Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 107
Текст из файла (страница 107)
В таком случае для ююбого з ' =- „'.+„и( — ) »г ! В 550 8.545 Число корней функции г — чг»(з), лежащих между мнимой осью к линией. па которой г 1 1 1 Вез =тл+ ~ — Ввч+ — ~ л, В 548 равно з точиости т. 8.546 При ч>0 число корней функции К„(з), лежащих в области Вез<0, ) агйз(< я, равно ближайшему к ч — — четному числу.
1 В 562 8.547 Большие корни фуякцвй У»(з)сова — Лг»(з)вша, где ч и а — действительные числа, даются аскмптстическим разло>кекием 1 4»з — 1 Хч,»г= (т+ — „. Ч вЂ” 4 ) я — а 4,> ~( 1 1) — — — Ку 109 (24) В 558 3(ы~( ++ ' ) — ~ 8.548 В частиости, большие корни функции з' (з) даются разложением л 1 31 3773 4 ( ' 2а (4з> — 1) Вв> (4з> — 1)* + 15аз (4>з — 1)» Ку109(25), В556 Этот рвд иригодеп для вычисления всех (за исключением иаимевыпего хш! корней функции уз(з) с точностью по крайней мере в пять эиаков.
8.549 Длз зычислспия иавменьших по абсолютной величине корней х„, ч> фувкцив У (з) можно пользоваться равенством 1 423»>+7646»>+53752»>+185430»>+311387»-(-202738 т=! 2м (»+1)» (ч -(-2)ч (ч-(-3)' (ч-1-4)» (»+5) (ч + 6) (ч-(-7) (»+8) Ку112(27)и, В 554 63" а — а спнцнальныв етнннии 8.55 Функции Струве 8. 550 О н р е д е л е н и я: В 358(2) В 360(11) [Вет> — —, 8.552 Частные случаи: '[,— ' (™")(+)ее ' а Г(а+ — ' т) [н = 1, 2,...).
ВТФ П 40(66), В 367(Н к[:~) ( 1 ) г г )-и+в)и.~-! 2 Н „(г) = ( — 1)"'г — „ «з=в Г (т+ —, 2,/ [а=1, 2,...). ВТФП40(67), В367(2) 1 г д — Ье+е-— г в 1 — т) — Е„(г) — Е „~г) 3. Н,(. =,.)+ — „' ~ г е О [я =О, 1,,], Н, (в)=( — 1)"Х (в) [ =0, 1,...). ( 2) г 5. Ь г (в)=Х г',в) [и О, 1, ВТФ П 39(64) ВТФ П 39 (65) ВТФ П 39 (65) г т ~г Н, (в)= ,'~~ ( — 1) г ( +1-) г (т+ + — ) 2 1 т (г) = — ге "г Н„(ве'г) = ( г )гт.~-т+1 Х с Г(т+г)Г(+ +1) з з 8.551 Интегральные представления.
г(')" Н,()= ', 1 1 — И) '1 а(~= т'кГ (т+ — ) '( —.) ~ вш(ясону) (вшу)г д~ ~Вот> — —,~ . В358(1) '"'(.+ — ) ° 2. 1„(в)=, ~ в)г(гсов<р)(вшгр)г" йр (2) У пГ (т-~- — ) е В 1 — В В цнлиндтичискни ФУнкции и 'Ркпкции, свизгнныв с ними 997 6. Н> (г) = (1 — сонг). Ь> 2 У КВ ВТФ 11 39, В 364 Я 1 1 7. НВ(г) = ( — )В(1+ —,) — ( — ]В(в>н г+ — ) .
В 364(6) 8.553 Функциональные соотнов>енин: 1. Н,(ге> ")=е" 1"+'>'"Н„(г) 2. — [гтН„(г)] = г"Нт 1 (з). » [и> = 1, 2, 3, ...]. В 362(5) В 358 3. — [г-тйт(г)]=2 тн В [ Г (~+ 2 ( ] — з "Ни+1(г). В 359 1 4. Н„1(г)+Н„+1(г)=2тг >Н„(г)+н В( — ) ~Г(т+ — „, )) В 359(5) 5. Н„1(г) — Н >1(г)=2НВ(г) — н В( — ) [Г(т+ — )) В 359 (6) 8.554 Асимптотические кредставленин> В 359(19> 8.56 Функции Томсона и ик обоб>цеиин> Ьет„(з), Ье) (з), Ьсг„(г), Ье)„(з), Ьет(з), ке)(з) 8.561 1. Ьег„(г>-)->ЬС1т(г)=.ут>ге> ).
2, Ьет,(г) — >Ье>.,1г)=У„(ге 1 ).1 В96(61 8.562 В 1. Ьет, (г) + >Ье(, (г1 = Но>(гсв ) В (см, так>не 8.567). 2, Ьег„(х) — >ЬВ1т(г)=Н'„о(ге " ) В96(71 1 + 2 2 1 ) ~ В )-г +т-1 — ( —.) ( — ~ '(+ — '--) [ [ агб $ [ ( н]. ВТФ П 39 (63), В 363(2) Асимптотическое представление длн Л>„>в) см. 8.451 2, 8.555 Дифференциальное уравнение длн функввй Струве: '( —.) ' ггу' + гу' + (х' — тг) у =— г(+ — ) 9 — 9. СПНПИЗЛЬНЫВ ФУНННИН 8.563 1. Ьег (я) = — Ьег,я); Ье( (з) = — Ье1(я). л л 2. Зсег(г) = — — Ывъя(я)', йег(я) еи — Ыег,(я).
Интегральные представлении см. 6.251, 6.536, 6.537, 6.772 4., 6.777. В96(84 2м (12а)~)9 у 1 — 1)9949'з Ье)(з) = У, ~"' 2~ 9!(2й+1)$)9 В 96(3' В 96;4) В96(9)и, Д(824.3) В96(10)и, Д(8244) В163(6) где 25 13 +=— а (я) У2 () (з)— ая у'2 25499 у'2 125Ф л 1 1 25 аз р~ 2 1зяя зцс,з ~.2 + Представление в виде ряда зег1я) = ( )а — — С' ~ Ьег(з)+ 4 Ье9(з)+ 2 л й=$ л йе)(91= ( )а — — О~ Ье((з) — — Ьег(з)+ 2 Ч .
л 4 99.~-1 яяй — 1 +Х (-1);-",." „„, 1 —. 9=0 ° =! 8 565 - ЬЕГ' (Я) + ЬЕ1т (з) = ~ аыг 1„+ 9+1) 1 (9+29+ 1) (+) '" 9=9 Асимптотическое представление 'Ьег(я)=- соя))(з) ~)агбз(< — ~. г"1л л Ье) (я) = = зш )) (з) ) ( аг6 з ( ~ — 1 . Йег(я)= )1 — е"1-ляояна' — я) ~)агбя)< —,, л|, /л „, г 5 )99((з)= ф~ — "91-ия)аф( — з) ~(агбз) ( — л1, В 227 (1) В 227 (1) В 227 (2) В 227 (2) 2.2-2 з цикинкгичксник егккции и екккции, связзннык с ними 999 8.567 Функциональные соотношения: 1.
Ыег(г)+2)се1(г)=К [г')гЪ (см. 8.562). 2. 'зег'г) — 1ке1(21=Кз(г Г' — 2) ! Интегралы от функций 'Гомсона см. 6.87. В 96(5), Д,824,1) 8.57 Функции Ломмсля Интегральные представления с з 8.571 зк. „(2) 2 [17~(г) ~ гау„(г) 222 —.У„(г) ~ Пз)у„(г) з22] . О з 1 2 (1+ "+К' 1 1 1 8.572. за.»(г)=2кЯ Г(2+ — р — 2»)Х з 2 10+» Х ~ А (гвшО)(вгкО)2 к (совО) +аз)О» — О+к-»> В378 (9) [Ве (»+ )з+ 1) ) О].
ВТФ 11 42 (86) 8.573 Частные случаи: 1. Я (г) =202 (2). В 382(1) В 382 (1) 8.570 Определение функций Ломмеля з„, „(г), Кк. (2): зз 1 — 1)"'за+2+2'" г.2 Пи+19 — »В (О +2)з — з)- Пи+2 +1р — '! ' г з')гт+2 г1 1 1'] ~'1 1 1 ') ( — 1Гз ( —,) Г ( — к — — »+ — ] Г / — К-(- — »+ —, в) 1 1 З) ~,2 2 2г ~2 2 2.г Г ( — К= »+аз+ — ) Г ! — О+ — »-!-зз-~- — ! [(2-ь» не равно отрицательному нечетному числу].
ВТФ1140(69), В 377(2) Г Р-2 /1 1 1; Г1 1 1» 2. 8», з (г) = зк. » (2) + [2 Г ( —, )з — — »+ —. / Г ( — Р+ — »+ — ! ~ Х 22,)(222 Г1 1 Г1 [20 )к~]г- Ок [ 2(к+ ) 11 00 Х 21с»к [)з -Ь » †положительн нечетное число, » — непелое тесло]; ВТФ1!40(71), В379(2) Г1 1 1Ч Г1 г„, „(г)+2з-'Г ~ —.)з — —. »+ —, ) Г [ — )г+ —, »+ —,) х (.2 2 2./ [.2 2 2) х ~в!п [ —,.' (12-»)22~ у»(г) — сов [ 2 (12 — »)22] А»(г)~ [к -ь » — положительное нечетное число, »вЂ , целое число!. ВТФИ 41(71), В 379(3) х — г снвцихльиык эъ нкции 3, 8 г ь,(г)= — Я)„(х).
8«. а 1(г) = 2 ~Вм> (г). 1 В 382 (2) В 382 (2) ВТФ !! 42(84) ВТФ Н 42(84) 5. г«,«(г)=!'( «+ — )'$> л2« 'Н„(г). 6. Ю«,«(г)=(Н (х)-А>«(г))2" )l лГ («+ — ) . 8.574 Свяеь с другими специальнымн функциями: 1 1. У~ (х) = — ын («лЦге, (г) — «г>, (г)). ВТФ 1! 41 (82) 2. Е„(г) — — ((1+ сог «л) го „(г)-(-«(1 — сог «л) г > „, (г)), ВТФ 11 42 (83) 1 Свяеь с гипергеометрической функцией >' .膫+г »+«+г г>'1 ()> — «+1) 0>+»-1-1) > ~~ ' 2 ' 2 ' 1 > ' ВТФН40(69), В378(10) 8.575 Фувзщиональные соотно>пения> 1. гач.г, «(г) = ха+1 — ((р+ 1)г — «х) г„, «(г).
ВТФ!! 41(73), 3380(1) га. «(г) + ~ — ", ) гю «(г) ()х+ « — 1) г„,, „, (х). ВТФ!1 41(74), В 380(2) >' « 3. г„', «(г) — 1 — ~ г>ь „(г] = ()х — « — 1) га 1,, Г> (х). ВТФ !! 41 (75), В 380(3) « '~ 4 ( 2 —, ) га> «(г) =()х+« — 1)г„>,, >(г) — 0> — « — 1)га->.,„~.> (г). ВТФП41(76), В380(4) 5. 2га. «(г) =(>х+ « — 1) га-л -1(г)+()> — « — 1) т„>, „+> (х) ВТФ!!41(77), ВЗ80(5) В формулах 8.575 1.— 5. г„„(х) могут быть ааменены на 8ю „(г). 8.576 Асимптотическое рааложение для 8„, „(х). В случае, если р ч- « не есть нечетное положительное число, для Яг, «(г) справедливо следующее асвмнто>и«еское раало>кение: (.1 1 >,2 2 2 Г >,2 2 2 ( — 0 Г ( —.— )>+ — «(-ю ) Г ( — — )> — «+ ) 'Ои«(г)=Х" 'Х г,>«1 1 1 1 1 1 + 0 (2,> ГСг гя+ — ) Г(2 2в — «> Э +О(ха гг).
В 385 8.577 Функции Ломмеля удовлетворяют следующему дифференциальному ура вне шяо. хЪ" -)- яе' + (гг — «х) сг = х> +1, В 377 (1), ВТФ П 40 (68) 8 1 — 8 ь цилкндеичкскин Фтнкции и юУнкции, сВЯЗАннын с ними 1001 8.578 Функции Ломмеля двух переменных 11'т(ш, г), Рт (ш, х): Определение 1 У (ш, х)= ~~~~ ( — 1)" ( = ) Хт+г (г).
ВТФ1142(87). В591(5) ПРВ 2, Рт(ю, х) = сох ~у(ю+ — + РЯ)1 +У «+г(ш, Х). ВТФП42(88), В591(6) Частные аначеиия: 3 Уе( ° х) = Р (' х) = г (Уе(х)+ осах). В 591 (9) В 591 (10) 4. 17 (х, г)= — р (х, г) — 81пх, 1 ( 2)Р1 5, Ох„~х, х)= У~ (г, х)=- ( ) (сох х — ~~~ ( — 1)ма у (х)~ ( 2, лх> ООН !И>1), е -( 1' -' В591(11) Р-1 8. 6'2„.1(х, х)= — Рха.1(х х)= г ~81нх — ~я~~~ ( — 1) 8„1.7~„»1(х)~ 2, лг>0, [я>0], е = ~ В591(12) 1, и=О. 7. Р (ш, г, =( — 1) 5х„( — ', х) . 1 (-".)' 8. 11.(ш, 0)= г< — О' 8 1(г) ' 1 (-.3 9, ~ — Р+2(ш О)= г( О ~ 8 1( г 2' 2 В 593(9) В593'10) В 593 (2) 8.579 Фуикпионалъные соотношения: д х К2 1. 2 — У,(хе, г)= ц, 1(ш, г)+( — ) У„+1(ю, 8).
д Кхкг 2. 2 —.рт(Ш, Х)=Г„+1(Ш, г)+( — ~ Г, 1(Ш, Х). 3. Функция У (ж, г) представляет собой частное решение ди42ферспциального уравнения: дхи гди ж Гм~ -2 — - — — — — + — = ~ -- ) У (Х). В 592(2) дхг х дх ед ~,х ) 1002 а — а спспкхльнык егвкции дйк 1 дг хак /' ю К- — — — — + — ( — ) У 1Х (х). дх* х дх иа ( х В 592(3) 8.58 Фувиции Авгера и Вебера Л (х) и Е,(х) 8.580 Определевня: 1.
Функция Актера Л,х): Л„(х]= — ~ соа(ю6 — хв1в6)М. 1 г В 336 (1'„ВТФ П 35 (32) 2. Функция Вебера Е~(х): и Е,,х'= — „~ в1в(т6 — ха(в6)38. В336;2), ВТФП35(32) 8.581 Представления и виде ряда: <-"(-'') 1. Л„(х) соа —, 1 ! + л — Е Г (к+1+, ъ) 1 (л-(-1 —, у) ~а Г ~л+ — + — т) Г ( л-Ь вЂ” — — т1 2 2 ) (, х 2 ВТФ П 36 (36), В 337 (3 ~ л "~2~ 2. Е„()= ш — ".," ~ а Г (л+1+ —.т) Г (л+1 — — т) -'Р(~) ' 2 лл а Г (л+ —,+ — «) Г (л+-; — —,ъ) ВТФ1136(»), В338(4) 8.582 Функциональные соотношения: 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
