Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 101
Текст из файла (страница 101)
НИ 37 (9) 8.216 гдв НИ 39 (15) 8.217 Фупкциональныв соотиопгения: = 2е — "' 1п х'- — в1 1п ! с)Е А Г !гав! я ~ !2+*2 о . ]х' = х вал Кех]. НИ 24(10), НИ 27(10) 3, Е1 ( — х) — Е1 ( — — х! = — ] — асс!9 .. !гг ,. Г 1'~ а Г сов! 1+!! (Кв х ) О]. Н И 25 (14) 1. Е1(х)=С+1п( — х)+ ~ — * [х(0]. А 1'" 2. Е1 (х) = С+ )и х+ ~~~~ — (х ) О]. «в в ! хвс Е((х) — Е1( — х)=2х У +,, ]х>0], в=о Ев(нх) — Ев( — лх) =еве ( — + — + —" ) ,г1 ! а„' ввхх вз з ) х'=ха(апКе(х), гс = 0(йв), а п велико. г х' 22а ! 1.
е Е1(-х') — е-*' Е1 (х') =- — 2 ] —, с)! = !в+ х о — — 1пе!1! — 2е- 1пх' (с'=хв ап Кех]. 4 г 'сов! — х а ~ !в+хе 2 е 'Е1( — х')+ е "'Е1(х') = — 2 1 в, с!хе= б НИ 24 И 1), НИ 27 (9) 8 — 8 СПКЦИАЛЬНЫК ФУНКЦИИ 8.22 Интегральный гиперболический синус 8Ых и интегральный гиперболический косинус сЫ х 8.221 1, 8Ых= ! АЫ1й= — 1 < и +ьь(<х)~ (см. 8.230 1.). ~ 2 ВТФ П 146 (17) ВТФ П 146 (18) 2. сь!х С+)пх+ 1 с 1И. Г еас — 1 8.23 Интегральный синус и интегральный косяиусз ез(х) и е!(х) 1. ь1 (х) = — ) 181 = — — + Ф.
Г ипс и Г 8<ос 11 х х Г сох 1 Г сохс — 1 2 с1 (х) = — '~ — 1<1 = С+ !п х+ з! — сЮ. с с х о НИ 11(3) НИ 11 (2) 1. 8! (ху) = — ~, Ф. НИ 18 (7) 2. с! (ху) = — ~ к 10. 3. 8!(х)= — Г! е — ""'"'сое(ха!п<)Ж. 8 НИ 18 (6) НИ 13 (26) л < — 1)8'хы ' 1. 81(х) = — — + ~; Ь <за — 0<ге — 0! А-! НИ7(4) 4. Е1( — ах) Е!( — ()х) — !п(а(!) Е1( — (а+(!) х] = См. также 3.723 1, и 5, 3.742 2. и 4., 3.824 4., 4.573 2„ Связь с вырожденной гкпергеометрнческой функцией см.
9.237. Ипзегралы от интегральной показательной функции см. 5.21, 5.22, 5,23, 6.22, 6.23. 8.218 Некоторые числовые значения: 1. Е1( — 1)= — 0,219 383 934 395 520 273 665 ... НИ 89 2. Е1(1) =1,895 117 816 355 936 755 478 ... НИ 89 2. с1(х)=С вЂ” 1п(х)+ ~ ( — 1) в=! НИ7(3) 8.233 1. с1(х) Ь 1а (х) Е! (Ь !х). 2. с1(х) — ш( ) ~ п1. 3.
а((х)+я( — х) — и. 8.234 НИ 6п НИ 7 (5) НИ7(7) 1. Е1( — х) — с1 (х) ~ е ем е е1п(хюпвр) !5р. НИ 13 (27) 2 [Вех >О] (см. также 4.366). НИ 32(11) См. также 3.341, 3.351 1. и 2., 3.354 1 и 2.. 3.721 2. и 3., 3.722 1„ 3., 5. н 7., 3.723 8.
и 11., 4.338 1., 4.366 1.. 8.235 Ип!(хве1(х))=0, йш(хоо((х))=0 [9<1], т "! в в + ъ 2. 11ш а1 (х) — и, ))ш с! (х) = ь п(. Интегралы от интегрального синуса и интегрального косинуса см. 6.24-6.26, 6.781, 6.782, 6.783 Неопределенные интегралы от антегрального синуса н янтюрального косинуса см. 5.3. 8.24 Интегральный логарифм 11(х) 8.240 1.
Б(х)= ~ — „-=Е1(1пх) [х< 1]. !!в ЯЭ 97 1 — в Ь !+ ~ !в! 1 =Е!(1пх) [х) Ц. ЯЭ97 !+в 3. а [акр( — леха!)) =Е1( — хех!в) =Е1(х 7- !0)=Е1(.г) !- 1пвв = 1!(е*) !- !и [х ) О]. ЙЭ97, НИ 2(6) Интегральные представления 8.241 !вв 1. 11(х)= ~ — 'й=х1п)п — — ~ е '1пс!11 [х) 1]. Ла281(33) -!в ех инткгРАльнАН ноклвлтильнАН ФУнкцин н Родстпнн кп ФУнкнни 943 о — о спецнальпые Фунпцни Ла 280 (22) Ла 280 (29) Ла 230 (30) 8.250 Определении: Ф(х) ~ е — скс(С г )сй 2. 8(х) = = ~ а1п Со с(С. 2 )с Ъ~, 3. С(х)== 1 соегой.
у2п ~~ Интегральные представлення 3.251 г ма с 2. 8(х)== о1 =сй. 3. С(х)=- — ~ = осе. 1 Г ооос (см. тапже 3.361 1,). к 1. Ф(ху) =- —" ~ е — " 'М. 2т о 2. Я(ху)= ~ 'с ип(С'у~)ссг. о к 3. С(ху) = — —" сс соа(еоут) й. Улл оО 2. 11(х) =х ~ 1 1п к 1 Ссп е-+!и С1Г ' ь с ес 3. И(а)=.~ — ~ ~Ф (х)0). Интегралы от ннтегрального логарифма см. 6.21 8.25 Интеграл вгроятностп н интегралы Френеля: Ф(х), Я(х) и С(х) в о интвевлльная показйтальная етнкция и еодстввн аи етнкции 945 ~вва 4.
Ф (ху) = 1 — — е авве ) рта( .е ) [Кеу'>О]. 1 — — е-"в"' о( — я ) *+* о НИ 19 (11) и НИ 19 (13) и 5. Ф( —," )-Ф( — ") = — ' ~ е-"лепт((у)с(( о [Кех' > О]. НИ 28 (3) и в« 6 Ф(Х ) 1 — — хо 'ав ~ е-тала — 'во(2 [Кето>0]. НИ27(1)и (2т) У'я См. также 3.322, 3.362 2., 3.363, ЗА68, 3.897, 6.511 4. и 5. 8.253 Представление в виде ряда: 1 Ф х — — 1"'а (х)-У-я Х( — ') н(2й 0(й 13 а! 2 е 2алеа т уя ~ (24+1)(1 ь.о НИ 7 (9) и НИ 10 (11) и 2 ~ ( 1]алев+Я увя 1 (2й+19(4й+1! ' О 2 т, — = вьчхд~ й, — соохв'~ НИ8(15)и ( 1)а 2«в+1«аа а 1 (4й -)-4) Я 2 ( — 1)а лейта 3. С(х) = Я вЂ” й-,—,-,т — 1) ', ==тешх )$ ол Рааложевие по ( — 1)а 2ва тлаа а ( Иа 2«алм '2 =„„— ).
воюет> фуякциям Бесселя см. 8.515 2., 8,515 3. с Асимптотические представления 8.254 Ф(]' ) =1 — 1 * Х й о х=[х]е'е и ~Р(яв, НИ 37 (10) и ЕО табл«ам ллтетоалев ( 1) «+о (л( ( — 1)а Г (й+ — ) 1 'т а+ ' л о НИ10(13) и НИ 8(13) и в — э спмпиьльнык Функции МО 127 и МО 127 и [х — «оо]. [х — з со]. еас*сус [Иел >О).
НИ 28 (6) и 4. [сов к'Я (и) — в(п ивС (и)] НИ28(5)и х ехр( — «'свар) за — усев в 5. [С(х) — 2 ] + [Я(х) — 2 ] ~ 2 с(ср о См. также 6.322, НИ 33 (18) и Свявь с вырожденной гнпергеометрнческой функцией см. 9.236. Свяаь с функцией параболического цилиндра см. 9.254. 3. 1$ш о (х) 1 « -сс 2 4. 11ш С (х) = — . 1 «г Иятегралы от интеграла вероятностей см 6.28 — 6.31. Интегралы от сниус-интеграла и косикус-интеграла Френеля см.
6.32. 8.255 8(х) = — =совх .+О( — ] Г1~ 2 У2я е / с 1 ° 2. С (х) = — + = вш хе+ О ( —, ) У'2сс « 8.256 Функциональные соотношения: Г « ", 2 х. С(х)+ сЯ(х) = йс — Ф( —.— ) = г 2. С(в) — сЯ(в) ==Э(х)с' с) == ~ е-*ссс(Е. г'2с У 2я 3. [сов к«С (и) + в!и кс8 (и)] = 2 = — [сов ка+ вш и'] — ']/ — ~ е в"' в(п ев ссе с = — [сйвис — вские] — 1/ — 1е*"'вовс«с(е [Век>0]. о 8.257 й+ (* ~Л( ) — 'Я) =0 [й ~ ц. 2.
11ш (хе ~С(х)- — ]) = 0 ]9(1]. НИ 38(11) НИ 38(11) НИ 38 (12) и 8.8 зилзРовы вкчкгРАлы ыггг и заа РОДА к РОдстввкпыв им ФУнкции 947' 8.26 Фупкцпя Лобачевского А(х) 8.260 О и р е д е л е и и е: Ь(х) = — ~ 1псоетй. Ло П1 184 (10) е Интегральное представлевие $увкции г (х) см. также 3.531 8., 3.532 2., 3.533, 4.224 8.261 Представление в ваде ряда: Ь(х) х1п2- — ~~~~~ ( — 1)» ' — )д —. ЛоП1185(П) » 1 8.262 Функциональвые соотношения: 1. Ь( — х)= — Ь(х) ( — — ~х~ — ) .
2 21' 2. В(л — х) = п1а 2-2,(х). 3. 2. (и+ х) = и 1п 2+ Ь (х). 4. В(х) — о (2 — х) (х 4) 1п2 — — В( — — 2х) ) 0 ~х< — ~. ЛоП1186(14) Ло ГП 185 (13) Ло И(286 Ло ГП 286 8.3 ЗЙЛЕРОВЫ ИЯТЕГРАЛЫ 1-го И 2-го 1'ОДА И РОДСТВЕННЫЕ ИМ ФУНКЦИИ Ва31 Гамма-фувкция (ейлеров ивтеграл 2-го рода): Г(я) 8310 Определение: 1. Г(з)= ~ е гр 28(2 (Вез)0).
' Обобщение: (Вйлер). Ф П 777 (6) 2. Г(з)= —.— ~( — 1)*28'61 прп 2, ве равном целому числу, Ковтур С указан па чертеже. УВ П 18 Г(2) является дробной аналитической фуккцвейзс простым в пол в сами ь точках г аа — 1 (1= 0, 1, 2, .'..), Которым соответствуюг вычеты —,- —; Г(2) удовлетворяет соотпошеяявг Г(1)=1. УВП18, МО1 1 — 12  — О. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ Интегральные представления «Н-> 8.311 Г(г)= — „~ е гу 'й.
М02 8.3 ! 1. Г(х)= ~ [ 1п —,) й [Вез>0]. ФН 778 2. Г(г) =х' ~ в"'Р 'й [Вег> О, Вех >О]. о 3. Г(г) = — ~ с-в" (1+ го) усов [2аг+ (2г — 1) агстдт]й Ф Н 779 (8) [а>0]. УВН19 4. Г(г) = . ~ о-вг' т(1-]- Р)1[Зв1п [1+ гагсстд( — г)]-]- о -(- вгп [т + (г — 2) агссгу( — т)]] й [агссву означает тупой угол]. УВ Н37 7. Г(г)= (~ + ) ~ с- 'сов(Ьт)г'-г й; ь. сов ~ввгстя — ) о [а > О, НГ 152 (1) и 6>0, Вег > 0].
в " в1п (Ьт) т*-г й 1 (у'в +о )* НГ 152 (2) от вш ( в вгсгг а ) 1 8. Г(г) — сов(61)г'тй; см-, 2 = — ] в1п (61) ~ т й вш —, $ 2 НГ 152 (4) [Ь > О, О < Ве г < 1]. НГ 152 (5) 9. Г(г)= ) в '(т — г)Р г1птй; [Ве г > 0]. 10. Г(х) = ( евр(гг — в') й НГ173(7) НГ 145 (14) 5. Г(у)=хвс — 'вв ~ тв ' охр( — хтв гв) й [ х, у, р действительны, х> О, у> О, ~]1~ < — 1 . М08 6. Г(г)= —.
~ со" (8)" гй [Ь > О, 0< Вег < 1]. НГ154(3) о г энлввовы инткгталы 1- и г- ь водо и водствкннык им етннции 949 11. Г(х) сагах=Л" ) (" 'е-"'а»»сог(Л гата а) Ж; о 12. Г (х) гигах = Л" ~ (" ье — г!о»ь" о(п(Л(з(па) И( ) Г[Л>О,х>0, — --<а< — ~. УВП36 » !" ~ [е ! — ь ( — 1)"— 13 Г( — г) = ~ 1 "=,'„„~ е(( [п=Е(Вез)). М02 о т-(.! 8313 Г( — ') =си "' ~ ехр( — иг")(*!г( о [Вен >О, Вео >О, Вег> — 1).
ЯЭ110и, М07и 8.314 Г(г)= ~ е ьд'Ж+~~~~ М02 ь-о 8.315 1. — =- —,' ~'( — 1) *е ьй Г (г) кк с прн г, не равном целому числу, Контур указан на чертеже к формуле 8.310 2. УВ И 18 е»ььь-! е еь! 1 =0 при Ь< 0 '[ е > О, Вег > О, — — ". < агу(а+О) < — "г ) . НГ 155(8) М07 » г »» 3 — — а — ' соз(а(89 — гО)соа™ОььО [Нег > 1]. НГ 157(14) ! (г) См. 'также 3.324 2., 3.326, 3.328, 3.381 4., 3.382 2., 3.389 2,, 3.433, 3.4!34, 3.478 1, 3.55! )., 2.,:( 827 1„ 4.267 7., 4.272, 4.353 1., 4.369 (., 0.214, 6.223, 6.246, 6.1'1. 8.32 Представление гамма-функций е виде рядов и произведений 8.321 Представление в виде ряда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
