Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 113
Текст из файла (страница 113)
Р (сов~р»=Р(л+1, — я; 1; в<пп и 1. 3. Рп(сова<аа < — 1)пР'~п+1, -и; 1;сов« т2). УВ и 103 1 1 1 4. Р (солгу)=сов"арР~- — а, — — — л; 1; — <<<вар). Х23 5* Рп ~сов 9) = сов'и — Р( — л, — я; 1; — 68« ~ ). Х 23, Х 29, УВ Н 109и См. также 8.911 1., 8.9М 2„8.91 ! 3.
Связь с другими фушщиями см. 8.936 3., 6.836, 6.962 2. Интегралы от полипомов Леанандра см. 7.22 — 7.25. О Париях полииомов Лежандра см. 8.785. 8.917 Неравенства: 1. Нри )1 Р <х'(Р х)(Р <х»( ... (Р <х)(... 2. При х> — 1 Р,<х)+Р <х»+ ... -<-Р„<х,>0. 4. 1гааыпи (Рп(сов9))(1. 5. ) Р <сов ар)) ( 1. МО69 й(О 71 ЧО 7! 5<О 71 УВН92 8.92 Ряды нолииомов Лежаидра З.а»21 Проиаводяшая функпия: 1 :пт « — — — - ~„1 Р„(в» У1- ~.-~-~ ~(1) (иг<п)в ~)/в:1)); См 111 489<31), УВ 119! еа ! ,«„Р«(в1 ()1) ) шах»л-ЬУ а«-1)1.
МО79 3 та 4) 2п<2п — 2) ... <2« — 26+2» 2. т ' 2«+ЗР«(х)+ ~ < +3»<2 +ЗН2«+З» ... <2 +2«+З»Ри «<в»' «е МО 7' —, = ~ ~~~~ (4<е+1)~ «, ) Р„(х) Цх»(1, ( — 1)<! пи 1!. «-е МО72, Ла 385(15) 66 тесл«по пптегеелее 8.922 1 взп ' Р, са 4у, ! 2 <2 — 2» ... <2« — 2«+2» ма+1 <2«+0<2«+Д> ... <2«+2«+И л«( ) «а МО 72 1042 в-в.
снкцилльныи евснкции л и (24 — 1)!! (24+1)П 4, — = ~ ~~~~ (4(1+3) ссв св!(в ! 1, Рвв д(х) ]] ] С 1, (-1 В = Ц. 5. ]/1х~ 2— ~ — — У, (4(с+ 1 . — Рш(х)~ и 11 (24 — 3))с(24 — 1)!! 2 12 21« сс! !Л + !)! 1 Ла 385 (17) (!а 385 (18 ]] х ] с. 1, ( — 1))! ас 1]. 8.923 агсз(ах= — ~ ~,, ~ ]Р ~„(х) — Р в,сх)] Ц с ] < 1, ( — 1',1! — 1]. УВ [1132 8.924 1+со«ли р 2 (лв — 1! !-)-сов»в л.с !44+5) вв (вв — 21) ... ~4 (в — (с) (л — 3") ... )л в-с !л* — (24)в) Р— (2 +3)Ч 3 (1 — сов лп) —, (соз о)— сл — (44+3)( ' — 1') ...
!»' — Рв' — й'! (! ,~ ( э 2в)(лс 4м) )вс (24 ! «)с! м ! ° , Р,;созО)=созаО. 4=1 А (9062. !) Х !4/с+5)в*(»в — 2«) ... [вс — (2(с)в) р (вв — 11) (лс — 3') ... (вв — 124-)-3)') ( е + !~с Ос Х (4!с+3) (л* — 1*)(лс — зв) ... [в* — (2(с — 1)с! ( (в" — сс) (л' — 4') ... [в' — (сл 1-с)с! соз 0) = вба л6. ьш лл сис лв +— А (9061. 11 (2« — 1) ! ! Р„, (сов 3) Лл с (л — 1)! (2«+2!с — 1) ! ! (2! — !) ц (2»+44-(-3) 4» !с+с .ВС («+4+1))(4+0! л=-в 4 в!с «3 Р„„„1 (соз 6) = — .
! А (9061.2) А (9060.2 24-сл! 3. — — Р (соз6'+ (2» — 1) ! ! в с В ! ю!» в,з автоген«льныв полииомы 4)! — 1 !24 — 1)[! 26 1. ~~ ~,„2 1), ~ „! ~ Р (совО)=1 — —. ь ! « 44+1 Г !24 — 1)!! ]*Р О 1 2«1«6 Х 2»»'! [24 — 1) (/»+ 1) [ 4! ] т!! ( ) 2 я з-! 4, 'Я вЂ”. ~ ' ~ Р,„(совО)= —.— 1. 44[! г [24 — 1)0 !» 2 4! пиве д=! А (9062. 4) — [п(1+6(п —,) .
А (9063. 2) А (9063.1, 8.927 ~ сов()г+ — ](]Рз(сов»Р)= [0<9< !Р< н]! 0 [0<»р<]) < и].' МО 72 8.928 ( — 1)" [4«+1) [[2« — 1)[!] О 4К 1, Х 2»«!«!)» Р,„(сов О) = — — 1. я* «! А (9064.1) 2. ~~~~~ (— «=! «ы (4«+ 1) 62«0 ] р 42 — 1) !2 -)-2)2 !«)Р»" я' 2 А (9064.2) Ряды произведений фупяпия Бесселя и полииомов Лежандра см. 8.5114., 8.531 3., 8.5331., 8.5432,, 8.534, 8.93 ййиогочлеиы С«д(Ф) (Гегеибауера) 8.930 О и р е д е л е н и е.
Миогочлены С„" (1 степени я явля!отея ковффициентзми при а" в разложения в степеяной ряд функции (1 — 2!а+о») ~= ',~~ Сд(4)а". «=е УВ П 127 Тядсим образом, многочлеиы С,",(1! служат обобщетдиеи ноланомо в Лежандра. 66« 8 (г26 я — 6 1, 4 2 ди— — Р„,сов О) = ]и . = — ]я в[ив 6 «» 1+здв —, 6 2. ~~~ —, Р„(соз О! ]и „вЂ” 1.
2 «.—.- ! »)е— А (9062.2! А(9062.3! в — е. спкпнлльныв оь нкпии 8.931 Интегральное представление: г з.-~-~ См. также 3.252 !1,, 3 6632., 3.6644. МО 99 Функциональные соотноженив 8.932 Выражения черве гипергеометрическую функцию: гнГФ+ж „у в ! — в ! г"р~ — —,, —; 1 — л — в; — 1. «!г!л! 'ь, т ' г ' п~' 8.933 Рекурреитные формулы: 1. (и+.2) С,",.! г ! 11 = 2 (Л+ «+ 1) ГС,ц., (!) — (2Л+ и) Св (!).
2, лС"„(й 2Л (гС"+', (т) — С~)(!)). 3. (2Л+в)С„"(! =2Л(С~~'(!) — (С~~!(!)). 4. ив(!)=,2Л !.л 1)гС,(!) 2Л(1-г~)С~ав(!). 8.934 МО 97 МО 99 МО 99 МО 99 МО 98 УВП128 УВ 11 128 УВ!1 128 г ~т!'( ! ) ! 1. Св (В (((1-!) Ьв ~Ю+ ! ~ в! ~й~~ УВП 127 Г (1+ ь! Г (1+П а! !!,Г (Л))н 2. С~ (сов Ю) А,ь ! Ь+! в 3. С~!соярсов6~-жп~рв)прсов~р)= ""Л вЂ” ')сь ™!" — '!'!" (Л+"Р(2Л р29 1),!па9в!пьбх ,г,л)р ~л г!ль+ -ф-~~ МО 99 ! хС"~~ь(совр) Сь'гь(совб)С» '(совф ~ ° ! 1 ф, Ф, р действительны; Л -„ь ь ~ )нтеореgа сложевивь) (см. также 8,794 — 8.796). УВ И 136 и 4.
Вш Г(Л)С (совр)= ь~ь в Ортогональность см. 8.904, 7.313. «) Зтс Равевстно слтжвт ллн спРеделевва обобщевамн ртввцвй ьтв(Г), У аотолмл нндевс в может быть любым «нввн», 1045 8 а огтогональвые воликовы 8.935 Производные. 1 Ф Са()) — 2а Г<T+а> С„+аа(<). — г <л> мове В частности, 2. —" =2ХС„~ 1). ис„" к> Уви 128 Интегралы от мноаочленов С~<к) см. 7.31 — 7.33. 8.936 Свяаь с друаикк функциями. 1 1 А С + ()= " — ' — 1 >о () ь а. — <дга — 1)к лГ. своа) ~ (щ -(- 1 — натуральное число).
МО 98, УВ И 127 1 З С„'(<) = Рь(1). 4. у 1(гетвбеюва](гага<>в>па) е — "оке"'" а 2 = > 2 т, (А+ >г) à — г (а> . ау) а<г)се< б)са< ") М099 (~+,' 1х; 2~ а Саа <И и г 2 5 )нв>< Уса(< ~/ — ~= —,Н„()). См. также 8.932. 8.937 Частные случаи н частные аначения: 1.
С' (сов 9) = аюа В МО 99 МО 98 МО 98 2 С',(сов ~р> = 1. З Са(<) ее 1. 4. Са(1)=( >. МО 98 8.938 Дифференциальное уравнение. приводящее к мноа очленам С„(1): А у.+,, '," у "<",+">у=0 (сравни 9.174). УВ11127 Ряды вроиеведевий бесселевых фувкцвй и многочленов Сь (х см. 8.532, 8.534. 8 — 9, снвниальныв Функнии 8.94 Повииомы Чебышева Х„(х) и !7 (х) Функ(гиснальные соотношения Рекуррентныв формулы: Т„„;х) — 2хт„(х + Т„, (х) = О.
О, (х) — 2хб'„(х)+!(ь,(х1=0. Т„(х) = 0„(х) — хУлл (х). (1 — г') Ппе(х) =хТ„(х) — Т„,,(х) 8.941 2 4 ВТФ П 184(З) ВТФ П 184(4) Ортогональность ом. 7.343, 8.904, 8.942 Связь с другими функцияии: 1 — лч 1, Т,х)=Р1 л, — и; —; — ~. МО 104 МО 104 ВТФ П 185 (15) ! Тл(х) =( — 1)", ! Н л „(1 — ха) 1 1' 1 — лг 12л+ 1)!! См. также 8.962 3. 8.943 1, . 2. 3. 4. 5. Частныв случаи: Та(х) = 1. Т,(х) х.
Та;хг= 2х' — 1. Та(х)= 4х' — Зх. Т (х) =8х' — 8ха+1. Т [х) = 16ха — 20ха+ 5х. Частньш значения: Т„(1) =1. (Та (х) = 1. У1(х)=2 . Ца(х) =-4х| — 1, У (х)= 8ха — 4х У (х)= 16х' — 12ха-(-1. 10. 2. Т„( — 1) = ( — 1)", 8.940 Определение 1. Полиноиы Чебышева 1-го рода: Т (х) =-соз(аагссозх) = — [(х+г)/1 — га) +(х — г )г1 — х~) ) = =- -(:3." *(1-")+(.,')*"(1-.*)'-~".,)* "1-") +— Набб, На71 2. Полиномы Чебышева 2вш рода: п1а ((а+1) агссеап) и аш ((х+ 1 )/1 — ха)а о — (х — г ) г 1 — ххаа)"'( = =с" ')- -с"")* * -*')+с л*"( —.')'- 1047 огтогоиьльцыи 8.947 Функции Т„(х) и ГЧ вЂ” х' Н„, (х) являются двумя линейно независимыми решениями дифференциального уравнекип (1 хз) —,~ — х ез + вту = О, На 69 (58) 8.948 Из всех многочлеиов степени со старшим козффициентом, равпым 1, наименее уклокяется от нуля ва отрезке ( — 1, +Ц мкогочлен 2 "'Т„(х).
Па 03 8.95 Полипомы Ормита И„(ж) 8.950 О п р е д е л е и и е. 1. Н (х) ( — 1)" ~~ (е ) 2 Н (х)=2"х" — 2" ~Т ~1х" '+2 з 1 ° 3.( " тхе з- ~, 4,/ — 2" а 1.3.5 (")х з-(-. См!П 567 (14) МО 105 и 8.951 Иптегральпое представление: Н (х)== ~ (х+И)" з-'*дг. $/Яп Г а / Функциональные соотяошеиия 8.952 Рвкуррентпые формулы: 2. Нам (х 2хН„(х) — 2лН, (х). Ортогональность см. ?.374 1., 8.904. См П1 569 (22) См П1 570 (23) 8.953 Свяаь с другами фуикциями: 1.
Н„(х)=( 1)" — ', Ф~-п, — 2; х~). 2 Н „(*)=(-~)"2 (та+ П~ Г З МО 106 и МО 106 и 3. Т (О) ( — 1)". 5 У (0~ О. 4. Т,(0)=0 6. Н (0;-(-1).. 8.945 Проиаводящая функция: , '-", -у.~е+12т,~*>г. 2. т тт „— ~Х~ Нь(х) 1ь. МО 104 и, ВТФП 186(31) и о 8946 Нули Полквомы Т„,х~ и ГУ„~х) имеют только деиствятельяые простые нули; зсе зтв пули лежат в промежутке ( — 1, +1. Па73 1048 8 — з спициьльнык 'зннкцнн Связь с многочленами С«„'(х) см. 8.936 Ь Связь с полиномами Лагерра см 8.972 2. и 8.972 3 Связь с функциями параболического цилиндра см. 9.253, 8.954 Неравенства: е 6 )На(х))~2 е ' «з«(х) О) МО106я 6-'(.) ы )/ (2! 1'®1' 8.956 Ч а с т н ы е с л у ч а и и ч а с т н ы е з к а ч е я и я: 1 Н (х)=1. 2 Н,(х)=2х 3.
Н,(х) = 4х'- 2. 4. Н, (х) 8х' — 12х. 5. Н,(х)= 16х" — 48х'+12 6. Н „(0)=(-1)" 2" (2я-1)!!. 7. Н „,(0)=0. См !!! 570(24) Ряды полиномоа Эрмита 8.957 Производящая функция. гь 1 ехр( — Сз+ 2(х) = ,'~~ —,, Н„(х). ь «« СМ !1! 569(21) 1 1 1 2 —,з)«2х= 21 Ой+О! Нм„,(х) МО 106 и 3. ~ Ь2 = ~~Р~ (тар Н (х). Ф=«« МО 106 и 4. ез(п2х= ~~~,( — 1) (ва~цГ ьы«(х)' е «-е МО 106 и « 5. есоз 2х = ~ ( — 1) — Нп (х) (дед ь=а МО 106п 8.955 Асимптотическое представление: 1, Н (х) = ( — 1«е2««(2и — 1)1! е ~ соз(!«'Ы+ 1х)-(-О( —,) ~ См!1! 579 « «Ф 2. Н, (х>=(-1)е2 з(2л — 1)!!)/Ъ+$ее ~згп(УМ+Зх)+0( )~ ',«'е См П! 579 1049 е.е огтогоньль~нв полиномы 8.958 еТеореиа сложевия<п ( ~ а,) ~~ ееее е~~ ~в1-<.юе.~....+е„= а=1 е=! МО 106 и 2.
Частный случай: 2еНе(х+у)= У,' ( )Н е[х Р<2) Пе[у)'2) е-е 8.959 Полиномы Зрмита удовлетворявгг дифференциальному уравнению: См И1 566 (9) вторым решением етого дифференциального уравнения служат фуииции< 2. и „=( — 1) АхФ~ — — п", — х ), ь " < . ~. е~ е» ~в л' < 1 3. и =( — 1)" ВФ < — —.— и; —,; хе) — а [А и  — провввольиме постояпвые[. МО 107 8.96 Полююмы Пкоби 8.960 О п р е и е л е и и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
