Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 106
Текст из файла (страница 106)
снянилльнын Фенкции й+( — — 2гог) и' — ( — + — ) и=о, и=еесг2»(з). ЯЭ238 /$ Г»а ае е'\ е .) (, У г,) и'+~ — +2сг8з~и' — 1 —,— -и- ) и=О, и=согесз2„(з). ЯЗ238 /1 /»а са а'~ 2. 8.494 1. и"-~- — и' — (1+» —, ) и=О, и=2,(аг)=Сд/~(г)+С Х„(г). ЯЭ237 а а /а аа(,4 l »с 3/ 1„ .й+(: — й~й — )си=О, и=з-"в 2»( — ~. ЯЭ238 з»+а а'** гж' а,/ 2е » ( " +~ и — 4 =О =з'К.(')/ ).
а а а и * — "=О, и=)/г2 à — гЗ~, )/зŠà — зз') . В 111(10) а д й~ зи 0' и а/з2~(З г ) ' )/г2 ( аг~) в а й — (са+ — ~ + ) ) и*=о, и=)/з2,(асг). В 108 (1) »+- а 'с ЯЭ 238 В 111(8) В 111 (10) 1 +а с'и=о, и=а Е,((сз). ъ+1 а В109(3), В109(4) В109(3), В109(6) 10.
й — саг໠— си=о, и=)/з2 ( 1 е з») 1 ~ » а» 1. й+ — и'+ (1 — —,, ) и О, и Е»(г )/а). 2. й+( — Т2ю~и' — ~ — 4- — )и О, и=ееи2 (з). а -а 3. й+-и'+ее»аи=о, и=Я ()/ьге ). 4. и'+- (ее + — а) и О, и )/зУ ()/езе ~ ). 8.496 ЯЭ 238 ЯЭ 238 ЯЭ 238 ЯЭ 238 В 122 (8) 1. еаа(з —,) — г'и=о, и= — (2а(2 а/г)+2,(2(а/г)). В122(7) аа а 7 е а 2.
ее~ (з' ~ ~—,'",) — г' =О, и= "(Х,Цг')+т, ЯЫ'~3.. а в а.а-ал цилиндеичвскнв эвикции и охнкпик, свяванныв с ниии 987 3. —,~газ —, ) — г'и=О, и=г з(Еы(2г )+Яда(2!г )), В122(9) Е» 2Е» 2 +1лз» 2»+1Е; з — 1 1) О Ез' з Езз зз ез» зз Из + (, зз и Аз!» (г) + Аз!]]» г! + А»7» (г) + Аз»» (г) где Аы Аз Аз Аз постоянные МО 29 4 ехр(!гсовзр) = $~ — Я (2Й+1) !»7, (г)Ра(сов~р)! а-з а+ -' за/а (г! е'"е; МО 27 а -в =1+2 ~~~„Юа(г)сов)лр. а !зыззз Ф 1ье 4 5 )à — 'е з 'гз' ) е «зз(Е 2 уз(г)+ ,'~~а Уа(г)сов)ззр.
МО 28 а-з з МО 27 Рнды Еза(г) 8.512 зз 1. Уз(г]+2 ~~Р]уза(г]=1. ОЭ З*.Н»Ы-..Я 1 2 зз (аа+1) !2а — 1)!]у з=з ~~г В 45 8.51 — 8.52 Ряды бесселевых функций 8.511 Ироваводязцая функпкя для бесселевых функций: з» »3 1. ех!з — (г- — ) г=.)з(г]+ ,'~~ [1 +! — 1) [Уа(г) ~~~, 7»(г)с а. 1 а=- [(в( < (1) [. Ку И9(12) 3 Ю »" 2. ехр(1- —,)г=~ Х Еаза(гф~ Х ! у (г ~ ВФО а -» \И 3.
ехр( ~ згв!яре=уз(г)+2 '~',Уза(г)сов2)ззр ~ а-з А-2з ~~~~Уз» (х]в!в(2)з+1)у. Ку120!13) В О. спнпийльнйгс Фтнннни 8.513 В46(1) Х (2й+1)ВР+!Угй+й(г)= Х ()~~м+~~~ггй.! [р 0 1 2 3 ) В46(2) с , "М)- "(",) — 1 В формулах 8.513 Я'!= ~~~~~ гйй! Р! О В чвстностн: В 47 (4) В 47 (4) В 47 (4) 8.514 й!В !1 192 л'В 11 192 В 32 (9) В 638 8.515 А (9140) МО 127 и Ф Р 1. "~~~ (2й)!ФУРО(г)= ~ ага~ г (р=1, 2, 3, ...). й=! Р Я (2й+ 1)О Уйй.! (В) = — (г -!- г').
1 й О Ю Х(2й)'У,. () =-,' " Ф ~~~~~ 2й (2й+1', (2й+2) У,„, (г) = — гй, С, ( 1)ОУ а О У,;г)+2 ~ ( — 1)" Уйй(г)=совг. й=! ~( — 1)й (2й)ОУ,„(г~ й ! ~ (- 1)й (2й+ 1)а У,„„(г) =' — '"., ' . О=О УО(г)+.2 ~ Уйа(г)сов2й9=сов(гв(п6). й-! ХУ . (В)в( (2й+1)8=" г а О й ~~~„УОО й(х) — ~ УО(б) Й (х двйствительно). а-О О Х' "'"( — "-'-)' ')=(М"' О=О ~~ У, (х') = о (х). а ! г ВЗ2(10) Ку120(14), В32 Ку 120 (15), В 32 990 в — в. спициьльныв мтниции 8.521 Примеры. ~,'ь!ь!= ф!.! -;.г 2 Ф-! [2лл < х < 2 (п+ 1) л[.
МО 59 2. ~~~) ( — 1)ьм Уе (йх) = — [О < х < л|. Ку 124(12) а=! О> ~«) (2« — !)! УвЦ2й — 1)х) в — 2 [ — и < в' < и(! КУ 124 а ! =- — +)г х:лх В— — — лагссов — [к<х<ли) л" в х л В 2 МО 59 4. ,'«~е в*ух(й)/ха+У')= А ! ~( ( — + т1- -+ "-' Ц~ (2Ил+ в)!+я'+В! «г (2)г(л — х)в+я!+В! ) ' = —,— 2+~', (21) Ввьг~ 'Р„, ( — ) [0<г< 2л), МО59 ~! Р яды ~. аьХв(йх) еюйх и 2! п«Ев(йх) сов йх 8.522 !. 2 /г (! ) .ь - — ',:,-2 а ! -хн- г 2. ~)~,/в (йх) ьйп йхт = —, ~Д вЂ” — 'Я вЂ” )1+ г ~! ! ! ! + 1 у'[(2л)+ в*)* — * 2л! 1 ~2 [ р'(лл! г- ).,'. 2л! )'- А +! , И+!' МО 59 вие, у которого действительная часть положительна В формуле 8.521 4.
первое равенство имеет место, когда х и у действительны, а ((е х ~ О, последпее же равенство имеет место, когда х, у и х действительны. е.! — вл цилиндоичнснип ао нкции и еъ иннин, связлнныа с ними 991 Х ( 1) ~в(йх)совйх'= 2+ Х ! 1 + у»! — [[2! — !) и+!»)! + ,'~~ 1 1 у' ' — [(21 — !) и.-!и[[! 2 Я ( — 1)"У (йх)в[пйх[= — (У вЂ” — У вЂ” ~-[- » 1 1=! 1-1 1 + У„ 2 1=та+! .) 1 1 — Х 1»+1 У [[2! — Ц и — ыР— *! МО 60 МО 60 3.
~ ( ц")у»(йх) ай*[= - — '(С+[и —,)+ А-1 1=1 ! 1 1=+1 — — — МО 60 1 1 1»+1 у" [[2! — !) и — ыр — ' В формулал 8.523 х) О, О<! < 1,, [21п — 1) п < х(1 — !) < (21п-[-1)п, (2п — 1) и < х,1+ !) < (2п+ 1) и, и и и — натуральные числа. 8.524 С » 1. ~ч 11 Х» (йх) сов й!в[ — — + 1 1 1 ю+1 » т 2.
'Я Х» (йх) ып йх! = ~~~~~ А=! о О 1 +х~ 1=! ! — Х у [2[п — 1»р —. ' 1»+1 » 2[п) +2п Х ! ' 1 1 МО 60 3., Я Л[ (йх) совйх[= — ( С+'[н — ~+ — Д 1 \ Еп.) 2п ), ! » — Х 1 [ у'[2п[+~ р — " 2 !) л2 ), у'(2п! ! )1 ! 2!а Г ' ! !»+! !»+1 МО60 В 4ормулах 8522 х > О, О<[< 1, 2пп! < х(1 — !) < 2(о!+1) и, 2пп < х[1+[) < 2(п+1) и, !и+1 н и+1 — натуральные числа. 8.523 992 е — ».
спицихлъиыи Фъ'нкции х П\ 3. ~~~~ ![! ()»х) соа I 1 = — — ~ С+ )и — ) ~~~~~ + х=! ,с х х» »=! »=! !»+ ч[',,-1)"У,(2 .~ 1= — — '+ ч', ', . МО61 х ! 2, р» [(2! Ол »х[» ! «»+! 2.,Е ( — 1Ф у,())х) тц))ах У + — Х вЂ” + Р» 82! — 1) л — »«1» «» й ! — — х!— ! ! ! 11 + с, ) ( )»Г[(2! ОЛ [ »х[» Х» 2!Л) »! 1 — Х ! в+! МО 61 3. ~~~~ ( —,1) Жх()сс)созйхс= — — [ С+[и — „»!+ —, й л [~ л ! ! — Х 1 1 [I [(2! — 1) Л »х[* — х»»' 1 )Г[(21 — 1) Л+.К«[» — -х* 1 1 1 ~Г[(2! — !) -! [» * 2!х Х ! «+! МО 61 В фоРНУлак 8.525 х > О, 1 > 1, (2т — 1) л < х (1 — 1) < 12т+ 1) л, (2л — 1) л < < х(1+1) <,2л+1) л, т и л — натуральцые числа.
»» 1. У~ Кх() )соейхс= —,' (С+[и — )+ " + 2 у'1+! »»- ! с [ ! л ч» ( 1 2 ~ 1 у" '+(2!л — ! )» 2!л) 2 ~! ),)~х»ч 62[л+»х)» 2!л.Г. ! ! ! ' М061 й формуаак 8 52»! т > О, 1 > 1, 2тл < х[1 — 1 < 2(т+ 1) л, 2лх < х(! -[-1) < < 2»л-»-1 л, а»-,-1 и л+1 — натуральпые числа. 8.525 е « — з ь пялнпденчвскнв ечппции и етнкцнн, сзязхняык с пнин 993 2 У> ( — 1)" Ке(йх)совйхе= — (С+)и — *,)+ ь=! О + — ~( ~ $. )г х'+((22 — Пя — тр г-1 + —, г«1 2 ~ Фее 82~ — 1) +*Р [к > О, г пействительно], (см.
таил«е 8.66). МО 62 8.53 Разложение по проиаведспням цилиндрических фуинций «Теоремы сложенияэ 8«е п1„, >О,д>О.>>0 е-~>Тг — 2'ц г,*. у г е й представляют собой стороны треугольника, у которого угол мен ду сторонами г и р равен гр. Пусть далее 9<» н «р — угол, протнволс,кащий 'стороне 9, так что 1. О < «р < —, ее«е = При выполнении этих условий и«юш место «теореме сеазкчналз для цилиндрических функций: Э 2. е«"еЯ„(в«Л) = 2' У«(и«9) Я < «(тг) е'"е « ->: [т — прояавольное иомпленсное чнгво). В 394(6) При Яч = Х„и целочисленном ч ограниченно о < г оказывается излишним.
МО 31 8.531 Частные случаи: В 391 (1) Уе(огЛ)=-. ге(тй) ге(в«г)+2 Х г«(тч>г г«'е«г1сов)вР «-« у)«е«з) (тЛ) =у (тй) д«з'зг(н«г)+2 ~,У«(тй) Нег'м(в«г)соей«р. М031 А 1 3, Уе (х вш а) = е „' Я + 2 ,'~~ Уд ( 2 ~ соа 2йа; ь-« — у«( 2й+ — ~ Х,(з)Р,„'сова). М031 / 21«Г 1 Ч (2а — 1)О 2 г' гьй( зз+- з 8.532 «Теоремой сложенияэ называют также формулу г,(тя) У «(те) 2 Ь (тг) 1. „=2"т-"Г(ч) '~~ (ч+й) >+ „"г „С«~(сов~у). )ччь — 1, — 2, — 3, ...; условии для г, о, гг, гр, т те же, что и в формуле 8.530; при Я„=е'„, и ч целом формула 8.532 1 справедлива при любых г, р в ~р В 398(4) 63 т«сеиды еегеграе«в з — 9. спики»льпыв Фтпкпии 8.533 Частные случаи: 1. О = ™ Я (2)9+1>О' »(то)»7»~>> (тг) Рй(соз»р).
2$> >О й-9 й+- й-»вЂ” 2 2 О й 9 8.534 Вырожденная теорема сложения (г — Осе): е""99"'9= х~ — я' 2»(2й+1)Х»(л>»))Р (соз»р); т а+- а=о г О Г («) ~~ ( «+ й) 2» (тй) «О««+а (п>0) С» (сог >р) а 9 [ъ ФО, — 1, — 2...,], 8.535 9'а европой умноженияа паеывиот формулу О» Я„(Лг)=Л«~ — „Я«»а(г) [ — 21 [[1 — Л[а <Ц, а=о При Я« = О*, ояа справедлива для любых значений Л и г. МО 31 МО 31 В 401 (1) В 401 (2) МО 32 8.536 \» 1. Х ( +2»)»2«+а — О», ( )» г,;га И га+й (г)= » ) (ОВ)й п[, 2,) а=о й 3. > (з)+2 ~ Уа(з)=1. а=> 8537 Х Я вЂ” а г)О»(г)=Я«(з+г) [[г[< [2[).
В частности: [и > О). В 47 (1) В 47(2 В 41(3) В 158 (2) Х Уй (г) Х„й (з) = Х„(22). й В 41 8.538 О\ 1, х> ( 1) Х «+А(Е)У»(г)=О «(з+г) [[ [<!2[). В 159 2. Х Я +„(г)У„(г)=Я,(г — ) [[г[< [2[). В 159 (5) 8.54 Корни цилиндрических фувкпий 8.541 При любом действительном «фуп»»цпя Х«(г) ииоет бесчисленное мпожество действительных корней; при т > — 1 все ее корни действительны. В526, В530 Цилиндрическая функция Я,(г) ие имеет кратяых корпей, аа иснлючевием, быть ма>кот, начала координат. И 528 з.з — з.з цилиппзичвскик атикции и етикпки, сзязаакыв с вики 995 8.542 Все корни фуикции Лге(х), девстзительвая часть которых поло>квтельна, действительны. В 531 8.543 Если — (2з+ 2) < ч < — (2г+ 1), где з — натуральное число вли нуль, то У,(з) имеет ровно 4з+ 2 козгплексвых корвей, из которых два чисто мнимых; если — (2з+ 1) < ч < — 2г, где з — натуральное число, то функция У»(з) имеет ровно 4з комплексиых корней, среди которых иет ни одного чисто мпимого.
В 532 8.544 Если при ч > 0 х, и х„' суть соответственно наименьшие положительные корка функций У»(з) и У5(з), то хч > ч, х,', > ч. Пусть, кроме того, у, — каименьшия положительный корень функции >>г„(г); тогда г» < у» < х! ° В534, В 536 Пусгь з„,„(т = 1, 2, 3,...) — кореи функции з-ч.г'»(з), упорядочеввые з соответствии с абсолютной зеличипой вх действительных частеи; при этом предполагается, по ч ~ — 1, — 2, — 3,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
