Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 108
Текст из файла (страница 108)
2)„(х Л (х)-Л +,(х). ВТФ1136(40), В340(2, 2 2Е',(г) Е, а(х) — Еагхта). ВТФ П 36(41), В 340(6) 3. Л„а(х)+Л„ь1(ха 2тх-1Л,(х) — 2(яхт-ахш(тк. ВТФП 36(42), В340(1) 4. Е„, (х)-(-Е тх(х) = 2тх — 'Е„(х) — 2(ях) '(1 — соь ткь ВТФ 11 36,43), В 340 (5) 4.
Функция г' ш, х) представляет собой частное решение дифференциального уравнения: х х — х х цилипприпвскив ечпкции и о»выпив, саяааппма с пипи 1003 8.583 Асимптотвческис разложения: [р-х — '') ( р ~ Г а+1+ — ч Г а+1 ч +О(] ~-хр)+ч ~~~ ( 1)а2ха ' 2 ), 2; г ха, ( > Г[1+ — ч)Г(1 — — ч) +»0 [г[ '" ') [)ахйг[(л]. ВТФП37(47), ВЗ44,1) 2. Е,(г) — Л" (г)— 1+» ') ( 1 — ч '] Г (.+ ) г ( + —,, ч (1 — соа ча) Х '']( р-х Г (а-1-1+ ч ) Р (а+1 — ч ) х ~ ~~~ ~ 1)а2ха ч ) г ха->+ 0 ([ г [-пч.ц~ г(1+ — ) г [1 — — ) В344(2), ВТФП37(48) р" +х 'р'+ [ 1 — —,) р 1(ч, г), ГдЕ дпя Зч(г) 1(Ч, г) ="— ,-Е1ПЧП, 1 а для К„чг) /(ч, г) = — — „, [г+ ч+ (х - ч) сое чя]. В 341 (9), ВТФ П 37 (44), ВТФТ137(45), В341(10) 8.59 Поляковы Неймана О„(г) и Шлефлв Юа(л) 8 590 Определеыие полввома в Неймана: 'а) 1 чг а1а — га — 1)! /'х ~ва-а х 1.
0 (г)= — х, а,1 ~ ю~ ( 2/ [а > 1]. ВТФ П ЗЗ (6) В 303(8) ВТФ П 33 (7) В 299 (2), 2. 0„(х)=( — 1) Оа(г) [в>Ц. 3. 0 (г)=- —. 1 4. О„'г)= —, 1 В 299 (3), ВТФ П 33(7) Асимптотическое рааложевие для Хч(г) и Л»1г) сй. 8.451, 8.584 Фувкцаи Актера и Вебера удовлетворяют дифференциальному урааие- вию вида: 8 — 8 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФННКНИИ 5 Ох(г)= — -ц —,, ВТФ П 33,7) Вообще, О„~х) представляет собой мноючлен степени и+ 1 относительно г х.
8.591 Функциональные соотношения. 1. О„'(г)= — 0,(з) ВТФПЗЗ(9), В301(3) 2. 20«(г]=0 д(г)-0„„(з) [п>1]. ВТФПЗЗ(10), ВЗ01(2) 3. (и — 1) О, (г) + (и+ 1) О„(г) — 28 х (пг — 1) 0„(х) = = 2пг '(егп и — ) [п>1]. ВТФ П 33(11), В 301(1) п,г 4, пгО«г(х) — (пх — 1) О„(г) =(и — 1) гО;,(г)+ и [ згпп — ) ВТФ П 33(12), В 303(4) 5. пгО„„(г) — (пх — 1) О„(х) = — (и -(- 1) гО„'(г) + и [ гхн и и ) ВТФПЗЗ(13), ВЗОЗ(5)и 8.592 Проихводшцан функция: « — =Ух($)х '+2 ~~~~~ Х„(3)О„(х) [] $ [ «, [ г []. ВТФ П 32(1), В 298(1) 8.593 Интеграаьное представление: о,, у [ + ' *:*']"+[ — *+"]" „(г)= )у гх«1 е "8Ь.
8 См также 3.547 6., 8.„3.549 1., 2. ВТФ П 32(З), ВЗ05(1) 8.594 Неравенство. ВТФ П 34(18) В 312(2) [п>1], ВТФ П 34(19), В 312(З) [г) (л — «8 — 19 ~ х ')г «11 'А Х =Х «~ а 3. Я „(х)=( — 1)" 'Б„,г). [п>1] ВТФ П 34 (18) В 313(6) ]О„(х)[~2 'п1[8[ 'сй [п>1] ВТФ П 33 (8), В 300 (8) 8.595 Полипом Неймана 0„(х) удовлетворяет дифференциальному уравнешно г — +Зг — +(г +1 — п )у=г(согп — ) -.х-п [ еьвп — ) ахг лв Зх х 1) [.
г.) . ВТФ П 33 (14) В 303 (1) 8.596 Полиномы Шлефли Я„(г), Так наеываяпся фувкцни, онредеяяемые формулами. 1. 88(г)=-О. 2. Ба;х) = — ~ 2хО„(г) — 2 (сое и — ", ) 1 1005 з.е егнкцин катав 8.597 Функциональные соотношения: 1. Я„,(з)+Я„„(з)=40 (з). Другие функциональные соотношения можно получить из 8.591, подставляя вместо 0„(г) его выражение через Я (з) из 8.596 2. 8.6 ФУНКЦИИ МАТЬЕ 8.60 Уравнение Матье —;"+(а — 2)езсов 2з) у= О, уз = д.
М 18(1) 8.61 Периодические функции Матье 8.610 Уравнение Матье 8.60, вообще говоря, не имеет периодических решений. Если и — девстввтеяьное часло, то существует бесконечное множество собственных значения а, которым соответствуют периодическид решения у (з) = у [2н+ з), М 30(2) 8.612 Решения уравнения Матье нормируются так, чтобы ~ уейх=п. о МО 65 8.613 1. 11шсо,(х)==. 1 го 12 2. 1(ш се„(х) = соз пх (п „-ь О], г е 3. 11ш зе„(х) юп пх. е з МО 65 отличные от тождественного нуля.
Если Й отлично от нуля, то не существует никаквх других липейно независимых периоднчащих решеквй. Периодические реюопиа уравнения Матье называются периооичее ими д)уньдиями Матье, или фунхдия.ии Матье первого рода, вли просто фунздияии еМатье. 8.611 Уравнение Матье имеет четыре ряда различных периодических рюпений: 0 1.
сез„(г, д) = ~ А~з~юсоз2гз. МЗО(1) — о 2. сез„+е(з, д)= ~ 4~з~ф~ысоз(2г+1)з, о (О 3. зез ~ е(х, д)= ~З ~ВЯфызш(2г+1)х. Мзо(3) о Ю 4. зез ~зев, д)= ~ Вз~,~ з ~зш(2г+2) з. М 30 (4) г=о 5. Коэффициенты А и В зависят от д; собственные значения а, принадлежащие функциям сеж, се „зе, зе „,ы обозиачаютс» так: а „а, „„ Ью, Ь 1006 з — р спкциальныв оъ нкции 8.62 Рекуррентные соотноп(сяия дня коэффициентов .(!«(!и-(( «э!«(~ .,(! ! з! «3 р «зяь! 1 .р)з +! р рр(т( р 8.621 1. аАор~~ — дА(:"' =О. 3. (а — 4гр) Аз( ~ — д(Аф~з+АЯ зз) = 0 (г > 2]. 8.622 1. (а — 1 — д) А! — дА(р = О.
(3 +!) е«(-(! 2. (а — (2г+ 1)р] АЯ+(0 — д(Акр!0+ Аз~ (О) = ') ]г~ 1]. 8.623 1. (а — 1+д)ВГ +(! — дВГ"+ !=О. 2. (а — (2г+1)р]ВЯ~($ ~ — д(Вз~~м+В1,г! ~) 0 ]г>1], 8.624 М 37(4) 2. (а — 4гз) Вл~~Г ~ д'Вг~<~г ! Въа~ ) 0 ]!'> 2]. М 37(4) 8.625 Из равенств 8.612, 8.613 и 8.621 — 8.624 можно определить коэффициенты Л и В, если только а известно Пусть, яапрямер, требуется определить коэффициеяты Л~з~ ~ лая функции се,„(з, д). Иа рекуррентвых формул получают как следствие соотношение М37(1) М37(1) М37(1) М 37 (3) М 37 (3) 0 0 0 а — д — 2д а — 4 о 0 0 0 0 д а — 16 — д а — 64 1 — ! вытекающей из условий нормирования. 8.63 Функции Матье с чисто рпримым аргументом 8.630 Заменен в уравнении 8.60 з через рз, мы кридер* ь яяффсревциальному уравнеиию 1.
— -(- ( — а + 2д сЬ 2х) у = О. (иу При данном д из уравнения 8.625 1. можно определить собственные чнсла 2. а=ар, а„а„... ((яр~<(ар~<)ар)<. Положив, далее, а=а, из рекурреятвых формул 8.621 можно определить коэффвциеяты Аз„с точностью до коаффициента пропорциональности. ' (зр) Этот (исподний определяетсп из формулы 3 2[А~ь ~] + Х (Аиз',. ~]~ 1 1007 з.е итнкцки мзтъв Решения этого уравнения можно найти, заменив з функциях се (г, д) и зе (г, д) аргумент г через ех.
Получзющнссн такиы образом функции пззываются присоединенными функциями Машъе первого рода н обозвачаютск так: 2. Се (з, д), Се, (г, д), Яеъ, з,г, де, 8е,з,г, д. 8.631 Ю 1. Се (г, д)= ~ АЯезсЬ2гг. — э 2. Се (г, д)=~~~ Аъ"ге" сЫ(2г +1)з. Ов 3. Яе, (г, д) ~ В~гез++е 1зЬ(2г+ 1) г.
з 4, Яе„„г(г, д) = ~ Вге.Д ~ вЬ(2г+ 2) г. е=з М 35(2) М 36 (4) Наряду с кюкдым периодическим решением уравнения 8.60 существует линейно независимое с ним второе, непериодическое решение. 11еперкодпческие решения обоаначаютсн соответствонно череа (ез (г, д), (ез„, (г, д), безо, (г, д), беъ,„з(г, д), Аналогично вторые решония уравнения 8.630 1. обозначаются через Ре (г, д), Рез„, (г, д), гзегз з(г, д), Се (з, д). 8.651 Замена аргумента г в уравнении 8.60 на + ( — ц- г) щшводвт ~,2 к уравнению М 30(1) 8.64 Непериодические решения уравнения Матъе 8.65 Фувзщии Матъе дая отршдателъиого д —, + (а + 2д соз 2г) у = О.
Изт Ото уразиеяие имеет следующие решения: 8.652 1. се (г, — д)=( — 1)зсе „( —,л — г, д) . Г1 2. сег„„(г, — д) =( — 1)" зез„, ( — л — г, д) . 4. зе,„, (г, — д) ( — 1) зез г( — л — г,д) . 5. (ез„(г, -д)=( — 1)аы 1а„,( — л — г, де) . Г1 6. (ег (г, — д)=( — 1)" без„,, ( — л-г, д) . г 1 7 беъ ( -)=( )1 (гл * д). МЗО(2) М 31(3) М 31(4) М 31(5) М 187 (1) (М 187 (3) М 187 (5) г — э слкцилльныв етнкции 8.
8,г, — В=( — 1)"8е,„.,( — — г, Ч) . М 188(7) с.653 Аналогичным образом замена г иа и ь+г в уравнении 8.630 1. мри- 2 водит к уравнению д, -~а+2дсЬг)у=0. лгг Оно имеет решения: 8.66 11рсдставлевие функции Матье в виде радов ио фуиыциям бесселя 8.661 (2. г)- 1. се,„(г, у)=, „, ~ (-1)'А~а~"~Х,(Исозх); М199(1) У' ( — 1)' А),"~1, (25 в1п г). М 199 (2) М 199(3) О, СО се .,(, т) ~ г +0 с18 г ~~ у( — 1) "(2г+ 1) А г,.~. ~ у„., (25 зш г). х (гз+0 г=з М 199 (4) 8.654 1.
Се,„(г, — р) = ( — 1)" Сеь,~ — 1+ г, д) . 2. Сех„„(г, — 9) ( — 1)" гьВе~ „( —,нг+г, р) 3. Бег„,(г, — д)=( — 1) гвСе,„,( — а+г, д) . 4. Яег„, (г, — о) ( — 1)"'гЯе „,г( — г+х, д) . 5. Ре (г, — 7)=( — 1)" Ре „( — н1+г, д) 6. Ре,„,,(х, — т) ( — 1)"'избег„м(2 1+г, т ) 7. Сом, 1, — Д)=( — 1)"' ~Ре,„,, ( — г+г, Ч) 8. Сегх, (х, — 9) ( — 1)""Се „,г( — ~+г, Ч) М 200(1) М 200(11) М 201(21) М 202 (31) М 200;4) М 201 (14) М 201 '24) М 202 (34) 8 8 Функции натая анан т(2 д) ИВ~а„„т> "К Х ~ ( — 1)г(2г+1)В~аг+т~~у „(2йсовв); М 199(5) =О О ,> ~~', ( — 1)'В$~++~т1 ., (2йшнз). М 199(6) 28В[28-~-2т х ~ ( — 1т";2г+2)ВЯ~Р'У „8(2йсовх); М 199 (7) сСя в ~ ( — 1) '(2г + 21 В~+2~' 1м,а (2й шн з).
М 199 (8) 2 —.а 8.662 Сгнга ( —,, д) а-т М 310(6) НедаааЧт (О, д) 2. (на„, (в, д)ии " х 2882а+т (, и ° д) х ~ ( — 1)" Авг":(+т"'1ш (Уг (йе") Лг„т (йе ") + Х„а (йе'а) Лгг (йе '*)). М 311 (1) 3. 8е„„,(з, д)= — —" а '~ ' д) х .,( —,", ) Х ~~ ( — 1)" ВЩНКе(У„(йе )Лг„а(йе™) — Х„а(йе'*)Лг,(йе'*)). М311 3) =а ае,„..(в,д)- — ., — — Х пенде,„„(0, д) 2 аа„ра ( ~ . д) та х ~ ( — 1)г'г(е(Уа(йета) Лг, (йе ") — 1„.8(йети)Л'г(йе та)) М 311 г6) гме Рачлотвепня функций Вен и Сеа по функциям Лг, оботяачзтотся соотвст„твенно чеРез РеУ„и беУа, в Ревлон ениЯ зтпа фУпииии чо фУнкцчям Кт — соответственно через арейа и СеЫ . Вд 'гаванны интегралов О.О Оупнпии мвтьв ~2"+2( 2 'О) — Ог) 1Ь 2 ФЭ Х ~ ( — 1) (2«+2)Вф+2"Ф„,г(2йсЬ2) [[сЬх[> Ц; М196(12) «О /и Оег +2 6)' О) ОО2«+2 ) 2 в) х АО (Л12«+2))з 2 \Ф Х ~Ч~~ ( — 1)'Вг«) г [У«(йе ')Ь;,2(йе*) — У„,г(йе ') У„(йе*)].
М 301(ЭГ 1. гей (г б) = ~" „„') — Х ( — 1У-4гг«'КО«( — 2)й ОЬх). «=О йг=д [[ОЬг[>1. Вег>0], М197(6) 2. гей „(г, д)= 'О" ' ~~ с(Ы2 'Я ( — 1)'(2«+1) 12„++1 ~КО«* ( — 2)йвЬв), ивл) 2«.)- 1 ) й'=у [[вЬг[> 1, Вег>0]. М198(Э), lи 3. Сейг„„(г, у),2 +, ОЫг ~ч~~ (2«+1)ВО«).1')Ке 1( — 2)йсйх) ,ОВ12 +1) М 198 (11')) 4 Сей~ 2(г )7) = ) ОЬ г Я~ (2«+ 2)Вг +2 )КО 2( 2)й сЬ в) *И'О (2 ' 2) 12~+2) «О М 198 ',14), 8.671 1.
у =Аев' ~ сг„е™+ Ве-)" ~ ~с,„е ' '. Г Ф « -в М73(б) Ковффмциенты с определяются из однородной системы линейных алга браических уравнений 2. с„+$„(сг„„+ег„г)=0, «= .. „— 2, — 1, О, 1, -', ..., М82(1) где О ( — )))В— 8.67 Обшил творим Общее решение уравнения 8.60 может быть найдено (если )р не есть. целое число) в виде 1012 з — а спацилльныв ютнкции Условие совместности втой системы дает уравнение, которому должно удовлетворять р,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
