Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 105
Текст из файла (страница 105)
978  — В. СПИЦИАЛЬНЬГВ ФУНКЦИИ 8.453 Длн больших значений индекса (аргумент болыне индекса), Пусть х > О и ч > О. Положим — =совр, Тогда длн больших значений ч справедливы разложения: 1. з (чвес5) — тг — ~~ 1 — — ( — стах()+ — схнВ()+ »аьхб 1.1. чз ~228 576 +-,',-",—,'-схб'5)+...1 (ч 188- «5- и)+ +.[ — '( — 'схб()+ — схй'5) —... 1 в1в(чан() — ~ф — — ")~ .
В 271 (4) 2. Н»(чазова) ~г — ~[1 — —, ( — с$8~5+ — схйз()+ / 2 $9 281 Гг Гг 5 В х т /' к ~1 — [ — ( — с285+ —.с$8»~)) —... ) сов «хбр — сф — — )у . 1» (.8 2В,) Л В 271 (5) Вхр [»1(В85 — р) — — '1 3. Н„' (чзес ~$) — — [1 — — ( — стбр + — стб ()) -, ~Гф 85 — „~, (,9 Вб'8+„т„зб»8+ —,, 5 Вб'())+...~. Р [ — ' (В8 Р— Р)+ф В ] 4 Н» («азор) (1+ — (8 С18Ь'+2ВСВИ 'г) 2 — В (г28СВЯ К+575СС8 У+зазцста'Р)+" ).. В271(2) 1 Формулы 8.453 ненримевимы, когда ~х — ч~ сравнимо с вх.
При любых малых (а также и не малых) значениях )и — ч( можно пользоваться следующнмн формулами: 8.454 Пусть х>0 н»>О. Положим з/Э':*:1; г»В тогда 1. Н'„" (и) = — ехр [ [» + ( — 2 — Вб ш) ~ ф~Р~ ( 8 гв ) + О ( ~. ~ ) ° 2„Н„"'(х) = =А ([-Ф- (.-Т--"")1'Ф"',ю(-'")+'(А). МО 34 зп — з.» цилиндгичнскиа Функпии и Функции, сяяапнныя с ними 979 при атом меньше 8.455 Для г действптельных и ч натуральных (ч = и) при а > 1 имеют место следующие приближения: ',см. также 8.4331; В 276 <1) МО 34 /2(х — и) ~у с<2(х — »В 1 у ~(2(х — п)] [х > и[ В 276(3) Оценка погрешности в формулах 8.455 до сих пор не получена.
8.456,7'„<г, (- )<<„* (г) »<г~ -»-+-1) 2 [!агяг[ч. я[,'см. также 8.479 1.), В 250 (5) 8,457 Уз (х) -(- У'+з (х) и — [х > [ ч [ [. В 223 8.46 Цилиндрические функции, индекс которых равен целому числу плюс одна вторая Функция lч(г) 8. 461 [ — ",) 1, х' ~(г = [/ — ча(о[г — —,и) г 1- Г 2 Г . я ' — ( 1)»(п+2»)( +- пз 2 Л ~2»я<п — гЮ< <2»<м »[ — ) ( — 9» (»+2»+ 1)( +с-( --2") / п~ ~2»+1)((п — 2» — 1)( 2»)з» зз [и-(-1 — натуральное число[ (сравни 8А51 1.).
Ку59(6), В66(2) 62* ! Лбсолютвая величина погрешности О ( — ) (, (ч(,) 24 У' 2 ~ — ~ . 1. 1 <х)- "— зг, К~ ( — ---. — ~ [и>х[ 2 < х) <(2 (» — ))21 1 ьч - [. З)г ) з 3 2 (и - *) ~ Н ( з (2 <и - х))г~ з (см. также 8.441 3., [и > х); г<2< — ))з~~ 8.441 4.). В 276 (2»  — В.
СЛВННЛЛБНЫЛ Ч1УННЦНН й( — ) и» тт ( — 1)й (л+23)! 2. Х 1(3) = зтт — (сов ( г+ — л) -» — - »» ( ~ 2 ~) ~ 123)((». 2В1(2»!»» 3 »=в "(Ю + Я „т т» ( — 1)й( +23+!)! — и (+— (2»+1) ! !»- 2» — !)! (2»>н. ) (л+1 — натуральное число] (сравнн 8.451 1.). Ку59(7), В67(5) 8.462 1-»+й-101 („йд ! ! 0-» й-1(л ! 3)! 1.
/ 1(г) = — 1е У, +е '*У. »+3 У 2»зв ! " ' 3! (» — 3)! (2»)й»» й! (» — 3)! (2»)й ) (л+ 1 — натуральное число]. Ку 59(6), В 66(1) 2 1 ') ! "2 ~ ~ ~ »1: — — "=»*~ — — (/~ ( И! — ц!(2 !» гг В!л — 3>!!а !») й 0 »=в (л+ 1 — натуральное число]. Ку 59(7), В 67 (4) Ку 58 (4) Ку 58(5) Фуннцня )(! 1,») »+- ' 3 ЯЭ 227 8.463 е 1. / 1(в)=(-1)"в „ +- 'г В /ВН»ЗЧ я (» в»!» '» в »+1 /2 Е» /совал 2.
/ 1(г=г ззтт- — „~ — ) -» — — » !»Ег)» (, в ) 3 8.464 Частные случая» / 2 1. /1(в)»» ~ — взн в. »» 2. / 1(в = ~~ — сова. -/2 /2 /»1»в 3. /3(з)= 1/ — -~ — — сова) . 3 /2 / . сов»Ч 4. / з в) )/ —,~ — вн! 5. Хв(в', ]/ — (~ — — 1/) в!нг — — сов 3) .
]/ яв(~ ° .l в б. / »(3)= 3/ — ] — вн»в+( — „— 1) совт) . »» в ФА65 1. ту 1 (г) = ( — 1) '1 / 1(г). ~у 3 -2. )т' 1(в) = (-1)" Х ! (3). "3 3 Д (809.01) Д (809. 21) Д,809.03) Д (809.23) Д (809. 05) Д (809. 25) ел — х.г пилиндвичкскик эвикции и естнкцин, свяахнныв с ними 981 Функции Нс ' с (з), 7 с(х!, К с(х) 8.466 е — с ~Я'" г-.о г-1 — — — с р го! 4.). 2 „с, (я+ гс — 1)! г-о % г ! г '„( — '!" +')!+( 1)»",-*,", !"+')' 1 )'2яг ! И(е — а)! (2г)а ° Й (е — а)!(2г)гг й А е (сравни 8.451 5/ь Ку 60 в 1. Н! ! с(х)= х н'",()= х 8е167 / , (з) г(г+ — ) (я+г)! 8.468 К с (х) = 1// — е * ~' сс+ г 1 гг г! (и — а)! (2г)а 8.469 Частные случаи: / 2 1 йс (з) = — г/ — сох з.
(сравни 8А51 6.). Ку 60 2. с)! г(з)= 4/ — х)пз. /2 сп К, (х)= 2/ — "е *. 1 2г / 2 е'* Нес (х) = 1/ —— и В 95 (13) МО 27 5.. Н)~!(х)= ~~ — ' 2 МО 27 Ф')1( )= )Я"". х МО 27 Нс !с(з) = (!/ я, е г МО 27 8.47 — 8.48 Функциональные соотношения 8.471 Рекурревтпые формулы: хат-с (г) + х2ть» (з) = 2тЕт (г). Ку 56 (13), В 56 (1), В 79 (1), В 88 (3) 2 Х.-с(з) — Е,+с(г)= 2 — Яг(з). Ку56(12), В56(2), В79(2), В88(4) С окпп и Нильсен при построении теории цилиндрических функций определяли ети последние как авалнтичсские функции г, удовлетворяющие рекурревтвым соотношениям 8.471. 8,472 Следствия ва реяуррентвых формул: 1.
г — 2„(х)+ей„(г)=г2„с(з). Ку56(11), В56(3), В79(3), В88(5)' 982 х — е, спвюзхльнык Рннкции 2. з — Х, (г) — и2,(з) = — з2,» (з). Ку 56 (10), В 56 (4), В 79 (4). В 88 (6) 3 ~л ) (з2 (з)) з У., Ку 56(8), В 57(5), В 89(9) 4 (,—,~ ) (х 2и(з)) ( — 1)'"~ ' 2и+эп(з). >> 89 (10), Ку 55(5), В 57 (6) 5. Я „(з).
( — 1)" 2 (з) [л — натуральное число) (сравни 8А04). 8.473 Частные случаи: l,( )=Ы,( ) — у,( ). 2. У (з)=-Н (х)-Л' ( ). 3. Н7 "(з)- — 'Н","(х) — Н$'"(з). 4. „— хе(з)= — У (з). 5 1 Не(з)~ Лх(х) 6. „— Нс ' '(г) — Н[ ' '(з). независимых функций. Вронскианы этих пар соответственно равны 2 . 2 зс ! — е!в ил, лз лз' лз' х Ку52(10), Ку52(11), Ку52(12), В90(1), В90(4) 8.475 Фувклня У (х), Л>,(з), Н> ' '(з), У,(з), К,(х), ха исключением У„(з) врн л целом, неоднозначны: з=О служит для них точкой ветвления. Ветви этих функций, лежащие по разные стороны от разреза ( — ох, О), связаны соотно>ноннами (обхода)1 8.476 1.
уи(е~»*~з)=етижу (,) В 90(1) 2. Я~и(е х) е- ' Л>,(з)+ 21 ив жил с(3 илХ,(х). В 90(3) 3. Л> .„(з'""» з) е "'"'"Л' „(з)+ 21 а)в >лил соево ил у, (з). В 90(4) 4. 1,(е™з) е'">хе 1„(з). В 95(17) 5. К„(ееил з) = е — ллл Ки (т) — >л, „Уи(з) [и не Равно целомУ чнслУ). В 95 (18) 6. Я~(Е л' З) Е ™>ЛН> >(Х) — 2Е иж Уи<Х)= х>О ил х>а 0 — ю) ил л>> нл жил,.а> Ь"„(з) — е- Н, (з).
х>а ил " в>а ил В 95 (5) 8.474 Каждая вз пар функций Уи(з) и У „(з) (и ча 0 З- 1, 4. 2, ...); у,„(х) н Фи(х); Нс (з) и Н~ (х), служащих рел>евиями уравнения 8.401, а так>ко пара функций У» (з) и Ки (з) представляют собой лары линейно е.е — е.з вилкнпвичкскив Фъ нггпии и Фъ нкпии, сзязанныв с ними 983 Нч'(е 'з)=е — Н~'(3)+2е" "" "Х (г)= 81в чя н|а (1+т) тя кг1,, мв ттл,кн ., еш чл 31л чл В 90 (6) (ж — целое число], МО 26 8. Нтн(е Ы = — Н'~4(з) = — е-' Нс,ы (з).
9. Н™ (е-ш г) = — П~~' ( г) = — еж" Н'о (з). 10. Н~~'(~) = Нхы (г). МО 26 8.477 2 1 Хе(з Л~т+ю(г) — Х ~1(г)Н Гг)= — —. 2 2. 1 (г) 11~+1 Вф+ (и+1(з) 11т (г) =- . Си. также 3.864. Связь с шаровыми фуякциями см. 8.722 Связь с полккомамв Сь,<г) см 8.936 4. Связь с вырожденной гвпергеометрической функцией см 9.235. В 91 (12) В 95 (20) 2. ] Х„(лз)] < 1 ~~ — *Р - —.:.— — ~ (1, л — ватуральное число]. МО 35 Соотиошевия между цилиндрическими фуикциями 1-го, 2-го к 3-го рода 8.481 Х„(г) =, " = Н (г) — ю)е „(г) = Н вЂ” е 09 — ~те 03 мя "л (1 > НР(.)+ИГ,(,) А (Нн (, +НР(,)) (с ранки 8.403 1., 8.405).
Хт (е) осе тл — Х (е) Фп ее»(г) =, „= (Хт(г1 — (Нр (з) = В 89;1), ЯЭ 228 Н1е (г) (Хю (г) 2 (М (з) А (г)) (сравни 8.403 1., 8.405). В 89(3), ЯЭ 228 8 478 При ч > 0 и х ) 0 произведевие х(Х,'(х +Хе" (х)], 1 рассматриваемое каи фулкция х, монотаиво убывает, если т) —., и монотонно возрастает, если 0 ( ч С вЂ” . 1 МО 35 8Л79 ., ) 2 (Х,*(х)+Нй(х)]> —, ~*> > — ~ г Я,, 1 Г 11 (см.
также 6,518, 6.664 4., 8.456). МО 35 в — в. Спнцигльнын Фтнкцин 8А83 1 Н(1) 1 ч(*) — ' 1»(х) Н свш»я су-»(х) сеч(х) Уч(х) + И7,(г) В 89(5 а 09 ч 'Х» (хс все чсс (сравни 8.405). В 89 (6 х> в»с» Хч (х) —,1, (х) Нч (з) с в1п чя 1. 2 Н~~~ (х) = в с Н~~ (з). Н'в,'(г> в- 'Н„',з'(з).
В 89(7) В 89(7' я с 04 — 1„(х) К» (х) = 2 вш»я 8.485 В 92(6) и Кч(в): В 93(1) В 93 (2) 8.486 Р 1. В 93 (3) В 93(М В 93 (5) В 93(6) В 93(8) В 93 (7) В93(1) В 93(2) В 93(3 В 93(4) В 93 (5) 15 В 93(6) В 93(8) В 93(7) (ч не равно целому числу] (см.
также 8.407) екуррентные формулы и из ссГедстяня для функций 1»(з) з1...х) — х1„+, (в) = 2»1» (в). в 1»-с(х)-(-1»~-с(х)=2у1 (з)- з — 1»(зс+ »1»(з)= х1»,(з). сс И з — 1»(з) — ту» г)=г1 .ьс(х). сгс ( — ) (з»1,(х))=з»-~1» м(з). (.-) — . ,чс — ) с,г- 1 сх))=х- 1»х (г). 1 (з] = 1„(г) [л — натуральное число).
2 1в(х) = — —,1г(з)+1в(х). ш 1в з)=1,(з). И О. зК,(з) — хК.ьс(з) — 2вК»(з). в Кч-1 (з)+К»+1 (в) 2 хв К» (х). в 2 з — Кчсз)+»К»(х) — гК» с (з). Их в 3. г — К.,(х)-чК»(г, = — вК»+, (в). вв 4 (Ь) ("К,(*))=(-1)- --К. (.). ~ — ) (в-» Кч(г)) = ( — 1) х-"-'" Къ-~ю (г). 6 К, (х) = К (з). 7..Кв(з) = Кс (з)+ Ка(х). И 8. у .К,(г)= — Кс(х). в.с — вя цилиндтнчвснив етнкцни и етниции, свяеьнныв с ниии 985 8.487 Непрерывность по индексу с): В 76 1 Ьш Л„(г) = 1у„(х) » и Яш О" ,"(г) = и'„' "(з) и 3.
Вш Х»(г) еьс(х) В 183 [и — целое число[, 8.49 Дифференциальные 'уравнении приводящие и пнлитщрическим функциям См. также 8.401 8.491 1 1И, Гг»с'» — — (хи') ф ~[Р— — ) и=О, и=2»фх) — е (~')+ [ фух»-')' — (-1) 1 = О, х — ха, г, а' — »у' 1 и'+ — — и'+ [(9угт-') — —,[ и=О ЯЭ 237 и = 2» фгт) ЯЭ 237 и = х~Е, (рхт). ЯЭ 237 хт . ЯЭ 237 и" + ( фуг»-1)в — [и=О, и= )/х2„ф ) сш — $ ц й+( [)т — —,)и=О, и=)/г2»фгь г» / 1 — га, Г г а* и'+ и'+~ [Р+.— )и=О, е и=з" 2„фх).
с+в г х х/ь — т'~ и +рг и=-О, и=[/г2, ( х т и'+ — и'+4(гт — —;)и О, и Х»(гг), и'+ — и'+ — ~ 1 — — ) и О, и= Х [)/г). + и+с — — О, =г 2»(у' ). й+[)вутхш-хи=О, и=в~Я (ухг). В 111 (9) и зги'+(2а- 2[И + 1) ви' + [[Рувгте+ а (а — 28»)) и О, е = гг»- 2»(ухмг). В 110(3) ЯЭ 237 ЯЭ 238 В 111 (5) В 111(7) 8.492 1. В 112 (21) В 112 (22) и + (ех* — тх) и = О, и = 2» (е*). х а'+ и=О, с* — Р Ф в = хЕ» (е*). *) Непрерывность по амдсксу дла фуекцмд Х» (с) в у„(х) следует вепосредстхевво мв крсдстахссвва стиг фуемцва с вомыцыо родов. 986 а — а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
