Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 99
Текст из файла (страница 99)
си и 9. Ла 369 (4) ии ( *) Разложения 1 — 22 годви во всей волосе ~ )ш — ( —, я )ш з; раз- 2К) 2 ложеввя 26 — 25 годви в любой иовечаоа части и. Вл еллиитические интеГРАлы и Функции 1 3 1+441 з 1+44!41+ 164! з 2. сам=1 — — из+ — и!в 2! 4! 6! из+ Вз аз<41-<-Вз) з Вз<16+44аз+й!) 4.
аыи=и — — из+ язв 57 5! 7! и'+ ! «-— яи 1' Вин зи .".) 1 — *", ВШ(2Г1 — 1) 2К ' 2. сии= — ~ 1, -, сов(2я — 1) — ". зи-! яи 1 д" . «я» 4. Вши= ~К-+3 2) — „1) зи вцт К ° «=! = .,",к ~1+4 Х ( — 1)", е ш -" — "" 1 ° и 1 я [ яи у „уеи . Вяи ( 24 к[ 2к Х 1+д к ) = — [ )п — +4 ~ ( — 1)" — в)п — 1. «! ! «-—  — Х (-1)", —, ! (2 — 1) —. Ла 369 (3) Ла 369 (4) в — э спацил41ьпык 4аанкции »=-1 1 п —— ,„, сов(2е-1) —. , 1»-! спи а г аи 10.
— = —, [с16 —, ааи 2К ( 2К Ла 369 (5) »= — 1 Ла 369 (5) »=! ~' ( — 1)" д, сов(2п — 1) — "" »=! Ла 369 (6) а Г 1 Г 2К аи В1П— 2К 12.— дав *а и [ 13. —" ~с16 — 4 5' а=! 4Я» а-4 д!" ! — В1П В»К 4„4 1 да»а-а — 1 д . »аи! — вьп — ~ 1+д" К ) 14 саидаи »а и Ла 369 (7) д" ааи) +( 1!»д»в!и К Г 15 яъидаи спи Ла 369 (7) Ла 369 (7) (224 — 1) —" 16. 4!и и [ 18 — "+4 ~~~~ ( — 1)" д „в1п — ~ . Ла369(8) 1 17 оа !!да и Ла 369 (8) ~ »ш— К' Ла 369 (8) 2К . аи 1 д» 1и 20. )папи=)п — +!па1п —,— 4 ~; — — в1п' —. а 2К 74 и 1+д" 2К » 1 Ла 369 (2) 21.
1псо и = 1п сов —." — 4 ~~ — „» вдпа ~" ! 1 Ла 369 (2) 22. 1п 4(п и = — 8 ~~~ — „а япа (2и — 1) —, аа Ла 369 (2) 1 224» сов и +да! К 23. впи»и=в)п —. Ц 2'~'д . аи у"5 2К П Ж 86 (145) а!4 К аи 4 1+2да» соа — +14" К 24. спи= соз— — К-5 Ж 86 (146) са и а г аы 18.
= — !1 сви —— впи4)пи 2К [ 2К 4»41)д) !1+( 1)»» К ОЭ и=! В.! зллипти !Некии интеГРялы и Функнии 1+2)и» ! соя — +Вв» в К П вЂ” „- и» и= ! 1 — гаев» 'сов — +Евп в и 25. дп и = ф'Й' Ж 86 (147) 1 в . 2 ии + „2ад яш (2»+ 1)— гйв гав МГ ) Н(1 — В ") Ц! — „", ~с! МО 147 пии ив!» сся— в яи к — л 2и' К совес' —, + — и) в 2)я И Кв ~) 1 — Свп и=! 27. — = и' и!в и 42Р МО 148 8 147 1. ВНИ = 2), Х = ген и МО 140 (и — (2» — 1) ~2С'! 2)Г ц» я! 2. ° = 22 в Х МО 150 я!а — (и — (2» — 1) !Н ! Л 2К и! и! 1)п 3.6 = — Х = 22с АЛ Я 12» о!К'! 8.148 Разложении Вейерштрасса для функций впи, спи, дпи) З С Ю ВПи= —, СПИ=- —, диипи —, А' А' А' МО 150 еде и ( 1) и»в!1 п=! '1ав=2йв, ив=8(йв+йв), ав=32(йв+Йв)-)-68йв, а 128 (йв-)-йв)-)- +480(йв ! Йв) ив=512(йв )-й'с) ! 3008(йв ! Йв) «-5400йв, ивп ! !) = ~~ ~, ( — 1)" Й„р ( 1, = 1, Ь, = 1 + й', й, = 1 + йв + ЧР, б = 1 + йв+ 9 (й'+ й'), 51=1+)Р+16(йв+йв)-6)Р, йв=1 )-й-+25(йв )-йв) 404(йв-)-й!), Йв 1+Йы+36(йв ! й!В) 5781(йв ! йв) 12184йв, , вп С= г' ( — 1)попс —, [с =1, сд — — 1, с,=1+2йв, св 1+6йв+8йв, с =1-)-12йв-)-60йв-(-32йв, св = 1 -)- 20йв -! 348й' -)- 448й'-)- 128йв св — — 1 ! 30йв ! 2372йв+4600йв ! 2880йв+ 512й!в в — в.
Сппциальныи Функции ев» 77= ~ч; < — 1)" 8„-„~„ 1пв = 1, в1, = йв, в1в = 2й" + йв, Зв —.— 8йв-)-6/вв+ йв, Ы, = 32йв+ 60йв+ 12йв+ йв. З = 128йв+ 448йв+ 348йв+ 20йв+ й'в дв — — 512йв + 2880й'+ 4600й'+ 2372йв+ ЗОй'в + й'в Ж82 — 83(105, 106, 107) 8 15 Свойства елаиптнчсских функций 11коби и фуикциопакьиые соотпошепия мевкду пнми 8.151 Периоды, нули, полюсы п вычеты эллиптических функций Якоби. СИП1630, Ж69 — 72 См П1 630 Си19, СИ18(13), УВПЗ44, УВПЗ52, УВП352, УВП348 З т й$" и и а и С и и Ф Б Я И и Пииим интеграиов д и И в СЧ и" 59 Га 3 1 ЭЛЛИЦТИПБСКИЕ ИЦТБРРАПЫ И ФУНКЦИИ Я и и + ! 8.153 1. вп ((и, й) Си 16(9) Си 16 (9) 4.
ш!в и+ спи и = 1. 5. дпви+йввави= 1. 8.155 1 — да2« йв яИиса~и (+да 2и дпв и Мо 146 Мо 146 1 — сп ви ва' и да'и 2. 1+си 2и ! п» и в — в. Спи(и«льнып Фъ'икв(ии 2. са((и, й)= ( 3. да ((и, й) = — „-' — )- . оп[и. й') ' 4. пп(и,й)=й»ва(йи, )с!). 5. сп(и, й)=дп(йи, й !). 6. дп(и, й)=са(йи, й !). 1 вп(и»' 1+ й, й(1+«*) В) вч+й» дп(ив'1+й», й(1+й»)»») ! ! 8 вй)и» вЂ” ( (+ ) ' (+ дп(и(1+«в)и», й(1+й»)-и») ' 9. дп(и, !й) = 1 да (и (1+й»)и», й (1+й )еи») Фуикциоиальиме соотношения 1 —.са 2и 1 !в 1+д 2 сп 2и+дп2и 1+да 2« дп 2и+«» си 2и+й'» 1-( да2и 8)156 вп и сп с дп в ~ вп с сп и дп и 1.
вп(и д- о) 1 й»вп»ивп»ц са и са в -). вп и вп ада и да в 2. си (и + о) = 1 — й» вп' и вп» с дп и да и -с й» вп и вп с сп и са в дп(и.(- о) = 1 — «* »и* и вп» в Си 50 (64) Си 50 [65) Си 50 (65) Мо 146 Мо 146 Мо 146 Си 46 (56) Си 46 (57) Си 46 (58) о.! эллиптические интвголлы и Фхпкции 8Л57 о ( /! — г(ав Г~ — сва 1. вп — ч + — о» вЂ” = ~ е» 2 ' Й ог/ (+ели )» 1+г(ви' Си 47 (61), 43г 67(133 8.158 1.
— впи =спи!(пи. а ао 2. — спи= — впийпи 3. — г(п и — эг вп и сп и. е о аи Си 21 (21)э 1. — вп и = )/(1 — впеи) (1 — »ее вп и) . ао 2. — „сп и = — )/(1 — сгР и) (й'о+ (ее спв и) 3. „— г)п и — )/(1 — йР и) (г)пе и — й') . Си 21 [223 Интегралы (веопределевпъге) оз вллиптическвх фуявхшй Якоби см. 5о13.
8.16 Фуикппя Вейерштраеса (р(и). 8.160 Эллипвгичеевал фуякиал Вейе)эгит»эасеафэ(и) определяется равеиствово ! ! + Х ') (о — х е — хгэоэ э* (хгвм +хв )! )( ' - Си 307(6хв п.о где зпак 2, укааывает па то, что суммирование распроотрапяетгя яа все комбввацвв целых звачепий т и и, ва исключеквем комбинации нг=-пы 0 а 2оэ, и 2оэ суть периоды функции 3э(и), Очевидно, 2. 3э(и+2гпоэг+2поэ )=(Р(и) и 1ш(~') ча0, е ( а3() эг ( — 2гв — хемг)о' где суммирование распространяется иа все целые впачепия т и и. Ряды 8.100 1. и 8.160 3. сходятся повсюду, за исключением повюаега, т.
е. точек 2лке,+ 2пыэ (пг и и — целые числа), яв»' 8Л59 Яллиптические фуякцвв Якоби являются решеиивми следуюших диф- форсвпиальпых уравнений: 932 з — з спвцнхльныь о кнкпии 4. Функция (р(и) является пориодической функцией 2-го порядка, имеющеи в параллелограмме периодов один полюс второй кратности Си 306 8 161 Функция 6~(и) удовлетворяет дифференциальному ураюеютию ~ — ~(п)1 =-4(уз(и) — Язй~(и) — Уз, Си142, Си 310, УВП 267 где 2, уз= 60 за (тюз+пю ) е; у,= 140 ~~~~ (жю,-) пюз) ' УВП268, Си310 Числа дз и яз называются инеарпантами функции йа(и).
8162 и= р лзз — Газ — Ла е Г'4(з — еайз — -еа)(з — ез) р (и) (о (и) где е„ез, е, суть корни уравнения 4гз — из — у =О, т е. е,+а,+е,=О, ете,+езез+езе,= — — ', е ее = гз Си142, Си(43, Си144 8.163 У(<е,) =е„1е(ез + же)=ее, (ае(еез) =ее, пРи атом пРодполагаезсл, что если точки е,, е„ез тежат в комплексиой плоскости на одиои прямой, то е, лежит мезеду е, и ез 8.164 Число Л = е — 27и,' называется дисириминантом (ррнхе(пп (р(н) Если Л > О, то все корни е„еь еа уравнения йгз — дзз — л =-. 0 („., и дев действительные числа) д си с т е и т с л ь н ы В атом случае нуз1ерециео чисел е„е„е, производят так, чтобы е, > ез > ез Е(сазе Л > О, то 'з л» ю =з )' ~*+с,з — 4за е(з Оэа = У 4зг — г,й — г~ е где в, — действительное, а ео — чисто мнимое число; при атон значения корня под знаком интеграла выбираются так, чтобы ы, и — были поле» еез жзпельны Си 150(15), Си 150(16).
УВ П 276 и 2 Если Л < О, то корень ез уравпепип 4з' — язз — да=О действителенн, а остатьные два (е, и ез) комплексные сопрл жени ые Пусть е,=а-з-е(), аз=а — ф. В таком случае в качестве основных полупериодов удобно выбрать из н ю Р'йза лз ау .=- т ез — газ — лз 'з Интегрирование в первом интеграле производится по пути, целиком лея ащему е верхней полуплоскости, а во втором — по пути.
цезиьон лежащему з нижиеп полуплоскостн. Сп )о1 (24 Си 151 (2!) е 8.165 Представление в виде ряда: УВП 268 933 З 1 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФРИКЦИИ 8.166 Функциональные соотношения: 1. 22э (и) = 32 ( — и), 32' (и) = — Зк ( — и). 2. 32(и+о) = — З (и) — Зэ(о) + — ] 1 РР'(и) — (2'(е]Ч з 4 ( 22(и] — Э2(Р) 8.167 (р(и; Ею 8.) =)2292 ( рп; — 2, — ', (формула однородности). Си 149 (13) Частный случаи: р =-1. зз (и] ез' йз) 9 (1И' ез' ез)' 8Л69 Связь с эллиптическими функциями Якоби.
1!ри 2З > О (см. 8.164 1.) и св2 (и; Й) 1, зи ) =е,+(е,— е,) ,, ) ззз(и; Й] ' СС2 (и; Й] = е, + (е1 — ез) зп21и, Й) ! = Рз+(ез — ез) 2( зв2(и, Й] ' Си 145 (5), Ж 120 (197 — 199) и 2, а1=, юз —— Си 154 (29) Г' '1 — '2 )/ 21 — 22 где -~ '=и'," ." 1(ри о < О (см. 8.164 2.) и 9 2 21]-сп(2и,Й] ~(' 9 92+5 ) 2 ' ) +~ 1 — со(2и;Й)1 и — ~К' „ЗГ+1К' 5.
ы'=, ю"=, 12ят]2' 1' .* ° 2 Си 145 (7) Сн 147 (.12) Си 153 (28) где 6, Й= 1 32„, 1 Зг 2 у'Заз 1-]]2 ' )1 2 Й Эиз р(] () 2 — О все корни е„е„ез действительны и два из низ (если З'24'2~0) равны 21ежду сооои. Если е1 =- е, чи 22, то ЗЗ„ОЕ... / ЭГ,; 92(и) =- — — —. ссЬ и 121 Зач ' (, Г' Зз,~ Если е1 са ез = ез, то Ззз 9З2 1 2Й2+ 2ю ИЭ— Если е = и = О, то е = е = е =О и 9. 32 (и) = —, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
