Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 119
Текст из файла (страница 119)
..., е, ..., 1+܄— 6; ( — 1)к уя "х)*). ВТФ 1 208 (5) У).304 Если никакая пара а„, I = 1, 2, ..., п, не отличается ва целое чвсло, о прк условиях д < р либо уу= р и (х( > 1 П Г (ал — ау) П ) (Ьу — ал+1) у ! х Х л ! П Г(а — л+!) Ц Г(ал — а) ~я-) 1 у еу.у-! Х рРе у(1+Ь! — ал, ..., 1+Ьр — а„; 1+а, — ал, 1+а — ал', ( — 1)р "х !)а).
ВТФ 1 208 (6) 9.31 Функциональные соотношения Если один ив параметров а,В=1, 2, ..., л) совпадает с одним из параметров Ь, () ву+ 1, ж+ 2, ..., у)), то порядок 6-функции уменьшается 1(апркмер, ~"'"(х~ ' "' )аа~ 'т~, (х~ ' " ) (я, р, о>1). бл" (х-! ( "г ) — б"~( ~ л) у) оряя( ~а,.) оалл( ~а! — 1, а,, а ) +(,— 1) С"„"Я„') ( >1). ВТФ 1 209 (9) ВТФ 1 210 (13) *) Рктрвх у знака оровеоеденвя оепечеет пропуск сомяо,кктевя для ) =Ь. Звоакопм под екалом фуш,ккв рРр ! оевачает пропуск Л го плрлчстрл.
Аналогичное соотношение возникает в случае, когда один из пара!шерон Ь, ()=1, 2, ..., т) совладает с одним из а, ()=л-)-1, ..., р) В этом случае на единицу уменьшается не л, а и ВТФ1209 (7) С-функция с р > у) может быть преобразована в С-функцию с р< д о помол(ьго соотнотпения: 1934 з — о спвпиальнык отнкпик ! о !( ( — 1)я "х Ц (х„— — а, 91) — Ц (х — — Ь ~~ у=О (р<р) у=! з=- ! ВТФ! 210(1) 9.33 Ряды О-функций С"'"(2 ) =)чо Х вЂ”,, 11 — Л)" Ст(х!Г' '"" 'Я вЂ” о [~Х вЂ” 1~<1, т>1, если !а=1 и р<д, Х может быть произвольным); ВТФ! 213(1! о =2." ~ ' (2 — 1) С"„"( ~=о (оо < !у, ) Р— 1 ! < Ч; ВТФ 1213(2) ч =' ~-( — )'-(.*~.: ) — о в> 1, Вел ) — (если и=1 и р ) д, то Х может быть произвольным', ), ВТФ1213(3) 2о ~,(, 1)С"'(х1,, ) ч о ( а< р, ВеА > ~ ~ .
ВТФ1213(4) Интегралы от С-функции см 7.8 9.34 Свпзь с другпмв спекнальвывв фувкдвкмп оо Г 1 о! 1 1 1 1 1. Х (х)ло!=2 Соз ( — х ( — ч+ — )о, —. р — — т ~ ч ВТФ1219 (44) ! 1 1 4 — 1А — — ч— я оо 1 о 2 2 2 2. Л! (х)ха=2 С,„ — !! — — ч, — !о+ — ъ, — 1! —, 2Т'2 2'22 ВТФ 1 219 (46) ВТФ 1 219 (47) 3. К (х)хо=2 Сое( — х ~ — р+ — т, — р — —.
т ~. а — ! 20/1 2~1 1 1 ч 4 ~2 Л ' 2 2 9.32 Дкфференпвальвое уравнение для О-фувккнв С"'" (х ~ ") удовлетворяет следующему огкввйному дифференциальному уравнению д го порядка 9585 г ! с Фчннвня м»н-РОВРРРА 1 !. а;[*|= Рйаа<ч~ ). БТФ(219 (49) 1 + ч+ — !! 2 2 2 1 1 1 — + — ч+ —. 1», 2 О. Н (х) х» =- 2РС, '~! — хг 1 1 1 1 — (а — ч, —, !! -! —,—, ч( 2 2 ' 2 11 Г!Р 1 220 (51] 2" ' 1 6 ЯР ч(х)=2 — 1 „, Р+ — ( 1 1 г! 1 г 2 Л вЂ”.+ р 4 1 1 1 1 — + — р,— ч, — ч/ 2 2 ' 2 ' 2 l г(а)- г' ! —,— ь 7 „Р!а, Ь; с; — х)= — — Сгг(х~ =ГЬИГ(Ь! (. ~ -1, — а.). 8.
РР' (а, ..., а; б, ..., Ь, х)= П г (ь,) Б':ччг(х ~О, !'"Ь„..'., 1"'443' Ц г(,) ! ! П г (ь,) 1 (1, Ь„..., Ьч~ Г (а,) г=! ВТФ 1 220 (55) ВТФ 1 222 (74) и ВТФ 1 215 (1) з — — ь,— - — ь 4 2 '4 2 — + е!, Уа, аа, 2 2 '2 2 '2 ! 2» Р' Раг »г ~ а* 9. И(». (х) =,— Сг! —,, Ь'Ав ВТФ 1 221 (70) 9.4 К-ФУНКЦИЯ МАК-РОБЕРТА 9.41 Представление с вомощлго кратиыг ввтетралов аг табаа3аа чача!Раааа г (а! — а0 Г (с! - а,)... Г (е! — о ) Ю Р-Ч-! аа хП ~ ~ф ' '(1+Л„)-' 0(„п ~ -'~+2,"+ '(2,( ь( ! — ! г г е х~с )!Ф ~1+ г +*"+Р 1 + Ю ((аг9х(( г(, р.Р7+ 1, а„и 0, ограничены условием сгодимоств внтегралов в иравой части). ВТФ 1 204(3) 1086 в — о спкциальнын оз нкцни 9.42 Функциональные соотношения 1. а,хЕ(аг ..., а .
Р1, ..., ((о:х)= хЕ(а,+1, а„..., ао.в„..., рогх)+ +Е(а,+1, а +1, ..., ав+1:во+1, „0,+(гх). ВТФ(205(7) 2. (91 — 1) хЕ (а„..., а: ом ..., о,: х) = = Е(«„..., а,гЕ.-1, Вм "- 9,: )+ +Его +1, ..., а„+1.ог.(-1, ..., во+1:х). ВТФ!205(9) 3. — г Е(а„....:1!о, ..., ()о:х)= =х 'Е(а,+1, ..., а +1101+1, ..., во+11х).
ВТФ1205(8) 9.5 ДЗ(гТА-ФУНКЦИИ РИМАНА ~(х, а), ~(л), ФУНКЦИИ Ф(в, в> в) н ф(в) 9.51 Определение н янтегральные представления г = — (('-(- — +2 ~ (г)1-(-Го( ~в(к~ оагс(6-) )— г о)~„ом УВН45 (О < (( < 1, (ге о ((. УВП50 См такяге 4.251 4, 4.27( 1., 4., 8., 4.272 9., 12, 4.294 11, 9.513 о ь(в) (хг — Пр(=> ); о [Вех > О(. УВП46 (Вез) 1).
УВ П 46 к 1-г г 3. ~(е)= " -~- ' +~И ° +11)(- (о) о(о — П гг г 2г1 Р 4 ь(х) =- — — 2* (1 (-П) о Ив(хагс(д() ~~ Е 1 "'1(Г 1. О=г УВП54 я г" -(-( УВП62 го+1 ( — в)* 1г-оо Это равенство справедливо для всех значений г, за нсклгочекпем е = 1, 2, 3, ... Предполагаегся, чго контур кнгегрнровеяяя (см чертен0 не проходкг чгреа точки 2аяг (к — натуральное число). а!нсвт«-етш!янк гнмгн«11- «1 11!! егпняня е 1ь ! ) на!«) 1087 21! х 2 Г Г1 Ч г а! 5 ь(г)= — — +, ) ~ — +1«~ и!п(гаге!32))— — 1 — 1 2* — ) '!,4 «як — $ О УВИ 62 См также 3.411 1., 3.523 1., 3.527 1, 3, 4.271 8 9.52 Нредставлеяие в виде рида илн бесконечно!о провзведевив 6.521 1 ь(г, д)= ~~ + ).
[Кег > Ц. «=О УВИ 44 2Г(1 — х) Г хл ч«сс глг«гл ч! ма2лд« ~ Ь(г,ч)= „„, 1[г!п2 Х Ы. +сох —,2„ «=-1 «=! [Ке г > О) УВ И 49 1 1 3. Ю(г, 7) = ~~~~ ( + à — ( )(«)+ ),, — ~~~~ Р„(г), «+!  — л) и (л+ч)' ! / (л+1-)-ч)-,) (!+т)«'! [Кег > 1, Л' — натуральное число). УВИ55 г 1 9.522 1 ~(г)= ~~~ —, [Кег> Ц.
! 2 ь(г)=,, ~~~~~ ( — Ц«' —. [Кег > О). «! УВП 44 УВИ 46 ! Умножение и суммирование пронггодятся по всем простым числам р. УВИ 53 УВИ63 «г=! 9.53 Фувняиоиальиые соотяоглеяня и.+. (т) . 9.531 Ц( — л, 7) =- — — —,— (« г 1)(«-г2) [я †натуральн число илн пуль).
УВИ47 !) 524 г (г) ~~ а (ь) 1(х) = л~ ь! г=! !де Л()!)=О, когда )! не есть степень простого числа, и Л()!) = )п р, когда й — степень простого числа р [Кех > Ц УВИ 63 ! 088 8 — 8 спвциальцыи Фуаиции [[ [<й) УВ П 59 УВП46 УВП51 УВ П 52 Ы вЂ” 11 Г[ —,*+1) 9.537 Пусть г = — + И; тогда Е (1) = 2 Цг) =В(-1) есть четкая относительно г функция, имеющая действигельиые коэффициенты в рагложепии по степеням 18. КЭ 388 9.54 Особые точки и кули 9.541 1 8=1 явчяется единственной особой точкой фувьцви Г(г.
о) УВ П 46 2. Функция Ь г) имеет пРостые пУли в точках — 2н, где и — натуралЬ- иое число Все остальные нули фупкцив ь(г) пенат в полосе 0<иехч;1 3, Гипогега Римана все нули фупкпив ~(г), лежащие в волосе 1 О~Ввг~1, ленсат па прямой Вес= — Доказано, что иа атои арямои 2 лежит бесчислеппое множество пулеи д8еш функции УВП 58 9.542 Частные виаченив. ) УВ П 49 1. 6(2т) (газу 2. Ь(1 — 2ж) =— й~ 2вг ' [ш †натуральн число[.
УВП47 УВП47 УВП 52 3. 4( — 28в) = О 4 (' (О) = — — 1п 2ц. СЮ Х а '((" Р) )И Г(г+Ц> —,+Х Ь(8+а> А г 8=1 9.533 1. )Хш — — - -1. С(г 8) Г (1 — г1 1 1 2. 11ш сс(х, о)- — 1 -ф(д). 8 †1 3. ( — ~(г, р)) = 1п Г(р) — — ' 1п 2л 9.534 ь(х, 11 = ь(г).
9.535 1. Ц.)- — „',С(ц,В [Вег)11. 2. А Г(1 — г)ь(1 — г)ап 2 -— и~ ь(г). 3 28 1 (г) Ь(х)сог 2 и Ь(1 — Х). г * — 1 4. Г( — )и г ~(81= Г~ — )л г ~(1 — г). 9.538 йш (Г,(~) — ) = С. УВ П 48 УВП 57 УВП49 УВ П 49 Оздакта пункции «вкангсгъ,з> соь пункции е )*,з,е>игоз 1089 9.55 Функция Ф гг, л, о) Определение.
Ф(г, з, о) = ~~ (о-1-к) зз» -о 9.550 [[г[< 1, о ча О, — 1, . „). ВТФ! 27(1) Функциональные соотношения 9.552 Ф(х, з, о) = гг '(2и)' 1Г(1 — з)[е ОФ(з-зън; 1 — з, гяъ ~ — е г Ф(зпзъ»,1 — з,1 —— ~я[ — +зз) г 1п * ' гъп ВТФ 1 29 (7) Представление в виде ряда г) 553 Ф (з, з, о) = г 'Г (1 — з) ~ ( — 1п г+ 2ззкз)' ~ ег»™ [0<о<1, Вез<0, [аг3( — !пз+2хои)[<я! ВТФ!28(6) 9.554 Ф(г, т, о)=з "(~~~,((т — и, о) —,+ (1п з)» [зр(т) — зр(о) — 1и ( !п — ) [ [ [т — 2 3 4,, [1пг[<2Я, оные, — 1, — 2, ...). ВТФ130(9) зъ' Г 1 ц — » з 1 чз В»и(О)()пъ)' Ф(г,— «ц е) = — (!п — ~ — — ее~ з) з" ~) г) (щ+ъ+1) ю 0 [[!аз[ < 2к) БТФ ! 30(11) Интегральные представления е Ке к 1 гкз-»-шт 1).556 Ф(з, з, о) = [ — й=- — ~ Г(з) г 1 — зе ~ Г(з) о ез — з е [Вес>О, либо [а~<1, гФ 1, Вез > О, либо г=-1 й»е) 1).
ВтГО)27 (3; *) Штрнг у Ояана т~~ ~оепаЧазт, чтО члЕН Лля з=зз — 1 опущен е) 551 Ф(з з о) з»Ф (з з т ) о)+ ~ (о ) п)-зг» » 0 [т=1,2,3,, оные, — 1, — 2, . ] ВТФ127(2) о — о, спнцнальпыв Фъ'нинин Предельные соотно!пения Вш(1 — з)' 'Ф (з, и, о) = Г(1 — е) е ! 9.557 1!ш Ф(е 1 о) =1. '., — !а(1 — е) = Связь с гипергеометрической функцией 9.559 Ф(з, 1, и)=О'о)г,(1, о; 1+о; з) !)з) ( 1). ВТФ 1 30 (10) 9.56 Функция 3(а) '(~ ) 9.561 И )=Ь( — 1)»( ). ВТФ П1 190 И О) лз 9.562 3(1-е)=3(з). ВТФ П1 190 (11) 9.6 о!ПСЛА И ПОЛИПОМЫ БЕРНУЛЛИ, ЧИСЛА ЭЙЛЕРА, ФУИПИИИ о(х), т(х, а), р(х,3), р (х, $),а),)о(хеу) 9.61 Числа Бернулли ю 9.610 Числа В„, являющиеся кол(!фициентами ари — в рааложеиии функции »» и» 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
