Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 120
Текст из файла (страница 120)
— — -ХВ— е! — 1 "») » о называются числами Бернулли. Таким образом, функция, является с производящей функцией для чисел Бернулли. Ге43(57), ФП520 9.611 Интегральные представления (сравни 3.411 2.,4.). ФП 721 и 2. Вш=(— 3. В,„=( — 1)" г ( ~ хо" »1в(1 — е — зле) «ох. о См. также 3.523 2,, 4.271 3, Свойства и функпнональиые соотношения 9.612 Рекурреитиая формула (символическая закись)! В"=(В+1)"; Во=В =1, Ге 49 (60) Для вычислеввя следует все степени после развертывания бинома в ираиои 1)" '4в ~ " 3х о 1) -ело» 1 (х о (Вео < 1), ВТФ130(12) ВТФ 1 ЗГ (13) 1092 9 — 9 спипиалъиык Фтннцик 9.623 Функциональные соотноохеиии и свойства. « — 1 В „(л)=В,,+(ш+1) ~ й (и и т — натуральные числа) 9 Ге 51 (65) Гв 65 (90) Ге 66 (см также 0.121) 2.
ЛВ.(х1=В„( +1) — В„(х)= 3. В' (х)=лВ 9 (х). 4 В„(1 — х)=( — 1)"В„(х). ' .624 В„<тх) = т" ' ~~ В„(х+ — ) [отворена умнояоенияо]. ь о Ге 66 Ге 67 9.625 Разности 1. Во(х)=х — —. 1 2 ' 1 2. Во(х)=х* — х+ —. 6 з.в()= -- +-. 6 2 2 4 В (х)=хо — 2хо+х' — хо . б б 1 5 В (х)=х'- — „, х'+ —. хо — — х 2 Х 6 Ге 70 9.628 Частные вначения: 1.
В„(0' В„. 2, В„1): ( — 1)"В„. 9.63 Числя Эйлера Ге 76 ж 9.630 Числа Вж являющиеси коэффициентами при — в разложении функции 19 св1 " я! ' — о кавываютоя числамн Эйлера. Таким обравом, функция -- —, являетск производящей функцией для чисел Эйлера. Ч 330 В„(*) — В„ при л нечетном на отревке (О, Ц обращаются в нуль 9олько в точках 1 1 О, —, 1, причем к точке х= — они меняют анан При л четном эти раэ- 2 ' 2 ности обращаются в нуль на концах отреэка (О, И, а внутри етого отрезка сохраняют анан, принимая наибольшее по абсолютной ьелкчкне значение 1 н точке х=— 2 9.626 В промежутке (О, 1) полвномы Во,(х) — В „и В „9(х) — В „,9 имеют противоположные вилки. Ге 87 9.627 Частные случаи: зл постоянныв 9.631 Рекурревтная 4юрмула (символическая запись): (В+1) +(Л вЂ” 1)"=О, Е,=1.
Ч 329 Свойства чисел Эйлера 9.64 Функции т(х), т(х, а), )в (х, ф), р (х, (), а), )в(х, зв) 9.640 в хв ю ( т ) 3 г ( в + 0 ,и-вв,~, '(* ")= 1 г( ~ ) ВТФ 1П 217 (1) ВТФ П1 217 (1) иОЗ ю Г 19+1) Г(в-т1) ' ВТФ П1 217 (2) ВТФ П1 217 (2) г и +Челв 4. )в (х, (1, о) = ) г 19+1) г (о+в+1) ' 5. х(х, у) = ~ в Г(и+1) 1и 9.7 ПОСТОЯППЫК 9.71 Числа Бернулли 1 В =— в 1 В = — —, в 1 В = —— в Зев 9.632 Числа Эйлера оуть целые чнсла. 9.633 Числа Эвлерз с нечетвым вндексом равны нулю.
анака же двух соседних чисел с четными индексами протипополоквны, т. е. В .,=О, В >О, В .ю(0 Ч 329 9.634 Если о, )), у, ... являются делителями числа л — лв, то разность В „— В, делится на те из чисел 2а+1, 29+1, 2у+1, ..., которые нзляювся простыми числами. 9.635 Сзяаь с числами Бернулли (символическая завись): (4В 1)и (4В 3)в п-1 = ви Ч 330 и(й+1)и ' 2. В„= Ч 330 Ч 341 Таблицу значений чисел Эйлера см.
9.72. в — в снсциальныг ютннции 5 Во во 66 В, = Ввв Ввв = 9.72 9.73 Постоянные Эйлера и Каталань Постоянная Эйлера б' = 0,577 215 664 901 532 5... Постониная Каталаиа оР 0,915 965 594 ... 691 2730 ' 7 ь ' 3617 510 43 867 798 174 6Ц Х% 854 513 136 Ев= — 1 Е =5 Е,= — Ы, Ео —— 1385, Х,о —— — 50 521, Числа Бернулли и Эйлера с нулю 236 364 091 во 2730 8553 103 ь 237494Ы029 Ввв = В 8 615 841 276 00о во= 14 122 77093210412Ы и=-— 2 577 867 358 36' ь Числа Эйлера Е, =2702765, Е, = — 199360981, Е, = 1939151214. Еы = — 2404879 675441, Ево = 370 371 188 237 525 нечетными индексами (всключая Вд) равны ПРЕДМЕТНЫИ УКАЗАТЕЛЬ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ОБОЗНАЧЕНИЕ Наямвноиаиие функции и номер формул, где дается ее опредеаеиие Обозначение Амплитуда эллиптическая Числа Бгряуазя Полаяомм Бернулли Бэта функция Неполная бота-фупиция 8.61 Сез„(з, у), Сете 1(з, Э) сЫ) (я) З.ж 8.23 8.14 8.
П2 8ЛН щ() сп (н) В(4) == В П(у 4) 0 с (з) Пр (з) Функции параболического цилиндра )(альта амплитуды 9.24 — 9.25 8. 14 8. 162 9.63, 9,72 ВЛ1 — ЗЛ2 бае ез, сз сз ~я Е (йь й] й (Р, а,.: д, ба: .а) Е» (з) Е1 (з) 8Л1 — ВЛ2 8.58 8.21 8.25 8.17 9.51 — 9.54 8.М вЂ” 8.12 9.10 — 9. (3 9.21 ашй(«, 4) В„(з) Б( у) В (р 7) ф(з') Ьм (з), Ыег (з) С С (э) Сь (г) С",(я) ю (з. 1), ...(, э) ЕМс (э) = 1 — Ф (э) ь (я) ь (з) и,)1 Р(9, й) зуч(пс..-.
нр рз .-" (а з) Р, (о, (), у; з) =-Р (а, (1; у. з) ,Рз(а, у, з)=Ф(ц, у, з) Функцки Томсона Постоянная Эйлера Косинус-инюа рал Френеля Миогочлецм Гагепбаузра Функция Гегепб*уэра Периодические функция Матье (фунхцаи Матье 1-го рода) Присоедянекнме (модифицированные) функция Матье 1-ю рола Гиперболический интегральный кос.ииус Интегральный косинус Эллиптическай косинус Числа Эйлера Эллиптический интеграл 2- го рода Полный эллиптический яссюграл 2 ю рода Функция Мак-Роберта Функции Вебера Пнтегральяаа покампельяая функция См сатеграл вероятности Маета функция Воиерщтрасса Даоса-функции Римана Эллиптический интеграл 1-го рода Обобщенный гипергеомегркческии рад Гиперггомстричесиаи функция Гаусса Выралщенная гипергеомстряческая функция 8.
141 9.61, 9.71 9.5Ю 8 38 8.39 8.37 8.56 9.73, 8.367 8.25 8.93 8.932 1 1096 цнкдмктныа хклнвткль снкциагсъных шнндцин и ид'онсбзнвчкннк Продоввсевве Нанмевовавне функцпв п номер формул, где настоя ее опредевевве Обоснование Р (:В ° - Ю ° 7 ° ". ..:.тн"", '' -')" Р, Р, Рл, Р ° Гвпергсометрнчсскав функция пссковькнх переменных Гвыергсомстрвчоскно функции двух переменных Вторые вспернодическне ршпевия урааноння Матса Постоянная Каталапа Инварианты Р (и)-функция Гудерманиап Вторые нснерноднческке рыпення ураапення Матье Гамма-функция Неполная гамма-функпвя 9.
$9 Фунвцвн 11ейера Функции Томсона Функция Гавкевя 1-го н 2-го рода 8.$92 8.95 8.55 Поняномы Эрмвта Функции Струне Функннп Бесселя от мнимого аргумента Нспоссная бота-фувкцня Фускпвя Бесселя Функция Анг«ра Полный енлкптвческвй вата. рав 1-го рода Пнннндречоссснс функции мввмого аргумента Функцвв Томсона 8.406, 843 8.39 8.402, 8.41 8.58 8.$1 — 8.12 Функция Ло(ьсчсасного Функция Струне Полнномы Лагерра Иятегральнмй логарифм Фув кцвв Уис'текера Фувкцвн Неймана Повнномы Неймана Энляптическан фуввцкн Вейерштрасса П]ароеыс функция 1-го рода Фупкцпп п повнвомы Ленсандра 8.16 8.7, 8.8 8.82, 8.83, ВаЛ рн( ) рсс(х) Р„(л).
Р„(х) /. с,.~ Дифференциальное уравнение Римана (схема] 9. 160 (е„(л, о], р«„(», ч] ... усу„(=, д),'Ре$."„(л, $)... ) 4$ бх Вз Вбх Ве„(л, 9), Осе (л, У) Оеуе (л, р), Се]с„(г, у) ~ Г (л) Нссо (с) (рсв (л) Нссс(л] Нсв(л) Н,(п]=0,( —,"" ) й(н (л] и (0 $„(л) сх (Р 9) ут (*) ут (л] Н(4]=Н, $Г(4']=И' $(„(л] йе! (л), ]сег (л) Ц (с) Ь (х) 1. (л] уа(0 П (х) х(х, у) н(] р(* ~) т (х) т(х, а) бСе (х) Р"(н) 9. 18 8,64 8.663 8 161 $.49 8.64 8.663 8.3$ — 8.33 8.35 8.56 8.473, 8.531 8.405, ВА2 ВП92 8.407, 8.43 ВЛВ 946 8.55 8.97 9.22,9.хе 8.403, ВЛ$ 9.640 9.640 8.59 ПРИДЫПТНЫИ ТКАЗАТИПЬ СПИЦИАИЬНЫХ ФУНКЦИИ И ИХ ОПОЗНАЧИНИИ Продолжение Обозначение р(а.
3)(х) П (х) Полнвомм Якоби Угол аараллельпостн Лобачевского Эллиптический интеграл3-города Интеграл аеровтпости 1.48 811 8.25 9.21 П(9, а, 4) Ф (х) Ф (з, г, с) Ф (а, 7, х) =,Р, (о, у; х) Ф, (а, (), 7, х, у), Фь (((, р, 7, х. 3), Фз((), 7 * у! Ф(х) ' йг (о, с; х) 9.21 8.7, 8.8 ()р(з), ()р( ) (),( ), (),( ) 3 (х) ~е (х) 'р ч (з) ур ч (з) ае,,(з, д), ее,„,ь(Ц 1) 8 „, (з,р), Эе, (з,р) 8.82, 8.83 8.25 8.59 8.57 8.61 еШ (х) 8.22 8.23 8.14 8Л7 8 94 8.19 1 — 8. 196 8.192 8.
192 8Л8, 8.19 Эллицтичесиие тета-фуинцви Полввомы Чебыжезз 2-го рода Функцнн Ломмела двух первые»- ных Функции Уиттекера Пилнвдрическве фувнпви 8.57 9.22. 9.23 8.401 з1(х) зп и и (и) тп (х) Е (и), Еь (и) Е,( )=6,(м") е( )=6.( — "") 6.(о( )=6,(е(т), ~ б,(е(т), 6$(е! т),' бз(е(т) ~„(Ж,.)",'~'„(~,.) "ь рР) Яч (з) Наименование фупкиии и помер формул, где даетсв ее онредоление Вырожденные гипергеометрические рнды двух перемевных Псн-функция Эйлера Вырожденная гипергеометрическаа функцнп Шаровые функпии второго рода Присоединенные функции Лежандра 2-го рода Синус-интеграл Френеле Полпномы 1Йлефлп Фуекпни Ломмела Периодические фупгпив Матье Функции Матье от мнимого аргумента Гиперболический интегральный синус Интегральный синус Эллнпглческий синус Сигам-фуекцнв Пейерппрасса Полвяомы Чсбьппгва 1-го рода Тата-функция Якоба Буква Ь (когда она не служит индексом сук мировавин) означает число лежащее ва отрази~ )О Ц Зтям обозначением пол1ытются в интегралах славящихся к эллиптическим При етом число у'1 — Ьз обоавачают через й' Ранконвльваа функция Действнтельлая л кликал части комплексного числа з=л+гу П (л) Вез = — л, )шс Коептексвое чвс ~о соярлженвое Аргумент комплексного числа Знак действительного числа при л.лО, аьйвл= — 1 при лс.О Целая часть действвтельваго с х=л+юу з=г+~у шйп в=+1 агу х ыяв л Е (л) Контурные интегралы, путь интегрированна исходя из точки а, ориближаетса к точке Ь (по примой, если нет противоположных указание) обходят по небольшому кругу а ноложвтельмоп (отрицатехьном) нап(ювлевнн точку Ь н везер» щаетсн в точКу а, провдв первоначальный путь в противоположном направлении (ь~ ь-> Кряволвнейный интеграл, взятый вдоль крв пой С.
С в~ (2е+ 1) ~ ~ (2в) 0 = 1 2.3 ... в, 0 1 = 1. =1-3 ... 12в.(г(). =2 4... (2в). 3)=1. р(р — 1)."(р — +1): р 1 2 ... в ' 1, О,) Г (е) =е(а+1) ... (а+в — 1)= Г (а+в) =вы+а,х+...+к„, Если л~ж, то волагают е ~0 ~на=0. е е~ Сумин, распространенные не все цьзочислса ные значения а вли, соответспн пно, м и л, исклю чав а=О вли, соответственно, ль=1з=д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
