Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 117
Текст из файла (страница 117)
ВТФ1233 (8) ВТФ 1 234 (10) ! 3 3 Система уравиекий для г=Рг: д*з дзг х(1 — х) д.з+у,. + + [у — (а+ р + 1) х[ — — айг = О, дз д*г дгг у(1 — у) — +х — — + дуг дг ду +[у — (а'+[) +1)у) — — а'(Гз О ду 4. Система уравнений для г =Р дг,, дг, дЪ х (1 — х) — — у* — — 2ху — -(- ду д ду + [у — а + [) + 1) х [ — — (а+ [1 + 1) у — — а[)г = О, дв дгг г дгг дгг у (1 — у) — — х' — — 2ху — + дуг д.г* д, ду + [у' — (а + [) + 1) у) — — (а+ [) + 1) х — айг = О.
дг д ду дв ВТФ 1 234 (12), 1. Г (а, (), [г', 8+ф', х, у',=(1 — у) ~у~а, [); [)+8', ) —,у) . ВТФ 1 238 (1), АК 24 (28) 2 Р,(а, Р, [)' [), у', г', у)=(1 — х) у~а, ()'. у', — "). ВТФ 1 238 (2), А К 23 9.182 При некоторых соотиошоииях между параметрами или аргумеитами гппергеоистричсскио функции двух псремгчп1ыт выражаются чероз ~ мпер~г ометркческие фуикции одноя перемениои или через глсментарные функции: 1069 вл гипкггкомктгичьскик эенкции 3. Р (а, р, 6', а, а; х, у) = (1 — х) е (1 — у) е Р ( (), ()'1 а; ВТФ 1 238 (3) 4. Р (а, у — а, (), у — 5, у; х, у)=(1 — у) +е «Р(а, 6; у; х+у — ху). ВТФ1238(4), АК 25(35) 5.
Р4[а, у+у' — а — 1, у, у', х(1 — у), у(.1 — х)]= =Р(а, у+у' — а — 1; у; х)Р(а, у+у' — а — 1; у', у). ВТФ1238(5) е и ) ( 1 х ) Е ( 1 К ) » 6. Р,(а, (), а, (), -( )(„), ( )< )— - (- ВТФ 1 238 (6) е е [ ' (' ~' 6' (1 — х)11 — у)' (1 — х)(1 — у)~ =(1 — х)" (1 — у) Р(а, 1+а — 6; (); ху). ВТФ1238[7) 4 ~а' ()' + е' г' (1 — х)(1 — у)' (1 — х)(1 — К) 3 =(1 — у)" Р ( а, р; (+а — 5; — — ~ ( . ВТФ1238(8) АК 23 10 Ре(а, р, ()', у, х, 1)=-, — —.— —,— Р(а, (); у — ()') х).
Г (у) Г [у — а — (1') Г <у — с~ Г (у — 5') ВТФ 1239(10), АК 22(23) 11, Р, ~а, р, ()', у; х, х) = Р(а, ()+()', у; х). ВТФ 1239(11), АК 23(25) 9.183 Функциональные соотношения между гинергеометрическими фукккаями двух неремеыаых: 1 1 9 Р 1а,а+ —,, у, —,;х,у)= =-„,'(+)ув" (., + —,(1 — )/у) Р( а, а+ —; у; 2 (1 — Р к) 1. Р,(а, (), 5', у; х, у)- =(1 — х) (1 — у) Р,( у — а, 6, р', у;— =(1-х)т-с-е(1 — у;еР, (у — а, у — (1 5, ()', у) х (1 — х)-Е(1-У) -"-Е'Р,(У-а,6,У 6 (),у; * ВТФ 1 240 ВТФ 1 239 (1) ВТФ 1 239 (2) ВТФ 1 239 е3) х — у) ВТФ 1 240 (4) (5), АКЗО(5) 1070 о — 9 спвпиолънын Фуннцни 3.
Р <а, [), у, у'; х, у>= — ( — у> — оР (а, а+ 1 — у', Г <у'> Г <(> — а> Г <у — а> Г 6>> + Г<у — Р>Г<а> ( Р) 4 ( Р+ У 4'4 г <у'> г < а -6> х 1х у, а+1 — 6; —, — ~+ У У у, [)+1 — а; —,— 1 ' и' У.>' ВТФ1240(9), АК26(37) 9.184 Интегральные представления: Двойные интегралы эйлерова типа г <у> 1. Р4(а [> [>' У; х Р)= Г<в>г<р>Г<у р р> Х Х $ ~ ид-4ОВ'-! (1 — и — О)!'-В-В'-' <1 — иХ вЂ” Ор)-а4й44<О ( о>О, 4>О~ 44+за! [Не[) >О, Неб'>О, Не(у — [> — 6') >0]. ВТФ1230(1), АК28<1) г <у> г <у'> г<р> г <В > г<у- р> г<у — р > х ! ! Х ~ ~ Н — 4со'-! (1 и>т-В-! (1 — о)т'-В'-! (1 — их пр>-а!<и!1 6о [Не]» О, Нер' > О, Не(у — 6) > О, Не(у' — [)') > 0].
ВТФ!230(2), АК28(2) 3. Ро(а, а', ]>, 6', у; х, р)= г <у> х Х ~ ~ ив-4СВ'- '(1 — и — о) — т — В-В' — '(1 — их) "(1 — Ор) — "4<иоЬ (оно 4во) [Неб > О, Веб' > О, Не(у — ]> — ]>') > О]. ВТФ1230(3), АК28(3) 4. Р4 [а, 6, у, у'; х(1 — р), р(1 — х)] = ! 1 г< >г< > — ] ~ и" — 4С — '(1 — и)т — о — 1(1 — о)!" —  — ! Х Г <а> Г<6> Г <у -а>)Г<у'-6> .) 5 во Х(1 — их)а т !'+1<1 — оп<)В-т-т'+1(1 — их.— о4,)т+~ - -В-!<и <о [Неа >О, Ве[> > О, Не(У вЂ” а) > О, Не(У' — <4) > О].
ВТФ1230(4) 2. Р4(а, >4, 6'< у, у'; х, р)= =(1 — х) 'Р,[ а. у — ~, 6', у, у", У ); ВТФ(240(6) =(1 — р! Ро [ а, [), у' — 6', у, у', „", " ); ВТФ1240(7) = (1 — х — у> аР (а, у — 6, у' — [>', у, у'; ' *+У вЂ” 1 ' -'-6 — 1. ВТФ 1 240 (8'„А К 32 (6) 2.2 ВЫРогядяннхя гнпнРГвомктвнчвскзя Функция 1011 Интегралы типа Меллина — Барнса 9.185 Функции Рг, Р, Р, и Рв предстазлвются с помощью двойных интегралов следующей формы: гг, в)- '"' ( ) в<, )г[ — )г[ — и — Г~ — гвлв. Г(а) Г(р)(2Я > Р(т, у) Р,(а, (), ()', т; л, у) Рв(а,0,3', у,у';я,у) Рв(а, а', (), р' у; г, у) Рв( г 1г г у) Чг(з, 1) Г (а+ г-'-г> Г (й-Хв) Г (Р'+Г) Г(()') ('(у.г-в (-в) Г( -)- -Г) Г0)+в> Г0)'+В) Г(т'> гВГ) г(у+в>г(у+в> Г (а+ в! Г (а' + в) Г (3+ в) Г (р'+ г) Г (а') Г (() ') Г (у -)- в+ в) Г(а+ в-<-В! Г(р Гв->-Г> Г(т') Г(У+ ') Г(У'+О [а, а', р, ()' не долягны быть целыми отрицательными).
ВТФ1 232(9) — (13), АК 41 (33г 9Л9 Гипергеометрическап ф>нкнпя нескольких перемемиых Рл(а; ()» ° ° р ' у» ° ° у„; 22, ..., 3„) = чч чг (а>юг+...+гав(1)г)еч йа)вчв (уд -. (т ), "' '- = Х ~ -- Х ' ","', Г"."в"..- °,=-о,-о „-о ИП 1 385 9.2 ВЫРО)КДЕННАЯ ГИНЕРГЕОМЕТРИг(Е(:КАП ФУНКЦИЯ 9.20 Введение 9.201 Вырождснгвоя сгвясрсеолветричссяая угугвкг(ия получается в результате предельного перехода цо с к + сз в решении дифферепцггальпого ураввоцяя Римана 0 со с о — +>в — с с — 2 УВН 139 — — > 0 2 УВ 11 139 Уравнение 9.202 1.
имеет следующие два линейно независимых решения: 9.202 Уразненве, которое получается в результате етого предельного вере- хода, кисет вцд. 1022 8 — !, сп в![и «льные въ нации МО111 9.21 Фуиииаи Ф(а, у; з) и Ч."(а, у; з) 9.310 Ряд 1+ о + о(о-«-1) ! + а(а+1)(о+2) ! У 1! у(г ) 2( у(у+1)(у-г2) 3! также называется вырождопной пшергеоиетрнчсской функцией. Другое обозначеш«е: Ф (а, у, г) = «Г! (а, у; г). ™ Го — 1) '' У' )+ + „" ) ' Ф( — +1 2 —; ).
9.211 Интегральное представление! 1 -! ! 21-т, у«! 1. Ф а, у; з)= ) (1 — 2)" 1(1-(-Г) 'е! «(Г В(, у — ),) ! ВТФ 1 237 (7) (О < Вен < Ве у). 2. Ф,'а, у; з)= з«-г ~ е! '(з — 1)г-" ««(г В(о, у — а) МО 114 (О < Вв а < Вг у). еа е 3. Ф( — ч, а+1; з) =„( е*з ~ е Ч ~У~(2)/гз) «(г о ) Ве(а+в+1) >О, (аг3г~ < — 1 . 4. Чгг(а, у; з) —, ! е — г«(е-«(1+1)г '-!«(з (Вва>0). ВТФ Г «о) о МО 114 МО 1(,> Функциональные еоотион«внии 9,212 1.
Ф'а, у; з)=е'Ф(у — а, у; — з). 2. — Ф(а+1, у+1; з)=Ф(а-(-1, у; з) — Ф(а, у; з). 3. аФ(а+1, у+1; з)=(а — у)Ф(а, у-(-1; з)+уФ(а, у; з). 4, аФ(а+1, у; з)= (з.( 2а — у)Ф(а, у; з)+(у а)Ф(а 1' ™ 9 2И вЂ” Фга-(-1, у+1; з). «зр а 3! МО 112 МО 112 МО 112 МО 112 ! 2. ! е — *Ф(2+)« — )«, 2)«+1; з~, ! — з ' 1 3. зз е-чЭ( — — р — Х, — 2р+1; з), (,2 2 З которые определены для всех значений )! ~ Ч- —, 2' 3' 2' а г вырождиннгя гипнРгвомвтритвскгя Функция 1023 9214 1!п1 — Ф а, у; г) =г" 1! ~!Ф(а+и г-1, и+2; г) в Г(у) (л+1,~ (и О, 1, 2....). МО 112 9.215 1 Ф(а.
а; г)=г*. МО 15 1 ! 2. Ф(а, 2а; 2г)=" йехр~ — (1 — 2а)яг] Г(а+ — ) 'г г ! гг ). ( 4 г МО 112 3, Ф(р+ —, 2р+11 21г)=Г(р+1)( — ) еойр(г). МО 15 Представление специальных функций через вырожденную гипергеометрв- ческую фунвцню Ф,'а, у; г) смл для япте1рала вероятности 9.236', дчя интегралов от цвлпндрнческях функций 6.631 1.; для полппомов Эрнята 8.953, 8.959, для полнпомов Лагерра 8.972 1.; лля функция параболпческого цилиндра 9.240; для функпвн Мг „(г) 9.220 2., 9.2203.; для функция И'в,р(г) 9.239.
9.216 Функция Ф(а, у; г) являешя решением двфференцваланого уравнения шр РР 1. г — +(у — г' —,— аР=О. ваа Иа МО 111 Ото уравнение имеет два линейно негависимых решения! 2 Фа,у;г) 3. г'-'Ф(а — у+1, 2 — у г) МО 112 9.22-9.23 Функции Уиттекера йг, „!'г) н Уа'а в(г) 1 4 МО 115 Уравяенне 9.220 1. имеет следуюшие два линейно негависимых решения. 1 2. Мг,в(г)=г ге гФ(р — Х+ г, 2)1+1; г ), ! а 3. М„(г)=г +гг гФ( — )а — А+ 1, — 2!!+1; г ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
