Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 111
Текст из файла (страница 111)
МО 87 дн(л) у- »1 и Г(И+»+1) ~1 (1+О ( 1 )) (2»+ — 3, — 5, — 7, ...; (атйг'(<н). МО87 8.777 Пусть а=а+ г' Ва — 1. Этим равенством переменная ь оерсделяется одноанаино во всей плоскости г, в 1(оторой сделан раареа от — оо до + 2; са табаввы ввчачвавав 1026 з — 9 спвцнальныв Фъ нкцни при атом рассматривается та ветвь переменной Ь, для которой действительным значениям х, ббльшим 1, соо зетствусот значения ь, тасоссс большие 1.
В таком случае "г( ч г)1* — Ог Рч(х)=, „, Р[ 2+9, +9+1' «+ 2 ~ )+ ч )г" г Г (,г р) йч+а+с [ 2 1'ч й + — — Р +Р Д '"' «' х Г (« — )с-)-1) гчи г (, 2 ' ' 2 [2« ~ -ь 1, ч-3, ь 5, ...; (агй(х — 1)! < л). МО86 Г< +"+1) (' 1) х ч л , 2 +в+с г(+ — ") 1 2) хР(-,+Рч «+9+1; +-,: —,,) П *9(х-1)!С [. 1 2, МО 86 8.78 Нули псаровых функций 8.781 Р "(соаср), рассматриваемая как функция от ч, имеет прп Р>0 бесконечное мнонсоство ну лен; все они просты и действытельцы.
Если чвсло «з ивляется нулем функции Р "(созср), то число — «,— 1 также является нулем атой функции МО 91 8783 Если «> — — и «+)а+1>0, то функция ®(1) не имеет действи- 3 тельных нулей, ббльших 1. МО 91 8.784 Функция Р, (х) при Х действительном имеет бесчисленное нно- в -+1х 2 жество нулей; все ее нули действительны и больше единнцы, 8.78Ь Функция Ра(я) (в — натуральное число) имеет ровно и действительныхльиых нулей, которые лежат в промежутке — 1, +1. 8.786 Функция ()а(х), где я — натуральное число, не имеет нулей, для которых )агб(х — 1))(л, фунссция Оы(соаср) имеет ровно и+ 1 в у л е н, л е >к а ш и х в и р о м е яс у т к е О~ ср < л.
МО 91 8.787 Вычисление звачевив «, при которых для заданных малых значений ср имеет место равенство Р,в(соаср)=О, может быть выполнено по следующей 8.782 Если «и )с оба действительны н )с<0 илн если «и Р являютсв целыми числами, то функция Р' (1) не имеет действительных нулей, ббвьших 1. Если «и Р оба действительны, но )с < О, то функция Р" (г) при Р > «яе имеет действительных нулей, ббльшкх 1, в том случае, косда зш Рл юп ср — «) л > О, и имеет один такой нУль в том слУчае, когда ашрлзш(Р— ч)л<0; накоыец, если Р<«, то функция Р" (1) пры Ь'Ох) четном ве имеет указанных нулей, а при Е(Р) нечетном имеет один нуль 1027 В.«-В.В ШАРОВЫЕ (С ЬНРИЧВСКИВ! ФУНСЩИИ приближенной формуле: «сов —, (р т+ —.= — 1 — — (д 1 — — )+О~в(п' —,); МО93 АСД вЂ” Г Г., р" (р [ о 'д с«) «д 2 ) « 2в!а— «д адесь у„означает любой не равный нулю корень уравнения Ув (в) = 0 («д > О).
Ксан (р бливко к л, то вместо этой формулы можно пользоваться формулами: г(2а+А+!) ( «! — в«.дж (Д+ +ГццГ(я+ссг(А+1)~. З ) [(в)0; й О, 1, 2, ...]. М093 МО 93 [)д О, В=О, 1, 2, ...). 8.79 Ряды шаровых фудпщий 8.791 1.
— —; = ~~~~ (2й+1)РА(с)ОА(в) ~! с+~ св — 1[( [в-~-)Iв! — 1[1; с должно лежать внутри эллипса, проходвщего черве точку в в Имеющего фокусы в точках ь 1. Х С"((ть (') ь-в !йев ) 1, [с[( 1). 2. 1п в — С+у'1 — 2«в+ Ы у ! — 2«в+И р⫠— 1 МО 78 Рб (с(м (р)Р ~ (сов ф) = —" ~~ ( — 1)" [ — „— - [ Рь (сов др) Рва(сов 9) 8.792 [а>0, [)>О, т действительно, — л( «р+ «р( л). ° 93 м ( «Р) л Х ( ) („:А у+л:Р11) А ( 'Р) в=в [р>0, О( (р( л[. МО 94 Теоремы сложения 8.794 1. Рв(совфд сов«р +ыодр вшд)ьсов«р)= «ь = Р„(сов дрд) Р, (сов фв)+ 2 ~~Р, ( — 1)ь Рт" (сев «рд) Р~(сов дрв) сов й«р; =Р„(сов«р)Р,(сов«р)+2 Я Д + ~РР(сов«рд)Р„"(сов«р,)соей(р ь 1 [0<«[«( л, 0(дрв( л, дрд+дрв (л; (р действктельно) (сравни 8.814, 8.844 1.).
МО90 65" 1028 з — е. спкцньльпык а!нинин 2. ( ~, (сов ф! соефз+ зйпфй в!о фз сов ф) = Р„йсовф!) Я,(совфзй+ 2 ~ ( — 1)" Р; "(сов!у,) ()е(совф ) соей!р й ! 0 < !у ( —, 0( йр ( я, 0(йр, +ф,( и; ф декствительно ) (сравни 8.844 3.). МО 90 8.795 1. Р„(з з — )Я вЂ” 1 ф' з, *— 1 сов !р) = =Р„(з )Р,(з )+2 2„( — 1)" Рй,г,) Р й(я~сов)еф й ! (Вез! ) О, ВЕ зз ) О, ( агу(з! — 1) ) ( и, ) агу ',зз — 1) ~ (и). МО 91 2. ф,(х х — )Ухй! — 1 у'х,'— 1 сов!р) = =Р„(х!)й~„(хз)+2 ~~~ ( — 1)" Р~~х!)Я(х )соз)йф й 1 (1<х,<хз, тФ вЂ” 1, — 2, — 3, ...; !р действительно).
М091 3. () (х хе+ )/ хь+1 ЗГх~+ 1сйа)= ! й . й ( —,(„+„) ф,(йхд)ф,(1сз)е — ь* (х >О, х >О; а>0). з+! МО 91 8.796 Р„( — сов ф, соз фз — ейп ф, е(п ф! сое ф) = Р„( — соз ф,) Рт (сов ф ) + + 2 Х ( 1) г й+!) Р ( еозф )Р (созфе) й ! (О ( фз < фй ( п; !р дейстентолько) (сравни 8.8И 2.). См. такйке 8.93!! 3 МО 91 8.81, Шаровые функции (присоединенные функции Лейкавдра) с целочисленными индексами 8810 Для целочнсленныл значений т и р дифференциальное уравнение 8.7001.
(при условии, что )т) >)р)) в действительнов области имеет особенно простое регеепи, а ниенна! йй и Р~ (х) = ( — 1) (1 — хз) Р„(х). Функции Рю(х) называются присоединенными функциями Ленгандра или шаровыми функциями 1-го рода Число и называетсн степенью, а чясйьо !ив порядном функции Р™(х). Фупкцин сов ойОР,",'(соз ф), ейп т ОР'„"(сов ф), зависящие от углов !р и О, такнсе яазыззяпся шаровыми функциями 1-ео рода, а именно: тееераяьиыео! (т, е. клеточными) пра т ( и и телесными при т = и. Зги последние функции пернодкчпы относительно углов !р и О, прячем 1029 В 7 — В В ШАРОВЫЕ !СФЕРИЧЕСКИЕ! ФУНКЦИИ 1 д (' . ВУ ') 1 д«У миф дф ~ дф,г я«и ф ВО — (вш Вр — !+ . —,+е(я+1) у =О.
8.811 Интегральное представление: Р„(сов ф) = ! — 1)™ (ижт)! / 2 ° -т 1 — вш ВрХ Г (т+ — ) (а — т)! 2) Х ~ (совг — совф) сов ( я+ — ) В~й, 2 У' МО 75 8.812 Представление в виде ряда: ! — !! (и+т!! . В,В !. 7« — т1!т — 'и+И 1 — х 2тт! (и — т)! ( 1! !т 1-1) 2 !и — т! !и — «г-и!! (т — и-ь1) (т+и+2) / 1 — « '17 ) .
Ш ! -7-Ы!т-1-2! 2,/ ( — 1) (2« — 1)!! В В ! и- !и — т! (а — «7 — 1) и т„в (и — т)! 2 (2« — 1! !а — т! (« — т — 1) (и — ™ — 2! !и — т — 3) „т В ), МО 73 2 4!2« — 1!(2 3! ) 1 — ( — х) х" Р(, ), и ! — 1! (2« — 1)6 . и В „.„т — и и — т+1 1 1 .~ (а —.т)! 2 ' 2 ' 2 МО 73 8.813 Частные случаи: — (1 — хв) = — вш Вр. д — 3 (1 — х')' х = — — вш 2!р. 2 3 (1 — хт) = —, (1 — сов 2!р). 3 2 1 — — (1 — х') (5хв — 1) = — — (вш!р+5В1оЗ!р). 3 В 3 2 8 15 (1 — х') х = — (сов ф — сов Зф), 13 4  — 15(1 — х ) = — — (Звш7р — в(пЗф). ВВ 13 4 1. Р,' (х) 2.
Р,'(х) = 3. Р,'(х) = МО 73 МО 73 МО 73 4 Р':( )= 5. РВ(х) МО73 МО 73 МО 73 6. Р;(х)= Функциональные соотношения Реиуррентиые формулы см. 8.731. 8.814 Ри(совф,совфт+втпф,вВпф,сов 9)= 1« — и)! т о, (сов фВ) Во„(сов фи) + 2 ~~ !", "' — ' Р (сов ф7) Р„(сов фт)сов я!!8 |а ! («теорема сложения«). МО 74 периоды их сооответстнсппо раппы н и 2я. Опи однозначны и непрерывны повсюду на поверх!Вост!7 единичной сферы х,'+ х,'+ х,'= 1 (х = шп ф сов 6, хв = В!и Вр в(п 6, хв = сов ф) и являются решением дифференциального уравнения $030  — 9 спвцяьльныв етнкции 8.815 Если ж ук (~р,д) арр„(сов<р)+ ~ (а совтд+Ь в)птд)Р„(сов<у), о= 1 "г 2„,(~р, д)=азр„(совр)+ ~~~~ (а созтд+() в)пжд) Р"„'(совы), с(д ~ в1а~рсйру„,(р,д)2„(ю, д)=0, с ж Зс г(д ~ в1п<р йр У„(е, д) Р [сов е совф+ яп ~ряпф соз(д — О)) = = —,", у„(р, В).
МО75 8.8$6 (сове+се(псу говд)"=Р„(совср)+ к + 2 ~~~~ ( — 1)"' — "' — сов тдР'" (соз ю). МО 75 (в+ т)! к=с Интегралы от функций Рк (г) см. 7.1121., 7Л221. 8.82 — 8.83 Функцпи Лежандра 8.820 Днфференцкальное уравнение — ( (1 — гг) — ) +т(у+1)и=О (сравни 8.7001.), в котором параметр т может быть любым числом, имеет следуанцив два линейно независимых решении: 1. Р„(г) Р( — т, т+1; 1; ). г г' — '~ +3) ~, 2 ' 2 ' 2 ' гг)' См Ир 518 (137) Функции Рт(г) нЯ„(г) называются функциями Лежандра соответственно 1-га и 2-го рода. Если т ко равпо целому числу, то в точках г = — 1 и г = со функция Р„(г) имеет особенности; если все т=и =-О, 1, 2, ..., то функция Р„(г) обрагцается в полинам Лежандра Р„(г) (см.
8.9$); при т=- — и= — 1, — 2, ... имеем: Р.,() =Р. (). 3. Функция )',)т(г), если только тчь0,1, 2, ..., имеет вточках г= -ь 1 и г= со особенности; зти точки служат для нее точками еетелеиня. Еслк же т=л=-О, $„2, ..., то функции Щ,(г) при )г)) 1 однозначна и прн с= со регулярна. 1031 З 1 — 8 З ШАРОЗЫЕ гССЕРНЧЕСКПЕ; ФРИКЦИИ Интегральные представления 8.821 1!+ г-1-1 У З:11 21 )» ! А — точка на вегцественной оси справа от точки !=1 'и справа от т, если з действитольно); в точке А положено: агд(! — 1) агй(г, 1)=0 и [(агй(! — Е)[(н). УВП97 11-, 1+) (М вЂ” 1)" тт(з Отг! ! 41 ива ! Е [у в нецелое число, причем точка А — конец больпгОй Сои аллипоа СпРава от ! = 1, построепкого з плоскости ! с фокусами з точке ь 1, у которого вторая полуось настолько мала, что точка з лежит зне его 11октур начияается от точки А, описывает путь (1 †, — 1 + ) и возвращается в А; [агд1) (11 и [згл(з — и[ — Аагбз, когда ! — У 0 на коятуре, агд(!+ 1) = = аг9 (! — 1) = 0 в точке А; г не лежит на вещественной оса между — 1 и 13 УВП 109 При у=я целом ! 3.
~„(з) = —,„, ~ (1 — тт)" (з — !) " 'егй ! -! СмП1517(134), УВП 109 8.822 [ Вез ~ О и агй [з -(-$ з' — 1соз!р) =агйз при !р= я УВП105, УВП 106 4. В правой полуплоскости т Р,()=[ + ) г'[ —, —;1; + у) [В )О!. 5, Равенствами 8.820 1. и 8.820 4. функция РУ з) однозначно определяется внутри круга раляуса 2 с центром в точке з = 1 и в правой полуплоскости г. Для з=х=соз1р решением уравнения 8.820 слугкит функция 8.
Р,(х)=.,(х)=Д(-У, +1;1;згл* — '" ); 2 /' и вообще имеют место равенства 7: Р„(з) Р,,(х)=Р,(з =Р, 1(з). 8. Равенством 8.820 2. функция ф, (з! Ери [ т [ ) 1 однозначно определена в плоскости е, в которой сделан разрез от точки з= — оо до точки з=1. С помощью гггоергеометргтческого ряда функцию можно аяалитически продолжить внутрь едпннчного круга На отрезке ( — 1<х< +1! денстзктельиой оси функция !')„(х! определяется равенством 9.
Я,(х) = —,[4г,(х~; 10)+1~,(х — 10)[. Х 52(53), УВП 113 1032  — в спвцпалъныв ФункциЙ е.()- ~ сар [Ве ч ) — 1; если т не ивляеюя (а+У ! 1 ЛФ)нт! ' целым числом, то агй ((в -!- У в' — 1) с)г !р) при <р = 0 имеет главное значение]. УВ11 1 1 3 УВ 11 108 Π†„ ! (вв — 1)" с! ! 1) '! Г в а ! !н!! — 1)!! ~ж ! С (Ы вЂ” 1)!'"! 1 (Вес > 1]. УВ П 11 1 — 112, МО 78 ! 8.825 ~„(в'= — ! " с)1 (!агй(в — 1)] < и]. УВ11 114 — 115, М078 -! См. также 6.6223., 8.842.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
