Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 114
Текст из файла (страница 114)
Ре"" ю(х) —; —,(1 — х) и(1+х)- — [(1 — х)и+" <1+ х)вь"); ВТФ П 169(10ь КГ 83и — — ~ ( + ~( +Р )(х — 1) (х-)-1) . ВТФ П 169(2) 8.961 Фуш<циовальиые соотношения: 1 Р . В>( .) ( 1).Р<сом(х) ВТФ П 169(13) 2. 2(и+ 1)(и+а+ [)+1)<2п+ а+[)) Рф~Р(х) = = < 2п + а + 3-<- 1) [(2п -<- а -<- 6) < 2» 0 а+ [) -<- 2) х + а — 3е[ Р„'' ' <х)— — 2 < п -<- а) (и+ 3 < (2п.+ а+ 6-<- 2) Р'„' [е' (х). ВТФ П 169 (11) 3. '2п+а+[))(1 — хе) — Р„'"' '<х)= = и [(а — ))) — (2п+ а+ [)) х] Р~"' е'(х)+ +2(п+а'(п+ 3'Р,',"'<"'(х).
4 4~' [Р<а, <лщ < Г Г<в+пв+а+3+1) Рса~ а, с+лье)(х) Лаю е ии Г <а+ а-<-р+ <) [ж=1, 2, ..., п), ВТФП 170(17) 1050 о — э специальна>и Функции 5. (и+ — а+- — 6-1- 1)11 — х) Р~ '>' ">(х) =-(к+а+ 1)Р„' '»'( )-(и+ 1)Р)4Р ). 6 (п+ —,а+ —,9+1)(1+ ',Р»'"'+" ( )- =( .+9+1) Ж'а>( )+(и+1) Р);41>(х) 7. (1 — ~) Р~~~~ ' а'( ) + [1 + х> РР„' ~ ' (х) = 2Р~~' >в (х), ВТФ 11 173 (»2) ВТФ Н 173 (33) ВТФ И 173 (34) 8.
(2п+а+)))Р~~ 'о'(х) (и-(-а+3)Р~'о~>х) — (а+3!Р~'я(х). (ГГФ И 173(35) 9. (2п + а + 3) Р»' о» (х > = (и -)- а -(- ()) Р»' а' (х) -(- (п -)-'а) Р ~' >о> (о>). БТФ И 173(36) Р>» о-м(.) Р> > о>(х) Р> 'о>(х) ВТФ Н 173 (37) 8.962 Свяаь с другана функцинми> 1. Рема>(х)=1 )»+ р>Р( п-)-а-(-3~-1, — п: 1+3: '( « '>; »1 Г (1+3> ) ' К Г 83 и, ВТФ Й 170 (16) Г 1»+1+а) l > Г 1 Р(а+ а+()+1 — и' '+а' — ): 1 — «К ВТФ 11 170 (16 ВТФ 11 170 (16) ВТФ 11 170 (16) Р (,, Р<о.о>( ) КГ83 и.
ВТФ11179(3) 1 1Ъ 2»» (»>)о ( — г. — гт КГ83 и, ВТФ11 184(5) и 1 ') С»(х)= '> Р„г г (х). М0108и, ВТФ11174(4) Г(2»>Г(л+»+ —,~> 2 Г 8.963 1)роиаводящая функция: ~'„, Р~„,'о'(х)г"=2"+ЕЛ >11 — г+В> ">1+о+11) Е «=О л >Т-Ы~Р >> >(1(>. ВТФН~»(»! 8.964 По«имамы Якоби нредставлжот единственное целое рациональное рев>ение дифференциального (гинергеометричсского! уравнения. (1 — го) р»+ (() — а — (а -)-() + 2) х) у'+ п (п+ а+() + 1) у = О.
ВТФ 11 169 (14) 1051 9.9 огтогонАльные полнномы 8.965 Асимптотическое представление: сс« ~[«+ «<о+а+1) 1] Š— (Та+ ~ ) и)) Р(а, Я( 4 0(п 9) р'п«(вш — о) (сов — О) ]1п9а=1ш]1=0, 0(9<я]. ВТФП 198(10) 8.966 Предельное соотношение: 1(ш ~п-«Р„'о'" (сов 9)~=® У„(в), ВТФП173(41) 8.967 Если а ) — 1, ]) > — 1, то все нули полннома Р9е' в'(х) простые к пенат в интервале,— 1, 1ь МО 109, ВТФ П 188 (7) ВТФП 189(15), См П)575942) и ВТФП 193(3), СмП1577',48) 8.97 Полипомы Х]агерра 8.970 О и р е д е л е н и е. 1.,Х.«(х) = — е*х-е — (е-*х"+'«); «! ««о ВТФ П 188 (5), МО 108 = У (-1)™(„"+'] *™,, 2.
Х««,(х) = Х.„(х). ИП1369 8.971 Функциональные соотношения: 1. — ]Х. (*) — Х,+~ (*)] = Х" ( ). ВТФ П 189(16) 2. — Х,«(х) — Х„,~] (х). 3. х — Х«(х) = пХп(х) — (и+а)Х;,, (х); = (и+ 1) Х.„+, (х) — (п+ п+ 1 — х) Х.„(х). ВТФП 189(12), МО 109 4. хХ«~' (х) (п+ и+ 1) Ь"„(х) — (и+ 1) Х,ц ~ (х); =(и+а)Х~~ 9(х) —,и — х)Х~ х). См В]575 (43) и, ВТФ П 190(23) 5. Ь,", (х)=Ь„"(х) — Х«. 9 (х). См1П 575(44) и, ВТФ П 190(24) 6.
~п -(- 1) Е,"„99 (х) — (2п+ а+ 1 — х) (х) + (и+ а) Х„„, (х) = 0 (л 1, 2,...]. МО109, ВТФП 190(25),(24) 8.972 Свявь с другими функциями: 1. Х„(х)=( + )Ф~ — и, а+1; х). МО109, ФП189(14) 1 2. Н „(х) = ( — 1)" 29"и( Е„(хе). ВТФ П 193(2Ь См П1 576(47) 3. Н „, (х) =( — 1)" 2'"" и! хХ«9(х'). 1052 Π— О СННЦИАЛЬНЫН ЮНННЦНИ 8.973 Частные случаи: 1.
Ао(х) = 1 2 Ь1(х) а+1 — х. 3 Л"„(О)=(+ ). «« 4 Ь,,"(х)=( — Ц" — „ ВТФП 188(6) ВТФ П 188(6) ВТФ П 189 (13) МО 109 5. 1 х) =1 — х. «$ 6. АО(х)=1 — 2х+ о МО 109 8.974 Конечные суммы: -о =),[ +„+1)[ )[Ь~(х)Ейо1(у) — Ьв+ (х)И(у)) ВТФП188[9) МО 110, ВТФП 192(39) — о 3. ~~ Щ(х)=Е~'(х). п 4, ~ Я(х)Ь~ а(х~=Ь» (х+у). а=о 8.975 Производящие функции: (1 — г) а 1егр — = ~ Л~(х]г» [[г[ < Ц. ВТФ П 189(17), МО 109 2 е-«о(1+г,а= ~ о,» «(х) г» [[г[( Ц, МО 110, ВТФП 189(19) «=О 1 3 lа(2)г хг)е*(он) г = ~ ' 7» (х) «=О [а ) — Ц. ВТФП 189[18), МО 109 «а( ) 2. ~~ " =в х-ао,а, х) [а > — 1, х>0).
ВТФ(1215(19) «=о 8.976 Другие рядн ноянноиов Лагерра: 1 а а „вЂ” Оа Х [а) ~ [В) о [«чу) Г а+в 1 Г )Г«ео Р[«+а+1) 1 — о ~ 1 — о) а[ ! о / » о [[г[С Ц. ВТФП 189(20) 1053 ел гицксчгкомктгичкскиь егннции [Ксс ]г Г (!+а+ в) чс (2в — 2Ь)! (2а)! Гт (2") в! ~1 Г(>+а — >с> (в — )с)! 4 с ( !с с ! — -с.г-г-с ч "*> "У = . Х Г(!+~+а> в-о Моио, ВТФП192(42) 8.977 Теоремы слогаекпв! 1. Ь„гчссть'"+аь+ (х +х +... (-т ) Х К!'(х!) ь (хг) ° К г(хь). с>гьв,+.. +са ю! '! ' '$ *й 2, Б"„(х+у) е" ~ „угас,. "(х).
МО 110 МО 110 8.976 Прелельные соотношении и асимптотическое ловедекие: 1, ь,,(х)=!)т Р',~' ' [ 1- — ) . р ВТФ П 191(35) ! 2. Ип! '[л- Кв( — ) ] х г У„[2Рс г). ВТФ П 191(36) ! ! ! ! ! ! г 3. Ьв(х)= — ег*х г 'лг" 'соа [2]глх- ~ — -"1-( О(луа ') !. 2 41 [1гоа О, х)0]. ВТФП199(1) 8.979 Полнномы Лагерра удовлетворяют следуюн(ему дифференциальному ураенеюпо. лчс с>в х —, + (а — х+ 1) „—, + ви О.
ВТФ П 188 (10), См ГП 574 (34) 9.1 ГИПКРГКОМЕТРИЧКСКИЕ ФУПКЦИИ 9ЛО Определение 9ЛОО Гссвгвегомггвпичгсввм рядом яааывается ряд а» а(а+!)6(р+(> с+ у.( у(у+1).!.2 а (а->- Ц (а.4-2> (> О>+1> (5+2) у(у+(>(у+2) ! 2 3 9ЛО! Гипергеометрвческия ряк обрывается, если а или [) равно отрицательному целому числу илв нулю Если у = — и (к =О, 1, 2, ), то гиаергеометречесиий ряц неопределен, если ни а, ин ]) не равны — а! (аг С л, гл — натуральное чвсло). Однако >г( с, (>; у, г) Г (у) *(а+(>" (а+ >а(б+!> ..
0>+в) „,( + + + +„. + . (в+ >>! )>Тс)с 1 о 2 (16) (054 а а спипиьльяык вкякцнн 9Л02 Исключав указавяые ввачения параметров и, 6, у, гивергеомстрический рвд сходится в едияичяом круге (х(<1 При этом имеют место следующие условия сходим ости: 1 1 > Не (и+() — у) > О Рлд сходится во всем единичном круге, исключая точку в=1 2. Ве(а+3 — у) <О.
Ряд сходится (абсолютно> во всем едииичяом круге, включал точку х=1. 3, Ке(и+()-у)>1. Ряд сходится во всем единичном круге. исключал точка с=1 и с= — 1 ФП 410, УВ1134, УВП76 9.11 Интегральные представления 9.111 Р(и, 6( у;,) =, ' 5, 1 (в-'(1-()т-в-' (1 (в)- а [Ве у > Ве() > 01. З>В П 79 9.112 Р(р, я-(-р; а+1; ха>= —,лВ(р, и) ~ (я=О, 1, 2, ...; Вер > О].
ВТФ 181(10), М016 !>3, ь „' ' ! >!ь>!а+'с!-!! .> р(а) ГФ> хщ Г (т+>] причем )агб( — л)( < я и путь интегрирования выбрав так, чтобы воаюсы функций Г(а+С), Г(6+С) лежали слева от пути, а полюсы функции Г > — (в справа от него. УВП 71 — 72 а 9.114 Р~ — т, — —; 1 — —; — '1 ) = р+и р+>а, Х ( — 2)а'(р+>а) Г сов >у сов р>р Йр х ' ~ а>лля (>л + 1 †натуральн число; р чь О, )- 1, ...). ВТФ1 80(8), М016 См. также 3Л94 1, 2., 5., ЗЛ96 1., 3.197 6., 9., 3.259 3., 3.31 2 3., 3.5184.— 6.. 3.6652., 3.6711., 2., 3.681 1., 3.9847.
9.12 Представление олементарвых фувкппб с помощью гипергеометрвческой функции 9.121 1. Р( — я, 6; (); — л)=>1+л)" (3 проиввольво) ВТФ1 101(4), Га 127(и а а — 1 > а! х (>+а)а+Π— а)» 2' х ' х' >а) 2ю Га 127 П 3. ВшР> — п, >а; 2>а; — — ')=( 1+ —,* Га127П1и а — 1 а — 2 3 Ы '! О рау' — (! — а)а Га 1271 т' Х ' В ' 2' >а,/ хаа!'= 9.1 ГИПКРГКОМКГРИЧКСКИЕ ФУККДИИ 1055 Г8127У Га 127 У11 Га 127 1Х Га 127 Х( Га 127 Х11 Га 127 Х1У Га(27ХУ Га 127 ХУ1 Га 127 ХУ111 5. Р(1 — к,(;2; г К (г+гу — З 11 1 6. Р(1, 1; 2; — я= (+я. 1+з ш— 8. ИП1/ ( 1, й; 1; — 1(ии1+г((ШР( 1, йг 2: — 1= 1+3+ — ((шР( 1, й; 3; — 1= ... =е.
Га127УШ 1 зг К гг+ег 9. Вш Р1 й, й', —, —,)= — =сйг. г 3 гг '~ гг — и"г ваз г ' 4аа'/ 28 г 3 я ~ ггпг 11. Ьш Ргй, й; —; — —,)аи —. г ' 4ав,г г 1 гг 12. (кп Р(й, й'1 —; — —,) =сова. 2 ' 4Ы',~ /113.вгз 13. Р'( —, —; —; в(п з) (2' 2' 2' з( зшг' 14 Р(1, 1; —; яки з) 3 2 ' ~ 81азсовз' 15. Р'( —, 1; —; — ги з) ~т гз ' /и+1 и — 1 3 . и ~ 81пиз 16. Р( —, — —: —; 81к з) 2$1 вш ги+2 в — 2, 3 . г кпаг 17. Р( —., — —; —; як з) 2 ' г 'г' вяп г зов г ' — 2 — 1 3 18 иг 2 ' 2 ' 2' ' / ившгоовигз' , Уз+2 и+1 3 и и вши*сопи ' г г ' 2 ' 2' / ввшг 21.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
