Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 100
Текст из файла (страница 100)
1 Ю Си 147 Си 148 Си 149 8.168 Любая эллиптическая функция может оыть выражена через эллипти- ческую функпшо 62(и), имеющую те же периоды. что и данная функция, и ее производную 3 ' (и); выражение это рационально относительно 62 (и) и лнпепно отпосптгльпо 9Е (и). 8 — о. спвцикльнеов Фхняняи С 181 (46) ЗЛ73 Ми ххолди" Си 181 (49) 5 (и) — и 2к 5.7 2о 3 5!.7 2!.5.7 9 П кои! к(и! Кикин 2!.3 5 кки! 2. а(и) =и 2и 3 5 7 2!.3с5 7 к!.3' 5!.7 11 Си 181(50) ЗЛ74 5(и) = '! и+ — с)я — +, и я 1скд ( —," +жл — ' )+ =1 ' + с)8 ( — — «!л — ! У; l яи иод) ~2в! в,Д ' МО 154 МО 155 = — и + — с)8 — + — 7 шв —.
4(в) я яи 2я Кап О>, 2и, 2В! В, ~-) 1 — а!" оз, ! Фуикннональные соотношения я свойства 5 (и) = — 5 ( — и), а (и) = — а ( - и). ЗЛ75 ЗЛ76 1. 2. 3. 4. Сн 181 5(и+2в,) =й(и)+25(в ). ~ (и + 2в,) = ~ (и) + 25 (в,). а(и+ 2в,) = — а (и) ехр(2(и+в,) 5(в,)). о (и + 2в ) = — а (и) ехр (2 (и -)- в ) 5 (оз,) ), ко ~(о7!) — вД (в ) = —" к, Сн 184 (57) Си 184 (57) Си 185 (60) Сн 185 (60) Си 186 (62) 1 (и + о) — й (и) — 5 (о) =— 1 1!' (и) — р' (о) а (и — о) а )и-!-о) (р(и) — (р (о) = — — —— а! (и) а! (о) й(и — о)+5(и+о) — 2~ (и)= р (и) Сн 182 (53) Сн 183 (54) Сн 182 (51) 8Л7 Функция 5(в) я а(ы) 8Л7$ Онределения: ' ~(")=-.'-1(~(~--.')" Си 181 (45) о 2.
а(к!)=вохр~~ (5(к) — — ) <Й~. 8.172 Представление в ниде рядов и бесконечных нроивведеннй! 1 и ° ! 2 ( — — — и:их! а -!~! |,+м.,> ) Си 307 (8) 2. а(и)=иД (1 — " ) ехр ~ + +, Сн 308 (9) Ас ЕЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФХНКШСИ 8Л78 1. ь(и; а„а,) сь (си; са„сае). МО 154 2. и(и; а„а,) = С 'о(Си; Се>„сах). МО 156 Интегралы (неопределенные) от эллиптических функций Вейерв>трасса см. 5.14. 8Л8 — 8Л9 Тата-фумкции 8.180 Тета-фунвиаи определяются как суммы (при ( д ( < 1) следующих рядов: > 1. 6 (и) = ~~~~ ~( — 1)" д'мех"а=1+2 ~' ( — 1)" д'"сое 2ии. с 1>С 6 (и) — г', ( 1)А д( 2) е>хмгс>ч>— ы =2 ~ ( — 1) ' д э>п(2п — 1)и.
(" 2) 1 1>2 3, 6 (и) ~~ д( 2> есх"+сг"1=2 Х д( 2) сов(2л — 1)и. » — О > \ УВ П ЗОО 1ГВ П 300 УВ П 300 4. 6 (и)= ~'„д 'ех 1=1+2 ~ д"'сов 2ви. УВ П ЗОО > -О> » 1 Употрсбительпы также обоапаченин 6(и, д), 6(и)т), где т свявано с д соотношением д =- е 8.181 Ьесконечссь>е проиаведения для тэта-функций: 1. 6 (и) [~ (1 — 2дэ -'соэ2и+де'2" — с>)(1 — дхе). Си200(9).
Ж90(9) >О 2. 61(и) = Ц (1+ 2дв' — ' сов 2и+ дх'2"-1>) (1 — дв"). Си 200 (9), Ж 90(9) 1 3. 6 (и)=2 угдэ(пи П (1 — 2дх"соэ2и+дс")(1 — дх"). >>=1 СИ200(9), Ж90(9) 4. 62(и) = 2 1l д соеи 1) (1+2дэ" сов 2и+д>м)(1 — дх"). Сн200(9), Ж90(9) Функциональные соотношении и свойства 8Л82 Кваэипернодичвость Пусть д=еесс(1шт>0); тогда тэта- функции, являющиеся периодическими функциями от и, оказывах>тся хеазвкериодаческими фунхцилми т и и.
Это ях своиство вытекает из слодующих равенств. 1. 6 (и+ я) = 61 (и). Си 200 (10) 2. 61 (и+ тя) е-21 61(4) -с Си 200 (10)  — в спвциьльпые Фгнкцив 3 4 5 б 7 8 8.184 Четкость и нечетностьв О„( — и) = — О, (и) О,( — >=Ов(и) Ов( — и) = Ов(и) О ( — и) = Ов (и). УВ П 301 УВ П 301 УВ П 301 УВП 301 2. 3. 4. 8Л85 О,'(и)+О;(и)=О',(и)+О;(и). УВ П 306 8Л86 Рассматривал тета-функции как функцин двух независимых переменных и в т, будем иметьв , дЧ>в<и>т) дев <и<т) лю — — — иг 4 — — — 0 двв + дт [>в = 1, 2, 3, 4]. УВ П 308 8Л87 Частные проввводные от тата-функций но и будем отмечать штрихом и будем рассматривать их как фувкцвв одного только аргумента и; тогда О;(О) = О,(О) О,(О) О,(О). УВ П 308 о;" <о> е;б» о;<о> о(<о> УВ П 332 О;<О> = де<О>+Е,<О>+О,<О>.
Ов (и) О, (и) Ов (и ) Ов (и) = — Ов (2и) Ов (О) О в (0) Ов (0). УВ П 332 8Л83 3. 5. 8. О,(и+ л) — О, (и). Ов(и+тл)= — — е в"'О,(и). 1 О, (и + л) = — О, (и). Ов (и+ тл) = — е-""' О, (и). ! т «"в(" + '1) = «"в(и)- ")в (и ->- тл) =- — е — ввв Ов (и). 1 Д О (и+ — л) =-О (и). О,( + —, )=О.( ) 1 О,(и+ —, '~= — О,(и). «)в (и+ — л) = Ов(и). 1 О,( + —,~) = о "-™О,( ). О (и+ — лт) =<о уе "Ов(и).
! О (и->- — лт) =д 'е '"Ов(и). 1 О,(и-)- — лт~ =д 'е-"О,(и). Си 200 (10) Св 200 (10) Сн 200 (10) Си 200 (10) Си 200 (10) Си 200 (10) УВ П 301 УВ П 301 УВ П 301 УВ П 301 УВ П З>1 УВ П 301 УВ П 301 УВ И 301 93! ал эллиптичвскии внтвРРалы и чункцни 8.189 Пули тэта-фуннций: 1. 0 (и) 0 прн и 2вг — +(2Л вЂ” 1) —, 2. Ф (и)=0 при и=2!и — +2и— н тгнт 3.
9 (и)=О при п=(2ги — 1) --+2и.—. 4. 68(и) =0 при и = (2ги — 1) — + (2и — 1)— (лг и и — целые числа). Сн 201 Св 201 Си 201 Си 201 Си 207 (23), Си 209 (35) СО 3. В (в)=68 ( "— ") =1+2 ч", о"'соа — ", "Си207(25), Сн212(45) в=! 4. Н, (и) = д! (~~ ) = 2 ~ ~Уд~'"-!В! соа(2и — 1) —. я ! Си 207 (25), Си 212 (44) В формулах 8.192 И=ехр( — н — ) . хт"! 8.193 Свяаь с еллнптнческпми фувнципми Вейерттрасса: (.Н8( Мд)И'(0))'), (.В,( Ь!-Х)Н'(0)1*)„ + ( Н, (О! Н (а Р' Х) 3 1 В, (0) Н (и у' Ь) .) =88+ à — -- — = — ( Х.
Си235(77), Сн235(78) ! В(0))7(чу Ь) Интегралы от тэта-функций см. 6 16. 8 191 Свнеь с эллиптическими функцпямн Якоби: .к К' Прн г=! —, т. е. Врн й=ехр! — и — ), К ' и,) ' у~— , 0 /аа.! =угй Е!а) Св 206(22). Си 209(35) '~й/ „,О. Ф) т НН. "(л") 3. !(оп = Рг"';ла )'г" в(а! Сп207(24), Си209(35) 0' (.гК 8.192 Представление фупнций Н, Н, Ег, 6! в виде рядов: 1. 0(и)=0 ( — )=1+2 ,'~~ ( — 1)" д"'соа —. Си207(25), Си212(42) ч=! 2.
Н(и) =Ф! ( — ) =2 ,'~~ ( — 1)"+! р'!)<~+~рагп(2и — 1)м™ . я.=! Сп 207(25), Си 212(43) 8 — 8. СПБПИАЛЬНЫБ ФЛНКПИИ Ч!и+у-~ Н (и! Х) <а, и (! ~ГО Сл 234 (73) Си 234 (72) 3. П(и)= ехр(~ — ') Гле )(=а! — ..: П1=~(,)= — — —,. ФА)т (о) 3 «'(О) ' Си 236 8Л94 Свяэь с эллиптическими интегралами: 1. и'(и, Й)=и — л — +— Е- <с) е (и) 0 (0) Ю (и) и 2. В(л, — 488(ваи, Й) = ( ( — а! 8!п! а ап! Ф апа ( В'(а) 1 О(» — а) си а!(па ( 0(а) 2 6(и+а) ) ' Ю' '! !)-ряды и яроияведеиия ) а=акр( — л — ~~ и,( Си 228 (65) Си 232 (69) О ~к~ ~( — Ви !паси ',; 2( 1)а;* Си 230 (67) 1+2 У,д =~/ — ля=0,(0) ! (сравви 8Л95).
УВ П 319 ,"~, д ' - ~ —,, =-,08(О)( УВ 11 319 3. 4Уд Ц( !а.!) =я- Си 206 (17), Си 206 ( 18) Си 206 (19), Си 206 (20) УВ 11 330 УВ 11 330 и 8Л95 — ~1+2 ~~',д"®] =Л= — Ва(М?) (сравни 8Л971.).. Си219 сЛ98 [ж тю 1- )=Т ,.„$ 1 — ~'И ~а - "-х 1+) а 1( 2 ~~ еьм ~ яри 0 < й < 1 имеем 0 < Х < —, ] . УВП 322 Для определении д по данному модулю Й служит ряд 2. 9 Х+2Х'-[-15Х'+1501" +1707Хн.+ .. УВ П 322 8.2 ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУПЬЛ(ИЯ И РОЛСТВЕННЫЕ ЕЙ ФУНКЦИИ 8.21 Интегральная показательная функция Е1(х) 8.2И е ' г и 1.
Е1 (х) = — ~ —, о1 ) —; З1 = 11 (е') [т < 0]. 2. Е((х)= — 1(ш ~ ~ — Ф+ ~ — „Й ~ [х > О]. Х с 8.212 1. Е1( — х) =С+)лх+ ] ', й 8 [х > О]; НИ 11(1) =С+е — ")вх+ ~ е-')нее О [х > О]. НИ 11 (10) 2. Е((х)=е" [ — +~ ~,) ~ 3. Е)( — х) е-" [ — — + ~ ( [х > О] (сразив 8.211 1.). [х > 0] (сравни 8.211 1.). Ла 281 (28) 4. Е(( Ь х)= Ье+'~ [х > О] (сравни 8.211 1.). 5.
Е1(ьху)=ьееет [ — 'Ж [Веу>0, х>0] ~~,+й 6. Е(( ь х) = — а+' ~ сВ [х >О], НИ 23(2), НИ23(3) е НИ 19 (11) е е кнтеггьльнан поклеаткльная эвикция и еодстввн. ин етнкции 939  — о. слиггньльныа Функпии 1 с Се с '~" ~ ~1+1 1'"'+У'1 с со-* Ес( — ху)= — е "о [ 61; с е — 1ос о 1 =а се ""[ ~ 1~,сСС вЂ” ус [ о ес — !вс сс ! Ла 282 (44) и [х> О, у > О). Ла283(46) и Ла 282(45) и [х > О, у > 01. Ла 283 (47)и [х > О).
Ла 283(48) Ла 283 (43) НИ 23 (6) НИ 23 (6) [Не* > О) [х > О] [х >О[ Ряды и асимптотическое представление 8.213 И(х) С+1п( — )пх)+'Я о=с 11(х)=ос+)п)ах+~~~~ ь 1,1 [О < х < 1). НИ 3 (9) [х > 1). НИ 3(10) 10. Е(( — х)= — * 1 — 1~ —, 1 Лс [х > 01.
с 0 [х > О). о [х (01. о 2 ' ооос 13. Е1 ( — х) =- — 1 — агс18 — с(С Я,с о 14. Е1( — *)= — 1 ж с с'-~-е' о 16. Е1 ( — х) = — х ~ е — '" 1п С с(Г [х > 01. НИ 32(12) См. такгкв 3.327, 3.8818., 3.9162, и 3., 4.3261., 4.3262., 4.3312., 4.351 3, 4.4253., 4.581. Интегралы от интегральной покааательной функпии см. 6,22 — 6.23, ОЛ8. в 2 ннтагввльнАН нОКАЗАтлльнАН ФУйнцна и аодстпан нн втннпнн 941 8.214 НИ 39 (13) Ев( х) е — х '~~ ( 1)в:.з Д !а — !)! в=! 8.215 гдв ]В„! < )х !х ! сов —, 2 х = ( х ] ехв, г(!в А„зв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
