Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 115
Текст из файла (страница 115)
Р( ~+, — в:; —; якого( —. ВТФ1101;11>, Га127ХХ1 и и — 1 1 "в и совиз 22. ) (- —, — — —. — 18 з) = г' г '21 ( 1пзи г ВТФ! 101;115 Га 127 ХХП 22. Р( +, —; —; — 1888)=саввзсгшиг. Га(27ХХ111 2 '2*21 24. Р( —, 1; 2; 48(1 — з)) = — ( ) г(~ —, (г(1 — з'(~ — ( . 25. Р(Г, 1; 1; вгпвз) =ввоз. ,Г1 в — 3. спкциьльвьги Функции Л 1 1 3 '> атома з (сравни 9Л21 $3.). г 1 3 з> агсщз ~2' ' 2 .Г' 28.
р ~ —, —; —; -х ) = — (сравни рЛ21 2623 /1 1 3 зч Агзаз г 1+-» 1 — » 3 з~ мс [» агсма з) ~2'г'2*,г' »з » 1» д 3'( з>а (» агсчв »1 2' 2' х' х / 1 31. г'( —, — —; —; зз) соз лагсзпзг) (сравни 9Л2$20.). > 3' 3' 2' (сравни 9.121 $5.) (сравни 9.12$16.) сравни 9.$2$17.). Представление специальных функций через гине ргеометриче оку>о функцию ем.: для полных зллиптяческях интегралов 8,$13 1., 8.114 $,; для шые> раас» ог цилиндрических функций 6.574 1., 3., 6.576 2, — 5, 6.621 1 — 3.; для яоакпомок Лежандра 8.911, 8.916 (все зтя гипергеометрические ряды обрываютсн, т.
е. зти (яды обращаются в конечные суммы': для фушгций Лежандра 8.840, 8.837, для >саровых функций 8.702, 8.703, 8.75$, 8Л7, 8.852, 8.853; для поливанов Чебышева 8.942 13 для волиномое Вкоби 8.962; для полипомов Гегенбауэра С~(х) 8.932; для интегралов от функций параболического двликдра 7.726 6, 9Л22 Частные значения. 1 Р(а () 1) Г(т(Г(У вЂ” а — Р) Г(Т вЂ” а) Г(з--91 (Ке у > Ве (а+ ()), Ве у > Ке 9 > О). Га 147 (48), Ф $1 793 2. г(а, (1; у; 1)=Р(-а, — (); у — а — р; 1) (Веу > О); Га 148(49) (Ве(у — ()) > О(; Га 148(50) — — [Ве(у — а) > О).
Га 148(51) (г(а, — (1. у — (1, Ц 3 Р(1 1 — -)=— 9.13 Формулы преобразования в аналитическое продолжение для функций, овреде.гяемых гипоргсометричссггвми рядаии 9Л30 Ряд (г(а, 8; 35 х) определяет аналитическую функцию, кото'рая имеет, вообще говоря, в точках з =.-О, 1, со особ ени о от в (в общем случае точки ветвления).
Рааре>ьем 3-плоскость вдоль дейс~цительяой з 1 Гипнггномитвичискии акннцин 1057 оси от точки х = 1 до точки г= со, т. е. потребуем, чтобы цри )х) > 1 имело место неравенство ( агб( — х)~ч н. Тогда ряд Р[а, Д; у; з) в разрегапной плоскости судет давать однозначное аналитическое продолжение, которое (если только у + 1 не является пагуравьным числом, а а — 9 н у — а — () не являются целыми числами) осуществляв!ся с яомо цью яягкепря!геденных формул Эти фориулы дают возможность вычислигь значения Р в заданно» области также и в том случае, когда ! з! ) 1. К ним примыкают еще некоторые датькейшие формулы преобразования, которые в случае наличии соответствующих соогношоний меигду а, р, у могут служить также для аналитического продолжения. МО 12 Формулы преобравования 9.131 1.
Р(а, (); у; х) =(1 — х) «Р(а, у — (); у; — )); Га 218 (91) =(1 — ГзР(Р, у — а; у) — — '[)( х)т-«-ВР(у а у (). у. х) 2. Р(а,б:у;х)- — „-.-) „,— -9)Р(а, 0; а+б — у+1; 1 — х)+ Г (у) Г(у — « — б) -)- (1 — х) у- -6Г[У) Г(«() — У) Г [о) Г [б) Р(у — а, у-(); у — а — р+1; 1 — х). ВТФ194, М013 Га 218 (92) 9.134 1. Р(а )) 2)); )=(1 — з) Р ~ д, т, ()+Т, (х — л) 1. М013, ВТФ1111(4) 2. Р(2а, 2а+1 — у; у; з)=(1+х) Р(а, а+ —; у; (+,),). Га 225 (100) 3 Р~а, а+ —,— (); ()+ —,) хв~ =(1+х) Р~а, (); 2))," — ).
Га 225 (161) 67 таблвлм ввтлгрвлвв 9 132 1. Р(а, (); у; з)=(1 — х) -«Г (у)Г(б -«) Д ! г(9) г[у-ш — Р( а, у — (); а — ()+1; — ) + .1 —.,) 2. Р(а, (); у; х) = Г(у) Г(б — «) « -«г — — — ( — 1) х Р~а, а+1 — у; а+1 — (); — )+ Г[()) Г [у — «) \, х) + Г(у) Г(« — б), а Г ! х Г [«) Г [у — ()) ( — 1) х-еР ~ (), () + 1- у; () + 1 — а; — ) . Га 220(93) 9.133 Р (2а, 29; а+ р+ 2 ) з) = Р ( а, р; а+ р+ х ) 4х (1 — х) ) ~~в~~ —., ~з(1 — х)~< —,~. УВП85 1058 в — г спкпилльнын олимпии 9.135 Р(а, (); а+))+ 2, яп ер)=Р(2а, 2(); а+()+ 2 ', е(п~ 2) В т 1 — Ф/2 1 1 х = генг — действительно; — С х С вЂ” ( .
2 2 2) 9.136 Положим г (о+8+ 2 ) г ( 2 ) Г (о+8+ 2 ) ~ ( 2 ) Г(и+ — ) Г(р+ —,) МО 13 тогда Р (2, 2(); +()+ —.,'; — '~*) = =АР(и, (); —.; г)+В)~гР(а+ —, ()+ —, ~ , 'г) Га 227(106) 2, Р(2а, 2(); а+()+ —,; +, ')= = АР(а, (); —; г ) — В )е гР ( и+ —, р+ —; —; г) . Га 228(Г07) 1 г 1 1 З , (-.)(-.), „, 2 =Р(2а — 1, 2~ — 1; а-(-() — —; 1 1+$ Г' — Р(2а — 1,2() — 1; и+8 — —;, — -) . Га 229 е,110) 1 — Р'г ' 9 137 Рекурреитные формулы Гаусса. 1.
у(у — 1 — (2у — а — () — 1)г]Р(а, 3; у; г)-(- +(у — а)(у — ())гР(и,();у+1;г)+у(у — 1)(г — 1)Р(и,8;у — 1;г)=0. 2. (2а — у — аг+()г\Р(а, (); у; г)+(у — а)Р(а — 1, (); у; г)+ +а(г — 1)Р(а+ 1, (); у; г) = — О. 3. (2() — у — ()г+ аг)Р(и, (); у; г)+(у — Д)Р(и, (1 — 1; у; г)+ + )) (г — 1) Р (а, () + 1 „у; г ) = О. 4. уР(а, () — 1; у; г) — уР(а — 1, 3; у; г)+(а — ()) гР(и, р; у-~-1; г)=0. б.
у(а — ())Р(и, (); у; г)-а(у — 8)Р(и+1, (); у+1; г)+ +р(у — а)Р(а, ()+1; у.+1; г)=0 6. у (у+ 1) Р(и, (); у; г) — у (у+ 1) Р (и, (); у+ 1; г)— — и()гР(а 1-1, 3+1; у-(-2; г)=-0. 7. уР(а, 8; у; г) — (у — а)Р(а, 6+1; 7+1; г)— — а(1 — г)Р(и+1, (1+1; у-(-1; г)=О.
8. уР(и, (); у; г)+(() — у)Р(и+1, (); у+1; г)— — р(1 — г)Р(а+1, ()+1; у+1; г)= О. 1059 3 $ гяпкггвомнтгичвскик Функции 9. у(у — ()з — а) Р(а, 6; у; х) — у(у — а)Р(а — 1, (3; у; г)-3- + а(3г (1 — х) Р (и+ 1, (3+ 1; у + 1; 10 у(у — аг — 6)Р[а, Д; у; г) — у(у — (3)Р(а, $3 — 1; у; з)+ +абз(1 — г) Р(а+1, (3+1; у+1; 11. уР(а, 6; у; х) — уР(а, (3+1; у; з)+игр(а+1, $3+1; 7+1; 12 уР[а, (3; у; г) — уР[и+1, (3; у; г)-ь))зР,'а+1, 6+1; у+1; 13 у(а — (у — (3) з]Р(а, 6; у; г) — ау(1 — з)Р(а+1, (3; у; г)+ +(у — а)(у — (3)гР(а, (3; у+1; 14.
у((3 — (у — а) х)Р[а, (3; у; х) — (37(1 — г)Р(а, 33+ 1; у; з)+ +(у — а)(у — 6)грза, (3; у+1; 15. у(у+ 1)Р[а, (3; у; з) — у(у+1) Р(а, (3+ 1; у+ 1; з)+ +и [У вЂ” [3) зР[и+1, 6+ 1; у Р 2; г)=О. г)=0. г) =О. г) =О. з)=0. з) =О. з)=О. 16 у[у+ 13Р(а, р; у; г',— у(у+1)Р(а-[-1, 33; у+1; г3.+ +6(у — и)гР(и-[-1, 6+ 13 у+2; г3=0 17 уР(а, 33; у; з) — (у — (3)Р(а, р; у + 1; х) — [3Р(а, (3+ 1; 7+ 1; г) = О. 18 уР(и, 33; у; г)-(у — а)Р(а, 6; у+1; х) — аР(а+1, (3; у+1; х)=-0.
МО 13 — 14 9.14 Обобщенный гипергеометрячегкяй рнд Ряд 1. Р (и, и„..., а; (3, (3, ..., р; г) = ~, — — — — ' [о )к[о )ь [о,) гл мг (6,)„[р,)„63')„З~ ь о называетсз обобщенным гпгмргеометрическим рядом (см. также 9.210). МО 14 2 Р (а, (3; у; г) =— Р(а, 6; у; з). МО 15 Инте~ ральвые представления см, 3.2542, 3'.2592,, 3.4783 9.15 Гипергеометричеекое днфбюрепциальвое )равнение 9,151 Гикергеометрический ряд является одним из решений дифференциального уравнеяия лги зв х (1 — з) — „, + (у — (и + (3+ 1) г) — — ари = О, УВ 11 67 яазываемого хипгргзомгтричгским. Решение гипергеометрического дифференциального уравнения 9.152 Гянер~еометрическое дифференциальное уравнение 9.151 обладает двумя линеппо независимыми решениями.
Згп решения могут быть и е о г р а н и ч е п и о а я а л и т п ч е с к и и р о д о л ж а е и ы ва всю г-плоскость, за исключением, быть мол'ет, трех точек: к= О, 1 я ос. Вообще ~оворя, точки г=-О, 1, со янлятотся точками ветвления по крайней 67з [ООО г — г специ«лькык оъ пипки мере одной ив ветвей каждого решения гипергеометрического дифферепциальяого уравнения Отношение ш(г) любых двух линеино независимых решении удовлетворяет дифференциальному уравнепик! 2 и 3/и' ~з 1 — а! 1 — а! «!+«1 — «[ — 1 иг ~м' / аг [г — 1)! + г[« — 1) где а', = (1 — у)', а,' (у — а — В)г, а~ = (а — В)*.
Если а, В, у действительны, то функция ш ~ з отображает верхнюю !)и! г > О) или цик.нзою [юг < О) полуплоскостк па криволинейный треу!ольник, углы при гершкизх лоторого равны ла,, ла, паз Вершины етого треугольника являются обр,шами точек г = О, з =- 1, з= сз. 9.133 Внутри единичного круга )г) <1 линейно независимые решения и, г', и и (з) гвпергеометрического дифференциального уравиевия даются следующими формулами: 1. Если у пе является целым числом, то и,=Р,а, В; у; з), и г'-тР[а — у+1,  — у-1-1; 2 — у, г).
2. Если у=1, то и,=Р(а, В; 1; з), и«=Р(а, В; 1; з')пз»- + ~~ гь «О, (ф(а+Й) — ф(а)+ф(В+И-ф(В) — 2ф')с+1)+2«Р[1)) « (а)« [В)« (см. 9.14 2,). 3. Если у=я+1 (т — число натуральное) и в то жв время в а и В отличны от положительного числа, мепьшто или раввого в., то и Ро,В;т+1;з), и«=Р!а, В; т+1; г))вг+ «(а)«(б)А («[ь) ь (О)) 'у! (« — 1)! ( — я!)«« [1 Г «О« ~ [1 а)А (1 ЙА «! «! (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
