Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 109
Текст из файла (страница 109)
! $4 0 0 0 0 .0 5,1 йх000. .О 0 ф 1 йзОО. .О О О !ч 15~0. М 83,3) Это уравнение может быть записано также в виде 4. сЬрк=1 — 2Л(О'1зьв ( — ), где Л(0) — значение, которое приз /прад 2 иимает детерминант предыдущей таблицы, если в выражениях для 5 „ положить р = О. М 85 (2), ВТФ П! 101 ~ 15) и 5 Если пара а, р) такова, что (сЬря!(1, то р=ф, !ш()=0 и решение 8.671 1 ограничено на деиствительвой оси. 6. Если ) с)х ря) ) 1, то р — действительное или комплексное и решгняе 8.671 1 не ограничено на действительной оси 7. При сйрп= з- 1 ~р.— палее число Одно из регпений имеет в в)ом случае период и или 2я (в зависимос1и от то~о, четно и или ие четко); второе репнине неперводично см 8.61 и 8.64).
8.7 — 8.8 ШАРОВЫЕ (СФЕРИх(ЕСКИЕ) ФУНКЦИИ 8.70 Введение 8.700 Шаровые функции явлшотся решением дифференциального уравнения зхм аз Г р' 1 1. (1 — хз) — — 2з — + [ т (т + 1) — —, 1 и = О, л* 1 хх ) в котором т и р являются произвольными комплексньпзи постоянными Это уравнение является частным случаем г и и е р г е о м е т р и ч е с к о г о (риманова) уравнения ,см. 9.151) Точки +1, — 1, со являьзтся, вообще говоря.
его особыми точкзмн, а именно обыкновенными точками ветвления Интерес представляют, с одной стороны, решения уравнения, соответствующие действительным значениям незззи(иман переишшон х и лежащие на отрезке ( — 1 < х<, -'-1], с другой стороны, решьпия, соогвеггтвующие любому ьомплекспому значению х. для которого Вез > 1 Эти последние в плоскости з многозначны, для выдглеяия однозначных ветвей атих функапй проводится разрез вдозь действительной оси от — со до -)- 1.
Далее вас интересуют те решенпя уравнения 8.700 1, для которых т влп р или т и р суть целые числа Особое аначение имеет зот случай, когда р =О. 8.701 В соответствии с зтим мы будем пользоваться следующими обозначениями Буьвой з мы будем обозначать любую комплексную величину, буквой х мы будем обозначать дейст ви тельную переменную, изме- 1013 ел — е е шАРавьзв (сФЕРичвсняез Функции няющуюся нз отрезке [ — 1 = х + 1]; мы будем иногда полагать х = сов~у, где ф — дейс~вигельнае чигло.
Символами Р» (г), О" (г) мы будем обозначать те решения урашзения 8.700 1., которые при ~ г] < 1 однозначны и регулярны и, в частпостн, однозначно определены прп г = х Самаолапи р,"(г„ ()",|г) мы будем обозначать та решения уравнения 8.700 1., которые прп Вез > 1 однозначны и регулярны; когда згп функции не могут быть нео~раниченно продолжены оез нарушения их однозначности, то производят разрез вдоль действительной осп слева от тачки =- 1.
Значения функции р»"(г) и ()»й(г) яа еерхней и нпзкяей границах части раареза, лежащей между точками — 1 и +1, обозначаются соответственно так: Ри( ~ (0), д" (х ~ ео). Буквы и, и означают натуральные числа или нуль. Буквы т, р, если иет никаких оговорок, означают любые комплексные числа. Верхнип индекс, если он равен нулю, опускают, т. е. полагают Р~(г)=р»(г), ф(г) =(2»(г), Р»с(г) =Р»(г), ()»~(г) =()»,г). Две линейно независимые функции 8702 рьгг)= г(1 ) ( 1 ) «(»»+1 1 )е о ) агд — =О, если г действительно »+1 г — 1 еие'Г (»+р+1) Г ( — ) 8.703 Щ (г,) =— 2»З' Г (»+ — ) 2) и больше 1~ и МО 80, УВ П 122 и (гг 1)'г- -и-1 зе р(»+И+2»+И+1 . 3, 1 '1 2 ' 2 ' 2' ге/ ! ! 8.704 Р» (г) = — (ег Р" (сов ее -)- 80) + е г Р» (сов зр — )0)]; ВТФ) 143(1« (агд ,'гг — 1) = — О, когда - действительна и больше 1; аги г = О, когда г деиствительно и оольше нуля], Х109(44), МО80 являющиеся решениями дифференциального уравнения 8.7001., называются шороеылеи фунхе)олми (или орзеоединениылги е«унло)илжи Лежандра', соатветствешю 1-ео и 3-ео рода.
Они определены я притом однозначно соответственно в областвх ]1 — г]< 2 и ]г] > 1, из которых исключена часть действительной оги, лежащая между — ео и + 1; с помощью гипергеометри юскпх рядов они могут быть нео~раззкченно продолжены на пего г-плоскость, в которой сделан указанный разрез. Эти выражения для Р" (г) я ~')»(г) теряют смысл, когда 1 — р, соответственно»+ —, являются а 3 целыми отрицательными числами или разны нулю. МО 80 Когда г — действительное число, лежащее на отрезке ( — 1, +1] ! г = х = соз ез), за линейка независимые решения уравнения принимают функции: з — г специАльные Фтнкции 1 1 8 703 ()Б(з)= — е-1 ' ') е з 1)Б(х+ 10)+ей 1)Б(х-101 1; ВТФ1 143(2) Г Р'„'(х) соз ри — ("+" + ) Р, "(ху~ 1сравви 8 732 3.) 2Б1п Вл 1 Р( — и+1> ВТФ1 143(13) При К = -Ь т целом последнее равенство теряет смысл; для этого случав при помоши предельиого перехода получается.
8.706 й. (>„(х) =( — 1 (1 — х')г — Ят(х) (аравии 8.7321). ВТФ1149(7) 8.71 Интегральпые прсдставлсппв 8.711 Б 1 1 Б-- 2 ) -к„( +'~ )(.Ч- У:1) -' )Вор> — —, ! 8( ш1)~< ]. МО 88 ВТФ 1 144 (18) Фувкцик Я(г, при т+К, равном целому отрицательному числу, пе определены Поэтому из последующих формул с л е д у е т исключить случаи, когда т+я= — 1, — 2, — 3, Липейно независимыми решениями дифференциального уравнения при т+р ~0, ь 1, ь 2, ... служат функции Рте"(+ ), 1',)еа,+г), Р „'" 1(+г), () ',а 1(+з). 8707 Все же определение двух линейео везависимых решений воз моягно н любом случае, а ямекно Дифференциальное уравнение 8.700 1 прв т .ь )А, ве равном целому числу, имеет следующие ре1пеиия 1 Рт "~ ~ г), (~т+"(+ з), Р~" 1(~ г), Д~~~ 1(~ г) или соответственно прв г=х соз1р Раз(ш ) () Б(ш .) Р+Б (ш .) () .Б Если т Ч-р ве равно целому числу, то решевия 8.
Рзт(з), Я(з) и соответствевво Р~~(х), ()Б(х) ливейео независимы Если т -ь )г — целое число, но р ие равпо целомучислу, то лшгейво везазисимымп решениями ураенееяя 8.700 1. являются функции: 4 Р1'(з), Р "(з) и соотгютстзевио Р1„'(х), Р "(х) Если р= ч- т, т=л или т= — и — 1, то линейно пеаависимыми решениями уравнения 8.700 1 при и >т являются функции Ь Р„(г), () (г) я соответстзевио Р~~х), ()„(х), в при оч,ж — фувкции 6 Р„ч™(г), (3„ 1з) и соответственно Р,, (х), ()„ (х). 1915 хг — вв шлговык <севгичвснищ егиншги 2. Р„(х)='" <"+ )" ("+ ~ [х+[/хх — 1сое~р~ совш[рйр; с с, ч<ч — 1) ..
<ч — сс+1) [ гсчт ИИР в 5 [+У ' — 1 е['+' ) аггх( < —, аг8(х+)l хс — 1 сох%) =агдх при ~р= — [ 2 * 2 .1 (сравни 8.8221.). См)11483(15), ЪВП123 ~в г- асс[ Г<ч+р+1) с $ [ са с[а[ 2аГ (» [ [ ) Г<ч р [ 1) [ <с+У ах — 1саг) +с+ 2,г [йе< ч+ р) > — 1. ) аг8(а*1) < и[ (сравии 8.822 2ов М088 4 ([" ' 4 О"[) [Ве(ч+р)> — 1, ч Ф. — 1, — 2, — 3, ..., )аг8!х -[- 1'( <и[ УВ11134и, М088 8.712 ф< ) < +в+ ) <хс — 1) 1 ~ (1 — <х) <х — 1) +" Й гч' [ Г<ч+О -[ [Ке(ч[-р) > — 1, Вер> — 1, [аг8(х+ 1)( < и[ [сравни 8821 2). М088и, ВТФ1155(5)и 8.713 ""( +-'), 1 ~в„ (х) = (хч — 1)х Х 1' 2а С":)'" [' ' ')' [ ! Д И+- в+"~ с [ с[) 2 ~ <,+,„„4 [Ве[[> — —, йе(ч+р) > — 1, ) аг8(х+ 1)) < н [ .
2'Г <а — ) Г [ + О 2 <. + Ь О + +' с [Вес > — 1, [аг8(х ~ 1)) < зк, Ве(ч+11> О, Ве(р-ч) >0[. М089 5 ,„,/ '. ~' [~ .> — Г [ р+ — ) [сс — й са | ч+ — ) [ и а Г<ч [ Р-[-1)Г <[с — ч) ) +' [с+ха г) [Вег > — 1, ) ага(х+ 1П < и, Ке(ч-<-р) > — 1, Ве(р — ч) > О[ М089 1916 в — в, снкцивльнык астнкции 8.714 11 'С сов (т+ —, ) СсРС 1. Р„"(совСр) = )сс г — )„ И+- 2 ),/ (сов С вЂ” сов ср) [О<ср(и, Вер< — ); (сравни 8.823) М087 р,, Г (2р-С-1) мав Ср ст+в сн (сев ср) лвг(р+1)~( +р+1)г(р — ) ~ (1+2! сов ср+Св) (Ве(т+ р) > — 1; Ве(р — и) > О]. М089 Г(»+р+1) Мо" р 3 Я (~оеср)= — „+ Х Г (Р+ 2) ИЬ ВС вЬВВ С Х [(совСр+Сии срсЬс) +"+ (сове — св1иСрскс)~т"т ) а [Ке(т+(в+ 1) > О, Ве(т — р+-1) >О, Ве р > — — ] .
М089 Рв С Г(с+р+1) в1а" Ср Г (р+ — ) 2 С х вЬВ" С ИЬВи С а (совср+свнсфсьс) +и+ 1 (ссмср — смифсьс)™~ 1 [Ве(т 4- р-7-1) >О, Вер > — — ] . М089 1 Рр аО 2ИЬ" [ >О, ВерС вЂ”,'~. МО 87 (+ + —,') с-[ ' Г(т+р+1) ~ )С и в-а Г (р — СС+ 2) 2 ттр + — 1. — 2, — 3, ...; т тв — —,, ( 2) 4( + +2 З в+- ! МГ (т — Ь+ — ~ (2 вы Ср) 2) 6 7 я 6я — — — кри — (ср(— 2' в' ' 6 6 т+ С ! [а>О, Верч.—, Ке(т+р) > — 11 . М087 См. также 3.277 1., 4., 5., 7., 3.318, 3.516 3., 3.518 1., 2., 3.542 2., 3.663 1., 3.894, 3.988 3., 6.622 3., 6.6281., 4.
— 7., а также 8.742. 8.72 Асимнтотические ряды дли 6олыиик )т( 8.721 Для действительных значений р, (т! > 1, (т( > (р), ) атдт( ~ и, имеем: 1. Рт~ (сов ср) = 1017 8 1 — з а шАРОвыи 1сФИРичвскии1 Функции этот ряд сходится и при комплексных значениях т и р; в остальных случаях он представляет собой асимптотическое разложение при)и)»)р),)т)» 1,солит >О, р>ОиО<е<12<я — е]. М092 2 1)3 (соз 1р) = ~' ИГ (т+ )1+ 1) х Г ( и+а+ — ) ссз ( ( т+Ь+ — ) юр+ — (22 ' 1)+ — ~ з; 1+1 ь е Г(Р— 2+2 ) абр( т -а) (2з1аФ) 2 ' 2 5 7 л 5 т+МФ вЂ” 1 — 2 — 3; т Ф вЂ” ° —., -т, ..., при —, «2< — я 2' 2' 2' ''' 6 ' 6 этот ряд сходится и при комплексных значениях ч и р; в осталь- ных случаях он представляет собой асимптотическое разложение прк )т)»)р), (т(»1, если 1>0, р>0, 0<е<1р<я — 12~, ВТФ1147(6), М092 '1 Ря) р" Г(т+ —,2) ( 0 < е < 1р < я — е, ) т )» — 1 .
МО 92 При т > О, )1 > О и т > риз формул 8.721 1. и 8.721 2. следует, что " .""("" =~'-.''. - ((т+-'')'-Ф % '( — '-). т — РФ (соз 12) = )/ 2т з1а соз ( ( т + 2 ) ч1 + 4 + Р2" 1 + О (У вЂ” —,) (О< а<12<я — е; и » — 1 . М092 ' (( +-')со ~~"="(соз =- з Х Г УР4-1 (И) уэ(д)+з1п 2 з' (И) — У + (17)+ — У з(Ч)1 +0(з1лзч ) где 1) = (2т -)- 1) з1п †. В частности, отсюда следует, что 12 2, Вш чар~а(соз — )=у„(х) (х>О,р>0].
т ю МО 93 8.722 Если 12 настолько близко к 0 илн л, что т12 или т(я — 12) невелики по сравнению с 1, то асимптотические формулы 8.721 становятся нопрнгодными; в таком случае при т > О, р>0, т» 1 для небольших значений 61 применимо следующее асимптотическое представление: 1018 г — а спвциальнык эвикции 8.723 О поведении функций Р~'(г и Я(г) крн больших )т! в действи- 3 тельных значениях г) — могкно судить па основании равенств.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
