Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 118
Текст из файла (страница 118)
МО 115 Дчя получеаня решений, пригодных также и при 2)г= 4- 1, Ч- 2, вводится функция Унт!овере. 4 )г'г, в(г)= Мг,„(г)-(-, ~~ Мг „(г), УВ11 152 г( — — р — 2) ~,2 Г ( — гр — 2) ЕВ таглввв ввтагралав 9.220 Сделав в ураввенви 9.202 1. вамену переменных и = г гйг, мы придем к уравнешко 1074 о-а спициальныи еъ нкции Интегральные представления 9.221 ЛУь „(в) = 1 к+в « „«! ~ (1 +1«й(1 — 1) йег «11, УВ11159 2он Н [ а+ 2+ —. р — ««+ —. ) 2/ если интеграл сходится См также 6.631 1., 7.623 3. 9.222 1 е н+- —- еэ « « 1.
«Уь, „(в) — — ) е-мг а (1+ 1) а е)г, МО 118 ëР— «+2~ е ае ~ н «-1 «( е)н+~ "( -"+-') ° [~ (««ь)> 2 ! 6х«е я1 - УВП143 1 1') 1 ') 9.223 Иг,, „(,) =, е о Г(о — МГ( — о — И+ — )Г( — и+в+ — ) 2,г 2 «не Г ( — 1+„+ —,«) Г ( — 2 — р+ —,' ) [путь интегрироваяия выбирается так, чтобы полюсы функции Г(и — Х) ! ч окаоались отделенными от полюсон функции Г [ — и — «а+ — г« 2,г' и Г ( — и+«о 1- —, «[. См также 7.142. МО 118 1 9.224 И' «(х)=вн+'е а ~ (1+1)аее *«е(1= н. -+н о =х-не ) тане 'й [Кос > О). УВ11 160 1. Игю н(х) Иг ы „'х)= = — х ~ 1Ьо" — [Хан (х вЬ Г) взп ')о — Ь) и-)-))гв„(х вЬ Г) сов(Р— Х) и) е)Г о [ «1«е ««( — Ве Х ( —; х ) ««) МО 119 которая при 2««, стремящемся к целому числу, также служит решением уравнения 9.220 1.
Для фу«пеняй е«аь „(х) и Игь „(х' с=О является точкой ветвления, а х =- со — существенно особон точкой Поэтому ны будем рассмегрнеать вти функции только при )агбх) е., я. 6«у«пении И'«н(х) и И' ц „( — х) являются ликерно невавнсимыми решениями уравнения 9.220 1 з.з выгождвннзя гипвггвомвтгичвскзя егвнцня 1075 е+т г 1 (ечз) "ехр ! — — (з~+з,1~ ! 2 ((Г», е 1З~) И Ы Е (Зз) = О! Ц 1 — -+н — е — — ~-х-е х ~е'! — " — "(з,+!) з (з +П и хд( —,— я+р, —,— 2.+(з;1 — к — Х;9)Ю, В= Г! 1 г(::,+з,+!) (,2 и ,) ' (гп+С) (з~+С] (з, Ф О, з ~ 0, ! егя з, ! < л, ( агй з ! < и, Ве (н+ Х) < 1] МО 119 См также 3.334, 3.3816, 3.382 3., 3.383 4., 8., 3.384 3., 3.471'2.
9.226 Представления в виде ряда ] . РВП 141 „', г 44! (р-(-1) (р+2) ... (в+4) ~ ' Асимптотвчесние представления 9.227 Для болыаих значений (з( -! -('-В'1!"-(-Р)-! -('-'+Ф)']! (4'Ы з(з) — е зь 1+ ~Ч~~ Изз ь=! ((агйз(<л — а <л]. УВП147 9.228 Для болыпих аначевий нндевса )2,! 1 2 2 ( ! 1 1 !)у (з) — — Г (2)ь+ 1) Х ! з! соз ( 2] г).з — рл — — л ) . .» 4 9.229 МО 118 1 Ьь — — ~~ — *)'е 4411еьзш(2]'йз — )(и — - 1. 4/ 1 — Ые ! 41~ (формулы 9.228 и 9.229 применимы при ! )! ! > 1, ! Х ! Ъ ! з ), ! 2 ] Ъ ! )агд )'з ! < '1я я ! аг8 2! < —, ] .
МО 118 МО 118 р), гФО. МО 118 Функциональные соотношения 1 $ — — е -г гг ез (з"+гз'е-*) 1 М ! (з) а+в+3,е (2р+ !) ( -1-2) ... (2р+л) ]я=О, 1, 2, ...; 2(зчь — 1, 2, 3, ...], ! 1 2. з з Мь,!,(з)=( — з) з М 1,1,( — з) ]2ру — 1, — 2, МО 117 — ° ]. УВ И 140 62* 1О75 3 — З СПИПИЛ $ЪИЫВ ФУНКПИИ 9.232 1, И'з, ы(х)=й'ь, — р~г). 2. И вЂ” з,р~ — г)== — 1 М вЂ” ь,ы( — г)+ 1 М ь, -р( — г) г ( — гр> г (зр) Г~ — р+Л) Г(2+р+Л) [(езд( — х)(< — я ( . УВВ152 [(Р+ — ',з)'+Ыр(г~-г.—:.' З р(г)1 (Р+ г+Л3= [()з+ х )Из.р+ю(г)+з ~ Имр+ф(х)~ ()з+ — Л) М0117 ы 5. ~ 2+Л+(з ) ~2+Л+)з )гй"ь,ы(х) г(х+2)з.+1) — И"з+иыЪ~(з)+ + [ з х + [ )з — Л вЂ” г ~ гт2(з~+ 2)з+ — „( Иь~-Ив+1(з).
М0117 Связь с другими функпиями 1. з)Уе, (з) = 2~~Г (р+ 1) У х 7 ( — ) . 2. И,,„(.)=~ — 'К„(,*). МО 125 и МО 125 9.233 1 Мз, ()= йы+ ~1 е' й'-з,р(з *)+ Г( р- Л~-Я + + ехР [зя (Л вЂ” (з — —,)1 Иь, р(г) — — хи<агре< —; 2)зФ вЂ” 1, — 2, ...) . М0117 3 1з . 2 Мь, (х) = з е й'-з, ы(з "х)+ + "(2"+'), ° Р [ — (Л вЂ” Р— —,,')) и,, „(г) Г(р+Л+ ~) — — < щ < — н 2)зев — 1, — 2, ...~ . МО117 ы 3 9.234 Рекуррентные формулы: 1. Й~р ь(х1=Угйз, 1(г)+( — +Л вЂ” )з) И'ы и з(х). УВ11159 9 з 2. й'р, ь(з)=У зй', з(г'+ ( ~ — Л вЂ” (з) ззы-з ь(г) УВ11159 ы — у з+ 3. г — йз, р(г) (Л вЂ” — г) й'ь, р х) — [)зз — (Л вЂ” — ) 1 И'~ кр(г).
УВ11159 о х вылов!дкннля гипкггкомвтекчксяья !отнкпия 1077 2х Х1 2 1. Ф(х)=1 — =Ус' ! !(х!)==Ф! —,, —,; — хо) . уЫ УВН144, МО126 2 П! (х) = — )У ! ( — )п х). уе !л— УВП145 3. Г(а, х)=е *Ч'(1 — а, 1 — а; х). ВТФ 1 266 (21) ВТФ1266(22) а 4 у(а, х) =- — Ф(а, а+ 1; — х). !5 237 1 Й'ь е (х)— 1)2ае 2 х Х г( — — р — Л) Г( — +р — Л) Х ) ~~ ь1 (2 лр ' х [ор(й+1)+ор(2(о+ й+ 1) — оР()х+й — Лт 2) — )пх]+ о=о х!'-! Г (2р — Ь) Г (й 1! Л+ ) ( ) +(-х) '" Х „' (-х)'~ о=о ~аг8х(< —; 2)!+1 — натуральное число~ . Зя, МО 116 9.238 1 Г„(х) = Г( 1) х"е '"Ф (2 +т, 1+ 2т; 2!т).
Г (о+1) ВТФ 1 265 (9) 2 2, 1о(х)= Г х е Ф( — +т, 1+2ок 2х). 3. К„(х) = Р я е " (2 т)" !т ( — + т, 1 + 2т; 2х) ВТФ 1 265 (16) ВТФ 1 265 (13) «) Пря р=-О ясследояя сумма увела лулю. 2 Пусть Л вЂ” )о — — =1, где о+ 1 — натуральное число. Тогда 1 2 ! й' ! (х)=.( — 1)х хе х (2)о+1)(2)!+2)...(2(о+ 1)Ф( — Е, 2)о+1; х)= ! 1 = ( — 1)! ! !Ге 1 геха (х). МО 116 1078 8 — з. спкцклльныв эъ нкцкн 9.24 — 9.25 Фуянпвн параболического цилиндра .Р (х) 9.240 Р (з) = 2е з И~1 р ~ [ †) = Р МО(З) и называются функциями параболического иилиидра Интегральные представления 9.241 ! 1 '+г 1.
Р (з)==2 Уя е е ~ хге — заЧ гьчеда [Ке р ) — 1; при х ( 0 ага ха=- рл~[ МО 122 2 Ре(з)=р-(- — ~ е з х — ~"-'дх [ВеР<0] а 1сравни 3 462 1 ) МО 122 1З+1 1 Р (з)= — — 2 е Г $ е г ( — 1) т гйЕ [[аго( — 1)[~я[ О УВН 157 ГГ1 <10~ 2 Рр(з) = 2г $ ее (1+ 1) (1 — 1)з й1 ~ [ агу г [ ( —; [ агу (1 + 1) [ ~ л[ (1 1 Г( — е — — р )Г( — 0 -о ~ 3 [агнз[( — н; р не есть целое положительное число [ 4 "1 1 1„<е-1 Г ( — е — — р ) Г(-0 УВ И 151 УВ 11 161 для всех значений агд з, причем контуры окружают полюсы функция (1 1 Г( — 1), но не окружают полюсы Функции Г ( — 1 — — р)~ УВП 161 ~ 2 2 / О 2 аыРожденнгя ГнпеетеометРнческая Функнин 1079 9.243 1 1. ьвв<2) =.
( — 1<О( — ) (]«Я) Ч ! ев 2 .[ ~ е-" ' '!' (г«]«п) вй+ 1 О + 1 [ег '(в — е-" ' — 1)'] с. (22]«я)!72 — ( е- 1'-112 (22]/я)д«1 ОШ вЂ” 'мс О [я — натуральное число). УВ 11 162 ! 1 в 2 7«в(г)=( — 1)!" 2"'в(2я) гев ~ «"е 2" ! (2гт,с(2 О<а я в натуральное число, р = Е ( †" ), а косинус или синус берутся смотря по тому, будет ли л числом четным или нечетным] УВ11162 9.244 кя г(Р+! < О (~+ ~~+З 2 ./ [Вор> — 1, Ве(гв>0].
М0122 Р-! 1 р †! г ( — р ) 2 (е — !) 1~-3 [Вер< 0; Вевгв>0]. М0122 См. также 3.383 6., 7., ЗЛ84 2., 6„3.966 5., 6. 9 2«6 ! сСЬ '2 — =в!и +« О [х действительно, Ввр < О]. М0122 ( — Р) с1Ь 2ехр ( — —,БЬ22 )— 2 Ба! О 1<«Р(х)ВР1( 1 2. 1«Р(ге' )ЗР(ге ' ) = . [!,атас[< 4, Вер<0] М0122 См также 6.613.
9.246 Асимптотнческие разложения Если ~г[> 1, ~г[> р, то —; 1,«. р<р — Ц р<р — Ц<р — 2)<р — З) [!атйг] < 4 я] М0 121 е.э выгождвнная гипвггвоиитгичкснея огнкцня 1081 Свяэь с другими функциями МО123и в 1.
Ю, (Ю= е' ~/ — ' ~1 — Ф (=)1 и — и 2. Ю,(э)=е ~/ — "(ф — ФЯ )/', г~, 1).255 Дифференциальные уравнения, приводящие к функциям параболического цилиндра: ееи К 1 ее в 1 — +( р+ — — — )и=О, г а) и=))р(е), Ор( — е), )) (Ге), О е >( — те' (вежду этими четырьмя ращениями существуют линейные зависимости, см 9.248). 2 — ~-+ (хе+ е,) и = О, и = ее ~~ ц [+ (1+ Р л!. 2 ВТФ П 118 (12), (13)и, МО 123 ьй и=е Т(1 (е] р! МО 123 3. — + э — +(р+1) и= О, 9.26 Вырожденные гивергеометричеекяе ряды двух переменных еа,е О Цх!<1). ВТФ(225(20) у у) с~ (5)~ (Р') м,а=а ВТФ1225(21) и, ИП 1385 «з, е=е ВТФ1 225 (22) Функции Ф„Ф„Ф удовлетворяют следующим системам дифференциальных уравнений с частнымв проиэводнымн: 9.262 1.
е=Ф,(и, (), у, х, у). дее азе а а х(1 — х) —,+у(1 — х) — +(у — (а+ (1+ 1) х) — — ()у — — а()а =О, у — + х — -(- (у — у) — — х — — ах = О. зу* эе дв ав ВТФ 1 235 (23) 9253 () (е) — 2 е еи ( * ') г 2) 9.254 МО 123 МО 123 1082 8 — ! специАльные Фипнпнв 2 з=Ф>ф, (1', у, х, у) ! а", а* д! т — +у +(у — х) — — ()а=0, дз у —,+х — +(у — у) — — (1'з=!> ) ТФ1235(24) 3 з=Ф,(3, у, х, у) д>! д>а да т д,,+у — „+(у — х! д. -(1 =0 д>з а>з дз у — +х — +у — — з=О. дз а аа ак ВТФ 1235 (25) 9.3 М-ФУПКЦИЯ МЕЙЕРА 9.30 Онредел пие 9.301 б;",," ( ~,"* " '; ) = Г(ь> — ь) П Г(! — А>+ь) ! ( > ! > ! х 6(г хя>,) а Ц г(! — Ь,-)- ) Й г(,— ~) >=>А+ ! >=»+! (Очю~>7, Оьв<р, полюсы Г(Ь,— з) не должны совпадать с полюсамп Г(1 — а„+з) не при каких 7 и й (7=1, ..., т, 9=1, ..., Л)).
1(роме 9.301 приняты еще следукяцие обозначения !~Г (х ~ь,) О>чГ(х) ~(х) ВТФ1207(1) 9.302 Можно указать три различных типа путей интегрирования 7. в правой части 9.301 1) ПУть 7 иДет от — >ю к + со так, что полюсы фУнкЦий Г(1 — аь+д) лежат слева, а полюсы функций Г(Ь,— з справа от 7:, 7=1, 2, ..., в>, у=1, 2, ..., п Условия сходнмости интеграла 9.301 имеют в атом случае вед! р>1 а либо р> д, либо р=у и (и) > 1 ВТФ1207(4) Р+7 < 2(т+и), )агйх) <(т+п — — р — — д) и ВТФ1207(2 ! 2) Е представляет собой петлю, начннаюгцуюся и кончающуюся в + о> н охва>ызающую один раз з отрицательном направления полюсы функций Г(Ь,— з), 7 —. 1, 2,, а>, все полюсы функция Г(1 — а„+г) должны оставаться вие атон петли. Тогда условия сходвмости интеграла 9.301.
дЭ1 и либо р( д, либо р=7 и (х((1. ВТФ1207(3) 3) 7 представляет собой петлю, пачвяающуюся и копчаюшук са в — ос е охватывающук> один раз в ноло>антельном направлении полюсы функций Г(1 — а„-( г), у=1, 2, ..., и, все полюсы функции Г(Ь,— е), 7 =1, 2,, т, должны оставаться вне атой петли Условия сходвмостп интеграла 9.301 1083 еэ е-уоункпня мвйвкл Функция бер (х(л,') — аналитическая по х; опа симметрична по парамет- ВТФ 1 208 ).303 Если нинакая пара Ьп у = 1, 2, ..., и, яе отличается иа целое число, то при условиях либо р < уу, либо р= уу и (х( < 1 П ) (Ьу ЛЛ) П ) (!+Лл — а,) баял( (ег! ч у у ! у ! р уу Ц ГВ-)-лл — ьу) Ц Г(ау — лл) у=уа+1 у я+! херр у(1-(-Ь„-а„..., 1-(-6„— а„; 1+Ьл — Ь, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
