Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 110
Текст из файла (страница 110)
2 р'2 1 '~ 1»г» — 1] 1 3 1 ХР()г+ — -р+ —, т+ — '1+ 2' 1 — ег».l г у ем+и+11» Ъ»о / 1 1 Г 1» — и+1) 2' 1 — ег» У 1»г» 1) и+- ° ° ° ° ' 3 3 1 т4-. + —, + —, ~ —, ...;а~ — 1п2) 2 д" ~ ь )=~2" 'е'ь — »ы~ — ~ ' 1 3 1 ХР()г+ —, — 1г+ —: т+ —; 1 — ег» / )г+т+1ФО, — 1, — 2, .„а>-„-1п2~ . МО94 МО 94 См таккее 8.776 8.724 Неравенства ~р»и,„„ф)~< l а г<.+и+1) геа гф е» Г 1»+1) ыв гф 3 )Р~ (соаф)~<= ~'* + ) р — „„г 1»+0 »!о~го 4 ~я,+, (соаф!~( хе' "1("х +11 1' т Г(»+Ц ггв ф (т и р — любые действительные числа, удовлетворяющие неравенствам ел 1, т — )г+ +1>0, р>'0) МО 91 — 92 8.73 — 8.74 Функциональные соотношения 8.731 лР,"03 1 (гг — 1) — ' = (т — 11+ 1) Ри+ч (г) — (т+ 1) гР'„'(г) (сравни 8.8321., 8.9142.).
ВТФ1161(10), МО81 (2т+1)гР»(г) (т — 1г+1)Ри»+,(г)+(т+)г)Р" ~(г) (сравнп 8.8322., 89141.). ВТФ1160(2), МО81 3. Р»и+ (г)+ 2()а+ 1) Рек+ (г) (т — )г) (т+ )г+ 1) Р'„'(г). МО82 ВТФ1160с1) !019 8 1 — 8 8 ШАРОВЫМ»СФЕРЕЧЕСКИЕ) ФУНИЦНИ 4 5 8.732 еЕ,"( > (г' — 1) —" = (ч — >8+ 1) Дф» 1 (г) — (ч + 1) г(>," (г) »сравни 8.832 3,) (2+1) К()=( — р+1)»',Р'+ (>+( +р' ®- () (сравии 8.832 4.). МО 82 (Р:»'()+2(р+1)=*,К+'()=( — р)( +р+1)д„"() МО82 »>Ф 1(г) — Я+1(г) = -(2ч+1))/г' — 1К-'(г). МО 82 и 1 е-Рвф (х »- 10)=е г ~Щ(х> ч-1 — Р~(х)~ .
МО 83 8.733 ЕРР»*> 11 — хе) ' =(ч+1)хР,"(х) — (ч — >А+1)Р" ~~ (х) (сравни 8.73! 1 ), = — чхР"( )+', +р)Р„" 1( ); = — )/1 — хгР"+' (х) — рхР," (х), =(ч — р-(-1)(ч+>1)>/1 — хАР," 1(х)+рхР"„(х) МО82 (2 +1) Рв( )=( — р+1)Р~в+ ( )+( +р)Р»,' ( > (сравни 8.73! 2 ) Р„"+ (х)+2(>8+1) * Р"+1(х)+(ч — р)(ч+>1+1)Р" (х) (сравни 8.731 3 ) Р",(х) — Рв~~~ (х)= (28+1)У 1 — х~Р," '( ) (сравни 8.731 4 ) МО 82 0 МО 82 МО 82 5 Р", 1(х) Р,"(х) (сравни 8.731 5 ) (Ч+ р. + 1) г»>В (г) + )/ г' — 1»>В+' (г) = (Ч вЂ” >1+ 1)»>ча+1 (г), (ч+>1)Д„' 1(г)+)/88 — 1ф+' (г)=(ч — р)гф(г).
®, (г) — л >„(г) = — (ч — и->-1) )/гг ' 1»;>и-1 (г) гф(г) — Я+1(г)= — (ч+р) >/88 — 1® (г) ( +Р)(~+Р+1)О„",()+(2 +1))/ '-10."»'()= = ( ч — р) (ч - р + 1) Я+1 (г) МО 82 МО 82 МО 82 МО 82 2 3. 4 5. МО 82 8.735 1. (Ч-(- >1+ 1) *Р'„'(х)+ )/1:х1 Р,"+' (х) = (ч — Р+ 1) Р,"+~ (х). 2, (Р— >8)ХР" (Х) — (Ч+ >1) Рч 1(Х) =)/1 — Х" >В1» ~ (Х). МО 83 МО 83 »О",+118) — Р~ч-1(г) =»2ч+1))/г' — 1Р', '(г>, ВТФ1160(3), МО82 Р",(г) = Р" (г) 1сраавв 8820, 88324,> ВТФ! 140(1), МО82 в 1020  — В.
СПИПИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 3. Р»,(х) — хР'„'(х)=(» — р+1) ~/1 — хвР» 1(х). 4. хрф(х) — Р",+1(в:)=(»-[-р)~/1 — хвР'; '(х[. 5. (» — р)(» — р-[-1)Р„'Ь1(х)= — (»+ф(»+)в+1)Р," 1(х)+ + (2» -[- 1', ]/ 1 — хв Р~в~в (х) МО 83 МО 83 МО 83 8.736 1, Р„а(г1= '+ ГРа(х) — — е-я"'в[п[вл()»(г) ~ . =г[-и+О[" л' 2. Р'„' [ — х) = е™Рв»(г) — — в[п [(»+ [1) л] е вл»ея »(г) 2 [1шг<0] [сравни 8.833 1.).
М083 3. Р» ( — г) = е — """Р» (г) — — в[п [(» +)в) л] в — вл 1'[в» (г) 2 [1шг) О] [сравни 8.833 2.). М083 4 д а(г)=е гвлв [ р+ ) []а»(х) МО 82 Г[',+„+1) 5, ®( — х)= — е — »в',в»в(г) [1шг < О] (сравни 8833 3), М082 6. (3у [ х1 = е» 'Дв (г) [1шх > О] (сравни 8.833 4.). МО 82 7.
47'(г) ввп [[»+ р) л] — ~' 1(х) ввп [(» — [в) л] = ле1' 'сов рл Р" (х), МО 83 МО 84 1 ) Р ",(с[)ва) [ВеАс5а))0]. МО83 8.739 е-алЧ',7»в(с)во)= в " [ +я+ у 2ваа 8 741 Ерв (е) Ерв в 1. Р» в (х) — '„— Р~ (х) (е) 2в1я рл л [1 — вв) МО 83 8.737 1. Р» (х) = г( — [ [-[[ г 2 в г[ +р-1-1[ [ [ сов[влР„'(х) — — в[п([вл)0 1х'] . л 2 2. Рв ( — х) = сов [(»+ р) л] Р» (х) — — я[п [(»+ ф л] (ф [х). 3 Ч'( — )= — [( +р) ](]'(*) — ф [ [( +р) М( ). МО 83, ВТФ1 144 (15) 4. [) .,()='ш['+")")Ев(.)- """ '""1"() МО 84 шо [[» — р) л)» в1 [[ — р) [ 8,738 1.
Я,(всяд1р) ехр ] (л [ [А — + ) ] $' лГ(»+[1+1)х 1 г Х ],' — в[п1рР ',(сов1р) [0«р< — ", [ . М083 1 :('" )=~Я- ~вл[ +Я~ — „~„е„' Ь- -') 2 [ 0 < 1р < — ) . МО 83 1021 2 1 †швзовык (секзичкскик> етнкции Г~ ~Г( — +1 МО 83 8.742 1+ ) 1соз)ькР" (соз>р) — — в(о)ьк()в(сов>р\~ = „( и "( 1 + 2 ) а (сов с — сов р)2 Г(» — )1+1) ( Г(»+р-1-1) ( ( соз»н 1>о» (сов >р) — — яо»к Ов» (соз >р)~ = 2 и ,.т "( ° ° 1 (.+В( —.! [йе(2> — —.~ . (к+2) ( 1)2 МО 88 г 3 Р» (сов>р)сов (» + )1) и ( ~» (сов>р) з1к (» + (2) и= в Гсов [(»+2 )(1 — к)1 ш к г(~- — ) а+-, ( Л К) ч (сов р - сов с) [2(е(2С вЂ” ) .
МО88 4 сов )ьн Р>„'(сов >р) — — з(п )вне»в(сов >р) = 2 в Г (»+(ь+ 1) зшк>р 21о В> Ж 3" ~/к Г(» — к+1) Гк +1 >,) (савт~ьв>косов>)»-а (,"+ 2) а [)1е )ь ~ — —, () ~ >р ( к~ Интегралы от шаровых функции см 7.11 — 7.21. МО 38 8.75 Частные случаи и частные значении Частные случаи 8.752 Г( + +1)(1 — *') ' МО 84 3. Р., (2)= — „, Р ~ш — т„ж+»+(; л>+1; — ).
Г(» ( ь>+1)(вй 1) 2 К 1 — вч » — ~.,>1(, )Ч МО 84 1022 в — в сиенивлъпыв Фен!!цен евв'Г (и+в+ — ) 3 ~)в в(а) =, х я-~-— 2 г(л+!)! 3 )!(вв — 1)гг" " 'Р(,, 2; и+2; —,,1. МО 84 8.752 »! 5. О» (а)=( — 1) (в' — Ц $ ° ° ~ О»(а)(е)в) . М085, ВТФ1149(9) ! ! Частные значении индексов 8.753 ! „ф Рв(совф) Г(г — ) савв 2 ' )г 1 ВГ» (сов е) 2. Р (совф) »(»+Ц еф 3.
Р'„"(г)жО, Р'„"(х)= — О прк т~п. 8.754 МО 84 М085 ! Р г(сЬа)= 1/ — сЬ»а. / 2 »- и !а а г ! / 2 Р г(совф)= г/ — сов»ф. г ! г 2 вге»ц Р г(сов Ч!) у — — -. г У иявр» ! 0 (сЬа)= ! $/~"„е — ~. г МО 85 МО 85 МО 85 8.755 1 Р» (совф)= Г(г (») ( 2 -/ г Р„- (сЬа)= ЛГ+ — )С 2 ) М085 МО 85 1. Р»™ (х) = ( — 1) (1 — х') г — Р„(х). УВ 11 119 и, МО 84, ВТФ1 148 (6) »! ! ! =(1 — хв) ~ ... ~ Р»(х)(е)х)~.
Х99и, М085, ВТФ1149(10)и у л 3. Р» (г) (ав — 1) ~ ... ~ Р„(г)(дг) . МО85, ВТФ1149(8) 4. ДГ(а) = (а~ — 1) — !)~(а) Ъ"В 11 119 и, М085, ВТФ 1 148(5) 1023 з т — кз шьговык <секгичкскик) езвкции Частные значении шаровых функций 8.736 г~"" 1)г[ " "+') +1. $ [' т+ ,як1(О) 2"+ з(е —. (т+р) иГ ( —;-к+1) -"[.' "' ) г( "+"+' ) 3. Щ(0) = — 2" )/ ишв — (т+(ь)и г (":,"+() МО 84 МО 84 МО 84 4. ~~ =2" [/ ясов —.к (т+)з)я МО 84 8.76 Производные ко индексу д Р— „к(*) 8.761 ( — к') з чд ( — т) (( — «)...(и — 1 — т)(к+1) (к+2)...(к+к) ~ †) х ,+.) Х „,+„,„+...+к„, ч ! Х [ф(о+и+1) — Ф( — и+1)[(:,2)" [тФО, ш1, ш2, ...; Вер> — 1), МО94 г9 +1) 8.762 1.
[ '( т)~ =21всоз 'Р . МО 94 г д)' '(созе) 1 р т е 2, дт .[~ е 2 = — $6 — — 2 с(8 — 1в соз— 2 2 МО 94 Гд Р '(со т) Ч 1 р р Ф 3. [ дт !м р 2 2 2 — — Фа — шв* — + шв <р 1п сок —, 2 Связь с полиномами Сь(к) см. 8.936. Связь с гипергеометрической функцией см. 8.77. МО 94 8 77 Представление в виде ряда Представление в виде ряда см. 8.721. Представление шаровых функций з виде ряда можно такие дать, выражая их через гике ргеометрич ее куюю функцию. 8.771 к 1. Рвт(к)=(,~ ) г(( „) 7Р( — т, о+1; 1 — (х; —.) . МО 15 х — г спипиглвныв етннпии 1 х г!в»х ! Г (ч+ в+1) (Т) 2 И! г 3" ха+а+! Г~ ч+ — ) ) См.
также 8.702, 8.703, 8.704, 8.723, 8.751, 8.772 МО 15 +в+1) ( г 1) ( 3 ) РГч+р+1 ч †0 3 2 ' 2 'Р 2' [ч+р Ф вЂ” $. — 2, — 3, ...; [агд(х.е 1)(< я; [1 — х»( > 1[, 2. ()в(х)= 1 '~Г(р) ('~+) Р( —, ( 1 $ „', ')+ Г ( — р) Г (! -(-)»-(- 1) Г» — 1,% + Г( — +ц (+1) в'( -" "+1: 1+р' [[агд г -(- 1) [<н, [1 — х[ < 3[ М086 МО 86 Аналитическое продолжение для (г[>1 Иэ теорем об аналитическом продолжении гипергеоме»римских рядов (см. 9 155! и 9.155) вытекают следующие формулы: 8.772 »!в (ч+в) яГ (ч-(-р+ 1) 1.
Рч (х) = — — — — — — — Х 2 ! ! ф'к ось чкГ (ч+ — ~ 3' 2,) 6 Х(хг — 1)Г -" — !Р( ч+(»+1, ч+"+; Ч+ ~, 1)+ 2 ' Т'хд/ 2Г ч+ — ) ч 1 н + — — — (гг — 1) г'-вР ( ( ) 2 Х /и — ч+' р — ч 1 1 Р е Г (! — в+1] [лчеь щ$, +3, л5, ...; [х[>1; (аг8(х~!)~<Я[. М085 ч+ ! Г ( — ч — ) (»» — 1) 2 Р„"(х) = Х 2»+' У к Г ( — ч — р) ,, ( — В+1 ч+ и+1 3 2 ' 2 ' 2'à — »х)+ 2чг .+ —,') ч( ) 2)» Х Грч .ь+ч1 1 + (г" — 1) Р(— у'йГ(ч в+Ц (, 2 * 2 Г 1 — »»,) [2ч т'- + 1, + 3, ~ 5; ..., [1 — х»(> 1; (агд(х 1-1)[<, н[.
М085 ( — — — К вЂ” К *=') [~'='~ ~ МО86 8.773 В т — В В шалевые (сФЕРи 1есиие) Фуикиии г--г (-» —,') 1 ХВ й( 13 — ) Р~ — +р, — — рд ч+ —; а(вв — )+ 2) (2 ' 2 ' 2' 2) 1 1 2И Г(ч — И+1) (,. 2~ (,2 ' 2 '2 ' 2) [2» у ~ 1, ~ 3, ~ 5, ..., О < 1р < — "~, МО 86 8.775 2Р д~ ',.+,Ц ЕГ (ч+Д+') 1, Рвч (х) Х Г'ИГ(, 2'+1) в х(( — хв)ар("»+И+1 Р— '. 1, хв)+ 2 ' 2 ' 2 ' 1 Х»+ И +1 В(а 2 (ч+И(ЕГ ( —,+1) МО 87 — в1а — (ч+И) ЕГ (, ) 1 Хч+И-(-1 ч 2 11 Ъ(х) „„„,, Х г ( — +1) Х(1 — х, Р( В В Гч+И+1 И ч 1 2 ' 2 ' 2 ' сов —, (ч+И) Иà —,+1 й 1 ( ч+и +2в~г и х(1 — ха)ВР( ч+и-(-1 Г» И+1) * * ( 2 ' 2 ~2~*,/ МО 87 8.776 При (В( >1 (2» + ~ 1, (- 3, *5, ..., (авда(< я).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
