Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 103
Текст из файла (страница 103)
8.4032., 8.446, 8.447 3. (цилиндрические функ- цки», 8.761 (производные от шаровых функций ао индексу), 9,153, 9.154 (гипергеометрическая функция), 9.238 (вырон«денная г«шергеометрнческая функции). Интегралы от пои-функций см. 6.46 — 6.47. 8.365 Фуккциональные соотношения: 1. (х + 1) =- (*) ЯЭ109и 2, ф( ) — «р( — ) =2])(х) (сравни 8.370). к — ! 3.
«р(х+п) =«р(х)+ ~~~~ —. 4. «р(п+1)= — С+ Я вЂ”, "! е-! 5. !гш ]«р(х+ и» вЂ” 1ап] О. к э — ! 6, ф(вл)= — ~к~~ ~ф(х+ — )+1ап (п=2, 3, 4, ...]. МО3 7. «р(х — и) =«р(х) — ,'!, '—, 1 а ! 8. ф(1 — т)=ф(х)+пссзях. ф( —,+*) — ф( —,— )+ 13 "3 10 «р( 4 — п)=ф — +и)+я (п — натуральное число]. »= 8.366 Частные аначения: 1. ф(1) = — С (сравни 8.367 1.). 2. «Р( —.) = — С вЂ” 21а2= — 1,963510026 ... Га 155 и 3. «р ( — ~ п) — С-»- 2 [ ~к~~ —, — »а 2 ] . а ! 4. ф( — ) = — С вЂ” —,— 31а2. Га157и 5. ф ( — ) = — С+ — — 3 »а 2. гз' и (4) 2 6.
«р ( — ) — С вЂ” — 1,' — — — 1а 3. , 1.«п /'Т З '«3) 2 г' 3 2 Га157и 7. ф( — )- — С+ — зг — — » 3. '2х и -/Г З ~33 2 т' 3 2 8, «р'(1) = —" = 1,644934067 ЯЭ 109 и 9. «р' ( — ) = —,=4,934802201 ... 960 ь а спепньльные Фъ нкпнв 10.
з~'( — и) = со «-! а* 1 11. 9'(.) = е - Х вЂ”,. 12. ч' (~ +и) = 2 — 4~ А=-! ' 13. 9' ( 7 — и) = —, + 4~ ь=~ 367 Эйле ва постоянная: (и — число натуральное]. ЯЭ 109 и Ф1! 795, Ф!1319 ФП 801 и Ф 1! 804 Ф !! 807 Ф П 807 Д (852.3) МО 10 МО 10 Ф !1 795, Ф !1 802 Д (852,4), МО 10 8. ро 1. С= — ~Р(1)=0,57721566490...
— ! 2 С=11Ш~Х вЂ” „— (ви1. ь=~ 3. С= 11ш ~ ь(х) — — ] . ~ ч-е х — 1 Интегральные представления: Я 4. С= — ~ е ')вгог. 1 5. С вЂ” ~ 1н(1п — ) й. 1' с г 6. С= ~ ( —,+ — „,] й. ы 1 заг С= — ~~ с — — ~ —. $4ю! г о 8. С-1-~ ~' — ' е ) 9. С= — ~ ~е-' —,' ~,',,*. о 10. С= — ~ ~е-' — Ь,-1 —,. о 11.С=1~ ! — 11Ж о 1 Э 12. С=~(1 — е-') ~, — ~ — ', )с. Ф1! 802 о Ом. также 8.3615. — 8.3617., 3.3116., 3.4353. н 4., 34762., 3.4811. и 2., 3.95110., 4.2839., 4.3311., 4.4211., 4.4241., 4.553, 4.572, 6.234, 6,2641,, 6.468, а.а ОплеРОВы интегРАлы 1-1о и 2-ао РОДА и Рсдстепиные ии руикпии 961 13.
Асимптотичесеие рааложения: Я-1 »в 1 1 ! ! ! С= ~ — — !и 5+ — + — — — + — —.— „+ =Х.1 А 2й 12йа !20 оа 25222 'ААООа а 1 8 37 орупипия [) (ж) Определение 8.370 [!(х) н [ ар( о ) — ар(2) ] 8.37! Интегральные првдставления1 НГ 16 (13) 1.
6(х)= 1 — аМ [йех > О]. ,! !+-1 2. 6(х)= 1 — 1!! [Иео >О]. О 1+а' ) З. 6[' ~')=1;— ,-*-,')2 [Иех>О] (сравни 8.371 1 ). а См, также 3.24! 1, 3.251 7., 3.522 2. и 4., 3.623 2. и О., 4.282 2., 4.3893., 4.532 1. и 3. УВП39 М04 Представяеиие а виде ряда НГ37, НГ 101(1) 1. 6(х) = ~~~ ! 2 6(х)-Х ( — дц( +22 1) НГ 101 (2) НГ 246(7) 8.374 зии(х)=( — 1) я! ~ ( а о нгз7 (2) б1 таеяяя» яяоаграаоа 1 у й1 1 з. 6( )=- —,У,+„„+ ) —,.
А=О 8.373 1. 6(х+1)= Я( — 1)""(1 — 2' ')~(Й)х' ', 2. 6(х+1);- — „, +, — Я [1 — (1 — 2 22)~(2й+1)]хор. а о НГ 38(11) 962 о — е спвциильньтв Фкнкции Функциональные соотношения 8.376 ~~ (- 1)"[) (,* + ) = (2л+ 1)[)(х). е-о Ф п 8.377 ~ р(2ех) тр(2их)-тр(х)- л1п2. и НГ 19 НГ20(ГО) 8.38 Бэта-фуикцкк (эклеров интеграл 1-го рода): В(х, у) Представление в виде интеграла 1. В(х. у) $ 1 ~(1 — С)и '<((е); ФП 774(1) о о =2 ~ (ое'(1 — (о)р'Ф [йех>0, йеу>0]. о 2. В(х, у)=2 ~шпетт~росах ттрйр [йех>0, йеу>0]. Ку10 3.
В(х,у)= ~О~,~,„й 2 ~ (1+,о)„,е о(( [йех>0, йеу>0]. ФИ775 ! 4. В(х,у) 2'"*~ +, „О й [йех>О, йеу>0]: М07 -1 1 е 5 В = Р ' '+'~'Ж= Р ' '+'~" т(9 ((+т) и ) (1+9) е о 6. В(х, у)= — „,„, ~ [(1+() т(1-()" '+ о +(1+9)еж(1 Р) о]т)( [йех >О, йеу>0). ВХ[1К(5) ° ) Это реиеиетео служит еиредеиееием функции В (е, В).
8.375 Предстаеленио в виде конечной суикы: (Ю иоШ вЂ” е о 9 [д 2,3, ...,р 1,2,3, ...] (сы. также 8.3625.— 7.). НГ23(9) «-1 2. [) (л): ( — 1)"ж )и 2+ ~~~~ 8.2 ЕИЛВРОВЫ ННТГГРЛЛЪ| 1-го И 2 го РОНЪ И РОДСтенниыи НМ 82УНИНИИ 963 1 7. В(х,у)=22(1+2)" ~ о 2 (Вех > О, УВ113Э Веу>0, О» — 1, Ве(х+у)8,.1].
НГ 163(8) С 11, В(х, ~~)=2~(1 — 22) 1221й (Вев>0, Кеи >О, Вех>О~. о Ф11787в 1. иС 2И (2+2) 2 (о+!С)*(Ь вЂ” сС)О (2+и — 1) В (2, И) | (о>0, Ь>0; т и удежтни| тельны, х-)-у > Ц. М07 Ф 2. =0 (о — Н) (О Н)2— (о 218РС сн 3. В (х+ су, х — су) = 22 Роае-2122 1 оъ28 (РС у) (у, а, у действительны, а> 0; Кех > О). ИОЗв Интетральное представление 1НВ(х, у) см.
3.4287.. 4. = ( " ~ сов((х — у)1)сов"'" 2(й; В(2, У) И о НГ 158(5) сов ((х — у) Ц Блн 2 й' о 2*+2 1(2-1 Р— 1) НГ 159 (8) в, и ~( — т) — ~ Н вон ((х — у) 21 в!но'2"2 2 812. о 2 "*('+и — 1) НГ 159(9)в, См. таиике ЗЛ963., ЗЛ98, ЗЛ99, 3.215, 3.238 3., 3.251 1.— 3., 11., 3.253, 3.3121., 3.512 1. и 2,, 3.541 1., 3.542 1., 3.6215., 3.6231., 3.6311., 8, 9 3.6322., 3.6331., 4., 3.6341., 2., 3.637, 3.6421., 3.6678., 3.681 2. 1 1 9. В(х, х)= —,, ~ (1 — 2~)" ой==1 ~ й. См. 8.384 4., 8.3823., а таияое 3.621 1., 3.6422., 3.665 1., 3.821 6., 3.8398 \ 10. В(х+у, х — у)=4' " ~ ' " с)2 (Вех (Веу~, Вех>0).
М09 о о — о. спвпнлльныв Функции Представление в виде ряда 1. В(х, ) = — ~«г — 1)""(" в гг ' л((в+а) а о УВП36 (у > 01. л*'] 2. ~ В( —, — ) Ь«п,'--[~ [ — / — 1 (~)]« 1 — (! — 2 '«)1(2«+1) + ~( 2«+1 х' ' ()х! < 2]. НГЗ9(17) 3. В (~' 2 ) = Л 2,«В( —,— „«(~. ~ак~~ 8.384 8.3809.). УВ П36 8.383 Представление в виде бесконечного произведения: «-о 8.384 Функциональные соотношения для бата-функции: 1. В(х. у)= р(+„) =В(у. х). г ( ) г (т) Ф П 779 УВП38 Связь с пои-функцией си.
4.2531 8.39 Неполяал бэта-функция В„(у«, 0) л В (р, (()= ~ (о «(1 — ()~ «Й= — ор«(р, 1 — с; р-(-1; х). о Нл(р. е) .(р. ч)= „, '„° ИП 1373 ИП П 429 2. В(х, у)В(х+у, г)=В(у, г)В(у+г, х). М06 О> 3, ~ В(х, у-(-й) — -- В(х — 1, у). УВ 11 39 «.=о 4 В(х, х)=2««В( —, х)(см. также 83809. и 83823). ФП784 5. В (х, х) В (х + 2, х+ 2 ) =, —.=)="( — )="( -- ) [я«и и — натуральные числа] г.ь — г.г цилиндеичзснив эвикции и ег нкцин, свяакнныв с ниии 988 8.4 — 8.5 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ грУПКЦИИ И гВУгйК«(ИИ! СВ113А1Шо1Е С КИМИ 8,40 Определения 8 4!01. Цилиндрическими фунт!пнями 2 (г) называются рек!ения дифференциального ураввеикя д ч' Ку ЗУ(1) Частными виламп цилиндрических функций являются функции Бесселя (или цогиндричегго! фу!нации первого рода) У,(г), функции Неймана (или цилиндра юокш' фу! кцио второго родо) Лч(г) и функции Гаккагя (или !и пьпдричгскив фракции треп!веге рода! Н'„о(г) и Н,'гд(г).
8402 Уч(з)= — ~г ( — 1)" ~~~~~ р( а+1 [[!ьгй [ < ~]. КУ55(1) ь=о 1. Ф„(з) = —,„„[сог тпд,(з) — д (г)) [нри нецелом т, [атяз [ < ц). ! Ку 41(З) «-! 2. яй!„(з)=2г„(г))н — * — ~ (" )! [ — ) ь-о О! а! (а+ лд ( 2 ~ (!Р (й+ 1) + ьу (й+ и+ 1)); КУ 43 (10) г=г « — ! - ш„!.! (ь —; ь «) - 2 ь г — '!' ( * ) в « г-г г ! г=! «ь=! « —.! [я+1 — натуральное число, [аткг[< я[.
Ку44, В 75(3) н 8.404 1. Ф (г) ( — 1)"Х„(г) ) (г) ( 1)«у (з) [ [я — натуральное чвсло). Ку 41 (2) Ку 44(1) ВА05 1. Н',!'(г) = дч(з)+ ьУ«(г). 2. Н'„*'(г) =lч(г) — ьН«(г) Во всех соотношениях, которые справедливы для ли!бой цилиндрической функции Еь(г), т. е. для функций д (г), % (г) и их линейных комбинаций, например Нч'(г), Н„'"(г), мы будем вместо букв в! Н, Н", Нов писать букву 2.
е — и сякциьльяыи втякпии Цилиндр ические функции мнимого аргумента Ут(е) и Кт(а) 9 9 1. 7 (е)=е а Хт(ер а) 3 3 й. Л„(з)=ер Х (е ' е) В 92 Ку 46(1) В 92(8) г. К„(е) = 2' е Н"' (ьч). Дифференциальное уравнение, опрелвляюа ее етн фу»няни, см. 8.494. 8.41 Интегральные представлен»» ~„")ьаг,а» .,«1»2 и 27„(л) 3.411 (е) ~ е — п~е+м мв е щ 2» — (»9 — еш0) (8 1 Г е 1» — натуральное число).
УВ 11 172 2. У (е)= — со»2»8сов(ев(п9)49 — „~со»2»9гое(ее(о9)49 1 Р 2 е (л — целое число). В 30 (7) И 3. л „г(а)= — ~ в1п(2»+1)бе(п(гв)п0)сЮ= — е)п(2»+1)9пп(ев)»9)49 (л — целое число). 2 В 30(6) 4. Х (~) 2 ~ ~и~ 0~~(*~вО)~И 2) (,2) ~Вот > — — ) УВ11 178 Уч(л)= ( ~ ~ ~ »1н 9сое(есое9)49 (~)' г + —,' г 2 2 [Вот > — —, ) При и целом 3. 7 (а) 1 "Х„«а). Ф 8.407 $. К„(з) = 2 еу Нф~«е). ~-" -" Ы ь2 ~ вл-в.о пилинлгичкскик оинкции и ооънкции, связвнпыкс пнми 96? ~ сов(гв(пО)совгоОЮ (йеч> — -1.
и г 2 Ку65(5), Б35(4)и 6. ~о (г) Г (ч+ — ) Г ( — ) ®' ~ еем оков(пго~рйр ~йе (ч+ — ) > О~ . о 7. У„(з) = "(+ ~)" (-') УВ11 178 1 ! (1 — Гз) о совг?оИ ~ йеч > — —,1 21 — ! 8. е„(г) = Ку65(6), УВИ178 и ( — — <йеч < —, в>О 1 . 1 МО 37 1о. я„~о- ( .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
