Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 112
Текст из файла (страница 112)
8.826 Тригонометрические ряды: 1. Р„(сов !р) = — . !с в)в (и+ 1) <р+ — — в(п (и+ 3) !р+ 2" ! и! г 1 а+1 и (2а+ 1) 0 1 2а+8 1.3 (а+ 1! !а+2) + 1 2 ха+8) (~ +8) в!и (и+ 5) !р+... ) 10 < !р < и]. 2. Ч„(сов 8!) = 2 ' — [ сов (и+ 1) !р+-(- — сов (и+ 3) !р+ 1 Б (а-(-1) !а+2) + 1 2 (2,, в)(2, +8) сов(и+5)Ф+... 1 (О< !р < и] М079 Другие представления функций Леягандра в виде ряда дают нам ил выражения через гипергеометрическунз функцию, см. 8.820. 1, +2)Ч 8.823 Р,(совО)= — ( ........ !)!р. д У2 ("ов !р — сова! е ° о 8.824 (;)а(х)=а.'и! ~ ... ~ ( *) „, =2" ~,' '„„Ж! н г '! ! Частные случаи и частные значении 8,827 1.
()о(х) = — )п — Аг)Ьх. !+а 2 1 — а 2. а(*) =-, *1.',+*-1. 3. ~в(х)= — (Зх' — 1))п + — — х. 4. ~в(х)= — (5хв — Зх) )и +* — ~~ х'-1- —.. 5. 1,)а(х)= 18(35х! — 30хв+3) )п — +* — 8 хв+ — х. 0а(х)= 18(63х — 70х +15х))п 1 8 х + 8 х 18' ЯЭ 207 ЯЭ 207 ЯЭ 207 ЯЭ 207 ЯЭ 207 ЯЭ 207 1033 в т — в в швжожыж <сэжжичжскиж> эжннции 8.828 1. Р,(1)=1.
8.829 (с,(0)= (1 — свечи) Г( 2 ") Г [ 2) МО 79 МО 79 МО 79 Функциональные соотиовгения 8.831 1. О»(х)= . [совчяР»(х) — Р ( — х)] [ч„-е О, ~ 1, ~ 2, ...] МО 76 ((п(х)=п Рп(Ы1ж~ — И'»т(х) [ж=0, 1, 2, где 2 2 (» — 24) —.1 г (ж~+ внп — МР»- -'(х)=Х ~Р— (х)" »- ( ) А-е в=1 3. И'» г(х)= И'д(х) = — 0 (см. также 8.839). См 1П516(131), МО76 См. также 8.521 4. 8,832 1. (г' — 1) —, Р„(г) (ч+1) [Р ~, (г) — гР,(г)], 2.
(2ч+ 1) вР,(г) = (ч+ 1) Р,„» ~ (г) + чР„, (г). 3. (г' — 1) — 0 (г) = (ч+ 1) Я„и (г) — г9„(г)], 4. (2ч+ 1) гДп(г) (ч+ 1) ф,.~~ (г)+ чДт ~ (г). 8.833 1. Р ( — г) = ежмР„(г) — — в(ж юф» (г) [1ш г ( О]. й 2 2. Р ( — в) = е-"мР„ (г) — — вш чиф,(г) [1зв г > О]. УВ П99и УВ П98 УВ П112н УВ П112 МО 77 МО 77 сп 4. ~~~~ ( — 1) ( — в — +г ) Рв(соыр)= —." Р„(сов~р) [ч ие равно целому числу; 0~ <р < и].
МО 77 ~п 5. ~~~~ ( — 1)" [ — — ) Р„(совр)Р (сов р =- в=е и» (сов 'р) и т (сов т) [» не равно целому числу, — ж ( ~р+ 9 ( и, — и ( ~р — ф ( л]. МО 77 1034  — В спхссссхльссься Фунссцпи МО 77 МО 77 [1шг (О[ [(шг) О]. 3. ()ч ( — г) = — е чж()ч (г) 4. ф ( — г) = — е ах)ч(г) 8.834 1. (), (х ~ 03) = О,(х) ~ — ' Р,(х). МО 77 2. (,с„(г) = —,г Р (2) 1п'~ — й'„с(г) (см.
8.831 3.). 8.835 1. Д,(г) — с',) ч с сг)=ис18чяРч(г) [вшчя Ф О). МО 77 2. О, с(совср)=О~(совср,— яссичяРч(совср) [вспчя~О[. МО77 Оч( — р)= — . 0,( р)+ — "М иР,( р), МО 77 8.836 в+1 1. () (г)= —, — [ (гг — 1)" 1п — ~ — — Р (г) )и — . 2ча)льв [ г — 11 2 " г — 1 ' МО 79 8.837 1. Рч(х) = Р, (сов ср) = г"' ( — ч, ч+ 1; 1; вшв-2 ) (сравни 8.820 6.). МО 76 2. Рч(г)= в ' г — ч — ср — -)-1 — ч-)- — ° — ~ (- с чя Г(ч+1) е' ч ч+1 3 1 2,) с 1'С у 1(ч+1) (, 2 ' 2 ' 2 ' га~)' См, также 8.820. Интегралы от функций Лежандра см.
7Л вЂ” 7.2. 8.838 Неравенства: 1. ) Р Ссовср) — Р„+г(совср)[< 2С [Š— . / 1 МО 78 Я.(- )-([ .( Н<С.~. [О ср~я, ч) 1, С вЂ” число, не вависящее от вначений ч и ~р[ О нулях функций Лежандра 2-го рода см 8.784, 8.785, 8.786 Разложение функций Лежандра по пжроаыьс функцссям см. 8,794, 8.795, 8.796 8.839 Дифференциальное уравнение, приводящее н функции че'в с (х) (см. 8.831 3,): (1 — х') д ", ' — 2х е" +(и+1) пИ'„с= 2 —" . МО 76 я(чч (х) МО 77 МО 79 МО 78 МО 78 1 ч= — —,+Й, 2 8.84 Функсснп конуса 8.840 Если в дифференциальном уравнения 8.700 1., опредессясощем асаровые функции, положить 1035 г 1 — г г шгговыв <совгнчкскне> отнкппи имеют некоторые особенности, еаставляюшнс выделить их в особый класс— функции конуса.
Важнейшая из этих особенностеи следующая: 8.841 Фу ц 4Л*+1' . р <4Л'+1') <4Л'+З'> . р Р г (соо ~р) = 1+ —,, шпг — — + — — +а 2г 2 2'4г Мп' —,+... 2 при и действительном действительны, причем Р 1 (х) во Р, (х). г г МО 95 8.842 Интегральные представления: 1. Р, (сов ~р) = — 1 .' . = — сЬ Ли 2 Г сЬЛи Ни 2 - +<ь к у 2(соси — сог р) о сог Ли Ни р' 2 [сое)р-т-св и) е МО 95 О г™ о сЬ ЛиНи )' 2 [сЬ и — сог е> МО 95 Функциональные соотношения (см.
также 8.73) Р ) е ( -.Р)- —. (О 1 ( . р)+[7 1,(". р)). сЬ Лв г МО 95 8.844 1 Р 1 (соафсоод+е(пфв1пВсов<р)= — -+гА г =Р г (сооф)Р 1 (созВ)+ г г [ — 1)и2'" Р" ~ (соое) Р" г [гого) саг сир +а — -+ г + Х [4Л +1 > (4Л +2 > ... <4Л + [24 — 1> [ г -г ( 0 < В < —, 0 < ф < и, 0 < ф+ В < и ) (сравни 8.794 1.). МО 95 2. Р г ( — соофсов0 — шпфв[пдсов~р)= — -,+гь Р 1 (совф) Р ( — сов В)+ ( — 1>г2'"Р, (сои ф)Р" ~ ( — со В)сов лир 2 — — +ы г — -+и г + .'Е <4Лг+1) <4Лг ЬН > ...
<ахи+<24 0 ) (0<т< 2 <В, 9+В<и ( (сравни 8796). МО95 где Л вЂ” действительный параметр, то получится диффершщнальное уравнение так называемых фуше<ей конуса. Функции конуса являются частным случаем шаровых функции. Однако шаровые функции , (*), () ., (.) г~~ г ~~ Ь» япяпи»льныв Функция 1056 8.85 Фушщии тора (или кольца> 8.850 (Руявзиааи тора называют реп»ения дифференциального уравнения !(!» СЬ Ч а» Х 1 — + — — — ( я' — — -(-- — )и О, !(Ч! »Ь Ч ЛЧ (, 4 »Ь! Ч) являющиеся одними из видов шаровых функций В частности, решениями уравнения 8.850 1. служат функция Р ! (сЬ !)), () ! (вЬ 11).
МО 96 3 2 Для фувш(ий тора существенны следующие формулы, получающиеся как следствия из приведенных раныяе формул для шаровых функции! 8.851 Интегральные представления: 1 Р™ ! (сЬ !)) = ! Г в+!»+в ( 2 г (»Ь Ч)»(вз"'!р Л!р Г (в — »!.+ — ) 22 У и Г (»!+ —,) з-(ю+ 1 1 и» г( + — ) г (- -) 2 2 у (св 9+вв Ч ссз !р) 1 г( +--) з 1 ') ,( 1) !) ~ ) »+в 2 / (сЬ я+вЬ Ч сЬ !) о !а Май Г (в+и+ —,) ! ( — 1)~ — (сЬ!) — вЬ!)ойр) сЬшр!)х.
МО96 г(.+М 8.852 Функциональные соотношения: 2мГ ( в+»!+ — ~) Р/ я ! ХР(ж+ —, я+и+ —,; я+1; е — рч). 1 МО 96 3. О ! (сов ф сов Ю+вш !р в(в 6!Сов Ч!)=Р, (сов ф)() ! (сов О)+ з 2 ( — 1)» 2ыг (аоз !р) О» (соз р) соз иир — -+໠— 1+» ~~1 » —.! ( 0 < ф « — О, 9+0 < я ) (сравни 8 794 2 ). МО 96 О нулях функций конуса см 8.786!. 1037 ь ь Огтогонзлш!! !е полиномы 1! 2. Р 1(сЬ ь)) = (1 — е — зч) е ( з) х — — Г(к+1) хР (т+ —, я+т+ —; 2т+ 1: 1 — е-зч ), $ 2 ' 2 ' МО 96 8.853 Асимптотическое представление Р ! (сЬ т)) при больших значениях л. 3 Г (а! ь( Р,(сй!))=, х - (.+И 2Г* (з+ — ) ! ч [,„! ' ! !4в "г!з..! —; ьз )!.~!-в]. где !.( ц ! 2( 1)( -з) 1+ зь 1(з ц е + з 1.28~ — 1)(а — 2) ь Г ("+ — ) Г (з+Ь+ 2 ) гщ+а+0 г(2+0 д (и„.„+ и„— о ! — о !) е — з !"+ь!ч; «+ь- — а —— з з здесь и,= ~~ —, о, ~~~~ [г — натуральное число), МО97 2 8.9 ОРТОь ОПАЛ!зНЫЕ ПОЛИНОМЫ 8.90 Введение ь 1 Щ(х)Ь существует и, кроме того, что интеграл ь ~ ье(х) ььх а положителен В таком случае существует последовательность мпогочленов Р„(Х), Рь (Х),..., Ра (Х), ..., ОДНОалаЧНО ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ СЛЕДУЮЩИМИ УСЛОВИЯМИ: 8.901 Пусть ш (х) — неотрицательная действительная функния действятель- но!о неромеяно!о х, к отать (а, Ь) — фиксированный кроме вутак на оси Х.
11олоз!км далее, что нри а=О, 1, 2, ... инте!рал 1038 8 — 8 СПВЦКАЛЬНЫВ ФУНКЦИИ 1. Р„(х) есть многочлен степени и, панчем коэффициент пРи х" в этом многочлене положителен 2. Многочлены р (х), рг(х), ... орта гональны и нормированы, т. е. ь (О при и -,ь т, '] р„(х) р (х)8в(х)бх Говорят, что мпогочлены р„(х) образуют систему ортееенальнмх е интервале (а, б) аолинаиое е еееоле т(х). 8.902 Если а„— коэффициент при х" в многочлене р„(х), то л Е- Р . ( ),Ъ(У) Ре( )Р:(У) 8-8 (формула Кристоффеля — Дарбу).
ВТФП 159(10) 2. ~~ (ра(х)]8= ~" (р„(х) р' л., (х) — ра (х) р, (х)]. ВТФ П 159(11) 8-8 8.903 Между любыми тремя последовательными ортогопальнымп полииомами сушествует зависимость р„(х)=(л„х+Ва)р (х) — С ~~„8(х) (и=2, 3, 4, ...]. В этой формуле А„, Вт ф— постоянные, причем МО 102 Чо-8 Еа-8 8.904 Примеры нормированных систем ортогональных полиномов, Сравни 7.221 1., 7.313, 7.343, 7.374 1., 7.391 1., 7Ц114 3. 1089 о.о огтогоиальныв пеликаны 8.91 Полкномы Лежандра 8 910 О яр еде л ение. Иолиномы Лалсаядра Р (х) суть ыпогочтеиы, удовлетворяющие уравнению 8.700 1., в котором р = О, т = и.
т. е. уравнению 1. ,'1 — хо) —,— 2х — +я(и+1)и=О. вол, Ив Это уравнение имеет решение, представляюоцее собой мнагочлен, в том и только в том случае, когда я есть число целое. Таким образом, поли- номы Лежандра представляют собой частный вяд |паровых функций. Полнкомы Леокапдра степени а имоют вид 2. Р (х) — — (х'-1)". 8.911 Развернутая вались поликанов Лежандра: '(В 1. Р (х)лл — ~~ ( ),,х" в-о (тл)! Р в а (в 1! в-х а (а — 1) (а — 2! (а — 3) в-4 ) . а (л!)о Р 2 (2в — 1) 2.4(2в — 1) (2а — 3) = ! ",, !)(! х"Р( — †. — "; — — я; — ) . Х13,А(9001),М069 ов(х) =( ) 2лл~ 2л(2а — 2) (2а+1) (2а+3) о ) .
+ ш хо —... =! — 11в (2"„,,)О Р( — и, и+ —; —; хо) . А(9002), М069 1 л (на+())! г та (2л+3! о 2а [2а — 2) (2 +3) (2в+5) 5! =' — 1)", хР~ — и, и-(- —; —; х' ). А(9002), М069 „( +1)(! г 3 3 2"л! ~. ' 2 ' 2 * ,г' (2л — О)! Г л 4 о„(совФ)= „, ( совяФ+ — —,сов(я — 2)<р-)- 1 3 в(в — !) +~ 2(тл Орм 3)соа(и — )Ф+ 1.3.5 л (а — 1) (а — 2) +о 2 3(2 1)(2 3)(на 5)сов(я — 6)Ф-...) . УВП92 6.
Ра„„(совр)=( — 1)" ( + ) совФ~(в(повФ вЂ” ( —,) в1пх" о!РсовоФ+.(. 7. Р„(х) = ~ . --- ) 1(1 — х)" +( — 1)" (1+х)"]. УВ 11 128 (в — а)! (Х!)12в'г о-о 1040 3 — з. Спвцнвльньзн Фвннцин 8.912 Частные случаи: 1. Рз(х) = 1. 2. Р, <х) = х = сов <р. 3. Р (х) = — (Зхз — 1) = — (3 сов 2х+ 1). < . < 4. Рз(х) = ~ (5хз — Зх) = В (5 сов Ззу+ Зоосаду). ЯЭ 206 ЯЭ 206 ЯЭ 206 ЯЭ 206 5. Р, (х) = — (35хз — 30хз+ 3) = — „(35 сов 4(з+ 20 сов 2<р+ 9). ЯЭ 206 6. Рз,х) = — (63х' — 70х'+ 15х) = — (63 сев 5~р -<- 35 сов З~р -<- 30 сов ~р). ЯЭ 206 8.913 Интегральное представление: 1 з<в < в+ — ~С Р„( ~)= — 1, ж. г у в <со* р — соз с) См. также 3.611 3., 3.661 3., 4. УВ 11 108 Функционалъные соо тноюения 8.914 Рекуррентиые формулы: (я+1)Р„,д(г) — (2в (-1(зР„(г)+вР„,(г) =0 См 490(37), УВ 1198 (г' — 1) ~" =я(гР»,г) — Р» (г)]= т, (Р».„г! — Р,(г)].
УВ11 99 8.915 1. ~ (2й+1)Р»(х)Р»(У)=(и+1) "( ) "'<")»(т) г=з 2. ~ <2п — 4й — 1)Р„ж,(г)= Р;,(г) (теорема сложения) з=о МО 70 МО 72 (суммирование обрывается на первом члене с отрицательным индексом]. 3. ~ (2я-4й — 3)Р„»„,(г)=в<'(в) — яР„(в) См111491(42),УВП128 в-о з з ~аз= ~<ЯЧ, т<н~ . А(9036) (суммирование обрывается на первом члене с отрнцателъным ющексом]. 'Я) 4. ~„'(2в — 4й -(- 1) ]й (2л — 2й+ 1) — 2] Р„(в) з з = г»Р;, (в) — я (и — 1) Р„(в). УВ11 129 1041 а.в О«ТОГО1!«льный полиномы Р,916 Р <сгм ар епаппР д. л епвап) <2« — 1) <! Л 1 1 и 2лпа ~.2 ' МО69 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
