ае а УВП23 ! !ги Вег > 0 в агсгдпг= [ — взкт во праиолкнейиому путк а пло! 1+ие о скости го. 3.
1в Г (г) = ~ (=!+ (г — 1) е ' (— д УВВ25 УВП24 [Пег > 0]. 4, 1ИГ(г)= ~ ~(г — 1)е !+ + ~ — [Вег>0[. УВ1124 г' -;г..~, 5 1п Г (х) — + — — (1 — 2х) 2 аа 2 [0(х(1). УВ1124 6. 1ИГ(г)= ~ (', — г(г — 1)~,— ', [Вег>0[. УВП38 е" — е !ад "1 7.
1пГ(г)= ~ ~(г — 1)е + — — ~ — [Вег>0!. ! е! ~! См. также 3.427 9., 3.554 5. НГ 187 (7] 8.342 Представлеиие в виде ряда: 1. 1п Г (г+ 1) = —,„~)п ( —,) — 1п — ' $ + (1 — С) г + ог +Х ' $„'++" ""=--С+~(-1)' — "„иД) ~1 а-г Иг[( 1). НГ38(16), НГ38(12) о 1 хе ееа 1 2. 1п Г (1+ х) = — 1п —. — Сх — ~~~~ — [1 — ь (2И+ 1)) о=1 [1 [(1[. НГ 38 (14) з.е эйлкРОВы интРГРАлы 1-го и 2-го РОЛЬ и Ройств! нныв еы! ФУнкции 953 8.34 логарифм гамма-функции 8.341 Иитетвалькое представление: 954 з — г с!!а!циА)!ьные Функции 8.343 1п Г (х) = )п )/2ям+;г (' — „сов 2яях+ — „(С+)п 2яя) вш 2янх~ и-.-! (О < х < 1!. Ф ГП 558 2.
)и Г (з) = е )п з — с — з 1и е+ 1п ф! 2я+ 1 1 ш -! ! — ,'~~ +. ~ „(!агйе! < я!. М09 т ! е ! 8.344 Асимптотическое разложение для боя!яник значений ! з): \! ! П! Г (В) = С)п Х вЂ” — 2 1П З+ )П ф 2И+ ~~~~ За йа 1,а-!+1те (В), а ! где !)у ()!< )л За (уя 1) ) е рп ! созга ! ( а й е) Интегралы от 1пГ(х) см. 6.44. М05 8.35 Неполная гамма-функция 8.350 Определение: г 1. у(а,х)= ~ е '1~ 'е!Г (Вен>О].
е О 2. Г (а, х) = ~ е !г" ' гЫ, ВТФП 133(1), НИ 1(1) ВТФ П 133(2), НИ 2(2), Ле 339 8.351 -е 1. уе(а, х) = — у(а, х) — аналитическая функция по а и по х. Г (а) ВТФ П 133(5) 2. Другое определение у(а, х), пригодное и для случая Вен<0: у(а,х)= — е Ф(1, 1+а;х) — Ф(а,1+а; — х). ВТФП133(3) е 3. Г(а, х) — целая функция от а. При нецелом а Г(а, х) является многозначной функцией от х с точкок ветвления при х=О. 4. Другое определеяяе Г(а, х): Г(а, х)=х е*!Р(1, 1+а; х)=-е*Ч'(1 — а, 1 — а; х). ВТФП133(4) 8.352 Частные случаи: 1.
у(1+я, х)=я) [1 — е ( Я е )~ (Я=О, 1, ...!. ВТФП136(17), (16), НИ6(11) в з энльговы интвггвлы 1-««н 1- «голь н голстяснпыв ям егнкции 955 а 2. Г(1+л, х) и<е * ~~~~~ — [л=О, 1, ...]. ВТФ11136(18), (16) а-1 3. Г( — н, х)= < — ) ~Г(0, х) — е * ~ ( — 1)'" — н~ <и 1, 2, ...]. ВТФ11137(20), ПИ 4(4) 8.353 Интегрвльяьте иредстввлеиия: 1, 7(а,х) х" совесж1~сх ®гсов(а8+хв<н6)ЫО [х Ф О, Ве а > О, а «ь 1, 2, ... ].
ВТФ 11 137 (2) 1» 2. 7(а, х)=ху ~ е 115 .7»[2]/хт)1<< [Неа > О]. ВТФИ 138(4) «» [Веас1, х>0]. ВТФИ137(3), НИ19(12) 1 4. Г(а, х), ~ е Ч в К»[2 Г' хх] 1<< [Не а < 1]. ВТФ П 138 (5) Э 5. Г(а, ху)=у с *в~ с-1»(В+х)" «<Г в [Кеу>О, х>О, Ива>1]. (См. также 3.936 5., 3«944 1.— 4.) НИ 19 (10) Интегралы от иенолной гвммв-функции см. 6А5„ 8.354 Иредстввлении с помощью рядов. 1) х«+ у(а,х) ~, + Ю < — <)ах«'+» 2. Г(а, х) Г(а) — ~ [ать О, — 1, — 2,...]. ВТФ И135(5), Ле340(2) 3.
Г(а, х) — Г(а, х+у)=7(а, х-+у) — 7(а. х)- = Е--Ха — 1 ~~~~ „. Е„(Х) < — <)ь« —.— ««<гЛ г <1 — +ц х~ в-в ««Ю ВТФ 11 139 (2) [] у ] ( ] х ]]. 1 «» 3 а 4. 7(а, х)=Г(а)е хх ~~~ хТ 1„~„„(2Г' х) ~— [х Ф О, а вь О, — 1, — 2, ... ]. ВТФ 11 139 (3) 956 е — е сцвциельныг эвикции Г(а, х)=е-'та ~~ " [х> О). ° — а ВТФ П 140 (5) 8.356 1 Г (а -)- 1, х) = аГ (а, х) + х"е-".
Г(а, х)+у(а, х) =Г(а). Еу (а, х) дГ (о, х) = ха-~е Ех ах ВТФ П 134 (3) ВТФ П 134 (1) ВТФ П 135 (8) НИ 4(3) п-1 Г(а )-е,х) Г(а,х) хчв ха'1' Г (а-1-х) Г (а) ~-~ Г (а+в — , '1) в=а Г(а) Г(а+и, х) — Г(а+и) Г(а, х) =- = Г(а+и) у(а, х)-, Г(а) Г(а+и, х). НИ5 Асимптотическое представление при больших значениях )х)в Г (а, х) =ха — ~е — х~ ~~Г) ( ) ( + +0() х)™)~ хаГ (1 — а) Звв Зя )х) . оо, — — <агух< —,, М=1,2, ...), 2 2 ' ВТФ 11 135 (6), НИ 37 (7), Ле 340(3). Представление в виде непрерывной дроби: 8.358 Г(а, х) = х+ 2 — а 2 1+ 3 х+— 1+ ВТФ П 136 (13), НИ 42 (9) 8 350 Связь с другими функциями; 1.
Г (О, х) = — К1 ( — х). 2. Г (0,)в — ) = — П (х), 1 3. Г( —,, хе) )/я-)/яФ(х). 4. у( —,, хе) = )/яФ(х). ВТФ П 143(1) ВТФ П 143 (2) ВТФ П 147 (2) ВТФП 147(1) (у) О, х~у/ц ать О, — 1,...). ВТФП139(4) Функциональные соотношения: у(а+1, х) =ау(а, х) — хае — *, ВТФ П 134(2) 8.36 Пои-фуикцма: зр(.и) Опрвделеиие: ч~ (х) = — 1п Г (х). е 8.360 8 361 Интегральные предстакквпия: [Вес> О]. НГ183(1), УВП20 2. 0(е) = ~ (е ~ —,~ — „]Вес > О].
НГ 184(7), УВП21 е ф(г)=1пх — — ' — 2, еж 1Вех>0]. 2з ~ (Р-)-Ы)0 а — 1) е 0(.) = 1 ( — ',„, - Я) ]В" > ]. е УВП26 УВ П21 е ~ — ем з~(г) =, де — С, 0(с)= ~ ((1+1)-*-(1+1)- » — ",'-С, е ! Е е*-~ — 1 фх) = М-С УВП37 1Вв х > 01. УВ П 37 Ф П 796, УВ П 37 0(с) )пх-)- ~ е '*] — — — ] й '])агдг~< — ]. МО4 в Ом также 3.244 3., 3.311 6., 3.317 1., 3.457, 3.4582., 3.47114., 4.253 1, и 6., 4.2752,, 4.281 4., 4.4825.
Интегралы от пск-Функции см. 6.46, 6,47. Предстаклеиив е виде ряда 8.362 1 1 0(х) = — С вЂ” ~ ~ — — — ); (.в+а $+1,)* 1 тз 1 = — С вЂ” — +х г, ь( +ь) ' «-1 Ф П 799 (26), Ку 26 (1) Ф П 495 2. 0(*)- * — Х 1,1„— ) (1+-,+„)]. МО4 е,з еилкгоеы кнткггалы ~-гс и е-ес года и годстекпиык им эгннции 957 о — о, спсцнальнык е! нкцин и" р ! ь ! 3, ф(х)= — С+ — (х — 1) — (х — 1) ~ ( — — — ~) ~ —. о (, Й+! х+Й ) х.+» ' и о НГ 54 (12) \О ф(х+1)= — С+ ~ ( — 1)о~(й) "-. и х' 2.
4 (х-Й 1) =Й вЂ” — содих — ! о — С+ ~ [1 — ь(24+1)) хм. о ! Н1' 37 (5) НГЗ8(16) 3. ф(х) — ф(у)=~' ~ — — — г1(см.также3 219,32315,33117., ! ~ в+Й +»,) ь-о 3.68820., 4.2531., 4.29537.). НГ 99 (3) 0 ф(х'+гУ) ть(х гУ)=~! Йг ! (х ! гр Представление в виде бесконечного нроиаведения ! емм хЦ (1-~- — ~~ е +Й.
х+Й / о-о ИГ 65 (12) О о 2 охи )= х+В П 1+ ~е "+". Г(х) ЙЙ ~, *+о/ о о НГ 65 (11) См гагине 8.37 Свкоь с дэсга-функцией Римана см. 9.5332. Свяоь с гамма-функцией см. 4.325 12„4.352 1. Свяаь с бэта-функцией см. 4.253 1. 7 5. ф(~)= — С+"', ( Й+ — +е ) (см.также3.2443,). НГ29(1) о ь(Ч'-)- 6.
гр ( — ! = — С- 1и я — — сок — +2 г !ь сов — 1кв!и — ! р рь к рк ° г гари . Йи т е е е о М ! (д = 2, 3, ..., Р = 1, 2, ..., 7 — Ц. МО 4, ВТФ! 19 (29) 7 фР)-~( — '')=Д~ Х(р+~1--!. 8. гр'"'(х) =( — 1)им и! ,'~~~ х+ — „„. НГ 37 (1) Й=о е.з вилатовы интвггхлы «-в«и т-«е года и годствкннык им етнкции 959 Га 154(64) и МО3 Га 155 (68) и ЙЭ 109 и ЯЭ 109 и Га 157 и Га 157 в ЯЭ109и Ряды осп-функцвй см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
