Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 116
Текст из файла (страница 116)
9.!4 2.), где !г(в) ф(а+л)+ф(В+и) — ф(т+ 1+я) — ф!в+1) )я+ 1 — число натуральное). 4. Пусть у=я+1 (т — число натуральное) и в то же время а или В равно лг'+ 1, гдв О < т' < гв. Тогда, ваприыер, при а = т' -(- 1 иы !юлу чим: и =Р(1+т', В; 1+!в; г), и г "Р[1+т' — я,  — т) 1 — т; з). В игом случае иг является мвегочлвиом относите!гаво з '. 1061 В 1 Гипиггвомвтгичкскив Фтпкпии 5. Если 7=1 — и (и — число натуральное) и в то же время как а, зак и 5 отличны от чисел: О, — 1, — 2, ..., 1 — т, то и, =- з Р (а + и, [3 + т; 1 -(- гя; з), и =заР(а+ т, [3+и; 1+и; з) )пз+ +: ~ ." (а+™]л(5+ ]» (5«(5) — 5«(9)»вЂ” (!+««)Л»' «=! — '««(~ ] ( ~]» з " (см.
9Л4 2.), хн (! — а — вл]» (1 — Р— зл]л где Ь» (и) = 9 (а + и + и) + ф 4+ т -(- я) — ф (1 + и+ я) — !р (1 + и). Заметны, что $(а+ в] — ф(а) = — + — +... + — (сравпи 8.5653.] 1 1 1 а а+1 ' ' а+в — 1 и «то при а = — ]«, где Х вЂ” натуральное число или нуль я я ь+ 1, 1+2, ..., выражение (а)„[ф(а+ я) — ф(а)] в формулах 9.1552. — 5. следует ааменить выражением ( — 1]" И (я — )« - 1)!.
6 Пусть у=1 — т (т — число натуральное] и в то же время а или 5 равно целому числу — и', где и' — одно нз следующих чисел О, 1, ..., и — 1. Пусть, например, а= — и', Тогда и = Р( — т'„5„1 — и; з), и =Р( — т'+и, ])+и; 1+в!; з). 1 7. При у= — (а+[3+1) МО 18 и, = Р(а, 5; — (а+(3+ 1); з), и = Р(а, [3; -:-(а+5+ 1); 1 — з) являзивя двумя линейно независимыми решениями гипергеометрического дифференциального уравпепия, если только а, 5 и у отличны ва» от нуля, так и от целых отрицательных чисел. МО 17 — 19 Аналитическое продолжение решения, правильного в точке г О 9.1М Формулы 9Л53 делают возможным аналитическое продолжение в область [з[> 1, [аг8( — з][< я функции Р(а, (3; у; з]„определенной впутрн круга [з [ < 1 гипсргсокетрнчсским рядом При этом предполагается, что а — 5 не является целым числом Если же а — 5 — целое число, например, если 5=а+и [и — число натуральное], то при [з[> 1, [азд( — з)[<и имеем: о — о спкцилльныи аъ нкции 1.
Г (а) Г (а- «ь! г (т) — Р(а, а+ т; Лц г) = «-! мп и !т--а) ( ~! Г (ач-й) Г (! — у+а+ й) Г (юп — й),-п-о и й! 'о=о ~-а-и Ч! Г(а-)-дп-! й) Г (1 — тФп+по+й) йг я') И (й 1-юп)! л(й)г о=о где 2 я(и) = )н( — г)+ ясон н(у — а)+ф(и+ 1) + ф(и+ т+ 1)— — ф(а+т+ и) — ор(1 — у+ а+!и-(-и). и — ! Прн т=О следует положить ~, '=0 о=о 9Л55 Эта формула теряет смысл, когда а, у илн а — у+ 1 равно одному ие чисел О, — 1, — 2, ... В атом последком случае имеем 1.
Если а — целое отрицательное число или нуль, а т не равно целому числу, то Р(а, а+т; 55 г) предсгавляет собой мвогочлен относительно г. 2 Пусть у — целое отрицательное число вли нуль, а а пе является целым числом Полов.им тогда т= — Л, где Л= О, 1, 2, ... Тогда Г(а+Л+!) (а+Л+ + ) г~+'Р,а.(-Лип 1, а+Л+т+1; Л-(-2; г) является решением гяпергеометрпчегко! о уравнения, правильным и точпг о=О Это решение раьно правой части формулы 9.154 1., если вней и в формуле 9.1542. у заменить через Л 3 Если а- у-1-1 — целое отрицательное число или нуль, а а и у не представляют собой целых чисел, то можно воспольвоваться формулой Р(а, а+во; уч г)=(1 — г)" Р(у — а — т, у — а; у; г) и применить к ее правой части формулу 9.154 1,, если только у — а — !и > 0; соли же а — у — т~ О, то правая часть етого выра!кения представляет собой мпогочлен, умпоженныи на степень 1 — г 4 Если а, () и у суть целые числа, то гипергеометрнчегкое дифференциальное уравнение всегда имеет решение, правильное прн г-.=О и имею !нее вид Л,(г)+)п(1 — г)Л [г), где )гг(г) и Д,,(г) — рациональные функции от г Чтобы получптьзту форму решении, г оедует к функции Р(а, р, 55 г) применить формулы 9Л37 1,— 9.1373.
Однако если у= — Л, где Л+1 — натурачьное число, то формулы 9.137 1. и 9.137 2. следует применять не к Р(а, (); бч г), а к функции г+!Р(а+Л+1, ()+Л+1; Л+2, г! Последовательным пркчепешп'и ука пены« формул ко кно волоките !ьвые аначения параметров принеств к дьоике, еднппце и и) !1ю Далее ив формул Р(1, 1; 2; г) = — г ' )п(1--г), Р(0, р; у; г)=Р(а, 0; у; г)=1 получаетсн указанная форма решения. МО 19 — 20 эл гяпвггиомктаичаскик азтнкции 9 16 Диффереициальиое уравпепие Римана 9.160 Гилергеометрическое дифферепциальиое уравиеплс представляет собой частвык случай дифференциального уравнения Римана 1 ави Г1 — а — и' 1 — р — ()' 1 — т — т' ) Ви 1 ' +Г + + „1 + оа' (а — Ь) (а — с) 66' (Ь вЂ” с)(Ь -а) тт'(с — а)(с — Ь) 1 =О.
УВ1284 с — с .) (с — а) (а — Ь) (с — с) Коэффзициепты этого уравпепия имезот полюсы э точках а, Ь, е, а чиола а, а'; )), б'; у, у' лазывают исксзазссялми, соответствуанщзми этим полвзсам. Поваэатели а, а'; 6, 6'; у, у' свяэапы следующии соотяошевием: а+а'+6+6'+т-(-т' — (= О. УВ1 283 2. )1ифферекциальные уравнения 9 160 1.
записывают с х е м а т и- чески так. а l е 3. и Р)а () у с . (а' 6' у' Особые точки уравнения помещены в этой схеме в первой строке, соответствуинцие км показатели — пепосредствекво под ними, а иеэависимая переменная помещека в четвертом столбце.
УВ1284 9.161 Имеют место следующие две формулы преобраэоваиия для Рурав келия Римана: а Ь с а Ь с ' (Ж'('.")' ° ° ° =" + с- — .+ ) а' ))' у' (а'-~ й 6' й 1 у УВ1284 УВ 1 284 2. Ра )) у с=-Ра () у г, Первая иа этих формул оэпачает следующее: если а Ь с и=Ра 6 у то фупкцкя удовлетворяет дифференциальному уравпеипю второго порядка, имеющему те же особые точки, что и уравнение 9.161 2., и показатели, равные а-ь)с, а'+)с; б — )с — (, '(à — й — (; у+4 у'+(. Вторая формула преобразования переводят дяфферекплальпое уравнение с особенностями в точвах и, Ь, е, вокаэатеаями а, а'; 6, 8'; у, у' и пезависимоп переменкой с в дифферекциальпое уравнеиие с тени же покаэателями, особыми точками а, Ь, с 1064 з — э. спкци зльвыв Фтвкцви и независимой переменкой з,.
Переменная зз 'связана с переменной з)пюбполивейвым преобразозвнием [А — ВС ть 0[. Тем я|е дробнолинейпым преобразованием связаны точки а, Ь, с, с точками а, Ь, с. УВ1235, МО20 9Л62 При помощи последовательного применения обеих формул преобразозвпии 9.161 1. и 9.161 2. дифференциальное уравнение Римана и е р е ходит в гипср геометрическое дифференциальное уравнение; таким образом, решение дифференциального уравнения Римана мо-.ьно выра- МО 23 Таким образом, зто решение следующим образом выражается через гипергеометрический ряд: Если постоявпыс а, Ь, с; а, а'; [3, 6') у, у' соотзстстзуюп(им образом переставить, то римаиозо уравнение не изменвтся Таким образом получвотси совокупность 24 решении дифференциальных уравнений, которые (пря условия, что ки одна из разностей а — а', р — [3', у — у' не является целым числом) имеют следующий зид: УВП67, МО23 9.163 9.164 3.
аз=( — ) ~ — ) Р(~+У+а', [3+У'+а', 1+[3 — [3';( )(з )) "=(Я)'~Я)'Р([3'+ +- Г+-'+ ' 1+[3-В . "),(;-',Д. вить через гипергеомегрическую функцию. При й= — а, ( — у из ( — ) ( — ь) имеем: (з — Ь) (с — а) а Ь с а -Р [3 у =[ — '",')'[' — '„')"Р О 0 оо 1 =[ —,,) [ —,~) Р 0 [3+а+у 0 [а' — а [3'+а+у у'— Ь с я+а+у 0 з р'+а+у у — 'у ) (з — а) (з 6)1 у вл гипиггиоамтгичсскик егнкцкп 9.165 и = — ) ( — )ЬР~У+а+(), у+а'+6; 1+ — у', ( )( )) 2 и, =( — ) ~ — ) Р~у'+а+9,у'+а'+9; 1+у'-у; ~) . 4 и = (:) ( — ) Р (у'+а+~Г у'+а'+()' 1+у' — у' 9Л66 3. и„=('— ) ( — ) Р(а+у+()', а+у'+6'; 1+а-а',( 4. и,в = (:) (:) Р~а'+у+()', а'+у'+9', 1+а' — а; 9Л67 .„=(*— ,ь)'~ —;'ь) РЕМУ+6+а.
У-и) +'(1+ У-У', (-'.=,",(,'=ь)) 2. ивв=(:ь) (:ь) Р(у'+9+а,у'+ф'+а;1+у' у*(а — ) в — ь| 3. и„=~:ь) ~:ь) Р(у+6+а'.у+9'+а" 1+у — у" — ь|' 4. ив =( — ) ( — ) Р~у'+5+а',у'+~'+а',1+у' — у;( 9Л68 3, -(Ы) (,—.7Р(р+ +У',9+ '+У',1+9 — 9';,', ь),(; .)1. 4 и = — ( — ) (:) Р ~ф'-)-а-ь у', ф'-)-а'~-у"(1-)-6' — 9; УВ 11 68 — 69 8 — 9 снкцигльные огннции 9Л7 Закись некоторых дифференциальнык уравнении второсо норядка е немощью схемы Римана 9.171 Гннергеометрическое уравнение 1см. 9.131). О со 1 и=Р О а О г 1 — у )) у — о — )) УВ П 78 9.172 Уравнение Лежандра, онределяющее функции Р„(г) 1п и и — целые числа) гсм 8.700 1.): 1 — т 2 1 — 1 2 УВ П 120 1 и=Р 1 — — и 2 УВ П 134 2 и=Р е+ 1 9.173 Функнвя Р ~ 1 — —, ) удовлетворяет уравнению УВП 168 Функция 1 1г) удовлетворяет предельной форме этого травнеиия, получающейся ври п — к со 9.174 Уравнение, определяющее многочлеиы Сеггг) (см.
О.938). и=Р УВП135 9Л75 Уравнение Бесселя 1см 8.401) есть кредельная форма уравнений УВП181 1. и=Р 4в' 1 и=Р 1 1 —,— Х 2 О в+23 — — Х г 1 — и О 1 —,+ге г 2 1 —,— сс 2 ол РиыкРГкометвичесеие екыении О со с 2. и =- »ЕР О г УВ11181 и Π— (с — и) О 1 2 — — (с+и) и+1 2 — и 2 УВ11 181 — — и 2 получающаяся нри с — » сс. 9.18 !'инергеомотричеекне функции двух нереиеииых 9.180 Р „, Р Р,( 7( х „, ч ~ (~т~..~р)»,Ф ~л;„л (т) „»л( л( =о л=о ВТФ1224(6) АК14'11) Область сходимости )х((1, (у(<1, -.о -о АК 16 ВТФ1224(7), АК 14(12) Область сходимости )х)+(у) < 1.
3. (Ро(а, а', р, (%', у; х, у)= ~~~~ ~~ '" " ~; "х ул (о)л„» и( л> л о»-о ВТФ1224(8), АК 14(13) АК 17 Область сходимости АК 17 (х) ( 1, (у, '< 1. » л 4. Р (а б, Ъ ~'; *, )= ,'~~ У (а) 'л,(") '" хму". а » — о.=о ВТФ224(9), АК 14(14) Область сходкмости АК 18 9 181 Функции Р„Р'о, Р'о, Ро удовлетворяют следующим системам (роффе- реициальиых уравиений в частных нроиаводных относытельно х. 1088 г — э спяцигльнык Функции 1. Систама уравиеиий для з =Рг: дгт д*г т(1 — х) — + у(1 — х) — + дгй дг ду + [у — (а+ [1+ 1) х[ — ' — 8у — — а[)г = О, д*г дгг у (1 — и) дгг + х (1 — у) д + дз, дз + [у — ~ а+ р' + 1) у] — — [1'х — — ай'г = О ду д» 2 Система уравнеиий для з = Рг: дг дгг дг х(1 — х) —,— ху — +[у — (а+8+1)х[ д,— дг — 8у — — айз = О, ду дгг дг, з дз у (1 — у) — — у — + [у' — (а+ [)'+ 1) у) —— ду* дв ду ду — [) х — — ар'в=О Р дг д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
