Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 7
Текст из файла (страница 7)
чха> ФП680 0.330 Среди расходящихся рядов можно особо выделить обширный класс рядов, называемых асимптотическими или полусходящимися. Несмотря на то, что этн ряды расходятся, значения функций. которые опа представляют мо> уч быть вычиолепы с большой точа>ютыо, если ээягь сумму наале>ващем> числа членов этих рядов. У э н э к оч е В е д у ю щ и х с я асимптоти чегквх рядов навболыпа я точность получается ярн обрыве ряда на том члене, который предшествует члену наименьшему по абсолютной величине; в этом случае по> решность (по своей абсолютной величине) не превышает абсолютной величины первого нз отброшенных члеоов (гравии 0.227 3.>, 4симптотичегкие ряды ямеюг очень много свойств, аналогичных свойствам сходящихся рядов, н игра>от поэтому большую роль в анализе.
Асимптотическое раэ ложен ие функции обовначается так: п)-Х ). ". а Е зя нккатогык еогмглы дяеекгзнциального исчкслкния 33 0.411 В частности: 1. — „~ 7(х)ох=у(х). 2. — ~ 7 (х) Их = — 1 (Ь). 0.42 Пропвводяая я го порядка от произведении (Правило Лейбниа а) Пусть и и о — дифференцируемые я раз функция от х. 'Гогда /' и ~ Лли ии Ъ ,1аи +1 3 ) лил Зип-л + ''+О 1 и илп,'символически, Н»(ии) ( + )1а1 Ф1 272 0.43 Пропзводкан я-го порядка от сложной функции 0.430 Если 7(х) =Р(у) и у=~у(х), то 1.
~ У (х) = ~~ Р (у) + 2( Р (у) + ~~ Р (у) + - + „~ г ш (у) 0.431 -'" ~-'(-*)-А 'Б;)+.- — "Ы+ (а — 1)(а — 2)а(и — 1), З1/ 1 '1 + .за-з Ш 1 . )+ А (7362.1) 2 ( — 1)а .- 1=А" 1( —.) "— 1)с Зс-:) + +(л — 1)(а — 2)(" )( — ) -)-(я — 1) (и — 2) (я — 3)(")( — ) +...) . А (7362.2) З тазлиаи иатегралоа где Г) = — у" — — у — у"-'+, у — у - —... +( — 1) -' Ьу — —" .
,1а З Зп а (ь 1) Еп а-~ з-, и"у Л Лз 1! Ллп 2(,Ула Зиа А (7361), Г у 1, 75 причем знак ,'~~~ дол:кен быть распространен на все решенкв в целых поло1кнтельпых числах уравнения 1+2)+ЗА+... +И=я, а и=1+1+А+... ... -)- Ь. Гу 1,77 о ввкдкник ~. Р (х*) = (2Х)» р'"'(~ ) + " "~~ " (2х)" *р'" '~(*') + + (»х) и (Х )+ и (а — 1) [и — 2) (л — 3) и-и [»-»1 +»1» 1)(л — 2)(л — 3)[и — 4)[а — 5)(2 )»-и р»»-0(хи).+... А(7303 1) 3! и 2 1 и [ «(и — 1) и[л — 1)(а — 2) (а — 3) ааи ( ) ( + 1[ [4»ии) + 2[ [4»ии)е + а (а — 1) (а — 2) [и — 3) (и — 4) (» — 5) А 7363.2 3! (4аи')' 1 а и Р(Р— 1)(Р— 2) ... (Р— +1) (2 )» а»,(+ ) (1+.". ) -.
а[л — 1) 1+а»' а[и — 1)(а — 2)[а — 3) ('1+а»и ~и 1! (р — п+1) 4»»1 2! (р — а+1)(р — а-[-2) ' 4»аи,) [- ~~ +.... А(7 .3) 1 ДЗВ-1 и =, (1 — ха) =( — 1) ' в[к (ги кассиа х). А (7363.4) р[»[(), ») [а-[-1) и(а — 1) [и — 2) Ри» ~~ (\/и) 2! (2 р *) ' и — „„~1+а )/х) = „' =( аи — — ) . А,7304.2) А (737.1) А (737.2) 1. ЭЛЕМЕНТА!'НЫЕ ФУНКЦИИ 1.1 СТКНКНИ БИНОМОВ 1.11 Степенные ряды 1.110 (1+х)4=1+ям+е!т )ха-Г-... +'1~ 1) "(~ + ! "+ 2! 41 1.111 (а+х)"=~~ [ „)хаа" ".
а-О 1,112 1. (1+х)-г=1 — х+хв — х'+... = ~ ( — 1)" 'т'-! 4=! [см также 1.!21 2). 2 (1-[-х) *=-1 — 2х+Зх! — 4ха+... = ~ ( — 1)* Ггх" 1 2 ! 1.1 ! ° 1 3 3. (!+х) = 1+ —.х — — 'хг+ ' " ха 2 2.4 " 4 6 ! ° 1.3 5 --.— — хг .[- 2 4.6 6 1 1 13 в !35 4. [1+х) =- ! — —,х+ —.' хв —. х" + 2 24 246 (х" С 1!. 4!Ю вЂ” 5)Г е' з 41~4:-)Г-~) -[-... ~ (хт < ! о — действительное число). А(6351.1) 3! ~ 41 Если о не является ни натуральным числом, ни нулем, го ряд сходится, абсолютно при )х) ( 1 и расходичся при )х) > 1; при т=- 1 ряд сходится для г) > — 1 и расходится дла ггч.„ — 1; при х= ! он сходится абсолютно для о > О; прн х = — 1 он сходится абсолютно для д > О и расходится аля д ( О; при о= я натуральном рад !.110 преврвп4ается в конечную сумму 1 111.
г[г Н 425 ! ОгаементаРные Фуннции е, (да — (а> (да — 3 > ... (да — (Зй — 1Р) Х,й„ +дх+Ч~ (гй ! 1Р й=з (хз С 1, д — деветвительвое чиело). А (6351.2) 1 121 гй-з Х 2й ах г" ' а=а 1+х гй-а Х й а1 — х А (6350.3) Х,.', в=а хг +1 А (6350.3) [хв ) ц. 1.211 хй е"= а',— й-О 1 212 ФЦ 520 А (6460,3) 1.213 1.215 А (6460.7) А (6460.8) — — ч-а дз (да 2" >(да 4з> [да (Зй)а! «аа а 2. (х+ р 1+ха) = 1+ р„ (Зй+ 2)! й О 1.12 Ряды рациональных дробей 1.2 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 1.21 Представлевие в виде ряда ча («!в и)й а" = ы й=е ее хзй е 'е=- ~ ( — 1) —. йд й О ев(1+х)= з' — —,,— (В+ 1) й=о — =1 — — +Х вЂ” ' ( <2л1 Вайхзй е~~ — 1 2 ' (2ЙР 2«а 5«а 15«а ее«=О~ 1+х+ —,+ — + — +...) 2! 3! 4! «* Зха 6«в 3«з 56«з вазах — 1+«+ .
— — + — + — + 2! Р 5! Ы 7! х» 4«а 31«а зевах е 1 — + — — +... ). 2! 4! 6! »а Зх* 9«а 37«а е'О = 1+ х + —. + — + — + — -(-, . 2! 3! 4! 5! ха 2«в 5«а еазев!ах = 1 + х + — + — + — + 2! 3! ' 4! «а «а >ха евеха = 1+ х+ —, — — + —— 2! 3! 4! А (6460.4) А (6460,5) А (6460.6) пз — ь А тгигономктгичкскив и гнпкгволичкскик отнкции 37 !.217 ««А+« а«! 2 ~ ! Аૠ— е "" * е+" Аеи (сравни 1.421 3.). А (6707.1) 2.
= — -)-2х ~ ( — 1) 2 ! «! ААА« — Е А 1 (сравни 1.422 3.). А(6707.2) 1.22 Фуккпиоаальиые соотношения !.22! 1. аа о 3«А ! 2. а"о«" = а "о"" = х. 1.222 !. е"=сЬх+вЬх. 2, е'*=сова-Г!о!пх. !.223 еы — е'"=(а — Ь)хехр [ — (а+ Ь) х ) Ц ~1+(~ «-А МО 216 !.23 Ряды показательных функций 1. СЬ х = 1+ 2 ~ ( — 1) е — ы* !х > 01. 2. еесЬх=2 ~ ( — 1)" о-~ы+«1" ~о (х > О!. 3.
совесЬх=2 ~ е — ю«+'~ «=о (х > О). 1.3 — 1.4 ТРИГОИОМЕТРИ«1ЕСКИЕ И ГИ11ЕРБОЛИ«1ЕСКИЕ ФУНКЦИИ 1.30 Введение Тригонометрический и гиперболический синус свявийы соотношениями: ! ! вЬх= —.в!и!х, вшх= —.аЬ!х. Тригонометрический и гиперболический косинусы свяваны соотношениями: сЬх=сов!х, совх=-сЬ!х. ) Благодаря такой двойственноств каждому соотношению, в которое входят григонометрическяе функции, формально можно поставить в соответствие некоторое соотношение, в которое входят соответствующие гиперболические фупкции. и наоборот, каждому соотношению, в когорос входят 1.231 ~ п "= — "„ «-о 1.232 (а>! и х<0 яли 0<а<! и х>0!.
38 !. ЭлементАРные юункцнк гиперболические функции, формально можно поставить в соответствие неко- торов соотпопгенпе, в которое входят тригонометрические функции. Во многих (однако не во всех) случаях обе пары соотношений действительно вмеют смысл. Идея двойственности соотношений проводится в приведенном ниже списке формул. Однако, в списке указаны не все чдвойникя !. имеющие смысл. 1.3 И 2.
зЫх= — (е" — е ); 1 ! вш.т= — (е — е '=д 2 = — ! ип (1х). 4. сЬ х = — (е*+ е *); созх= —,' (е'*+ е '*); 2 3. = сЬ гх. = сов (х. чп» 1 1к х = — = — (Ь гх. 1Озз ! 8. с1Ь т = — = — = ! схя ьт. сп . ЬУ !Пе созе 1 сьдх= = — = ( сьЬ !х. ма у !дт 2. сЬ'х — зЬтх = 1. сова х+ зш' х =- 1. 10. 12, 1.314 1. 7. 1.312 1.
1.313 1. 2. 3. 5. 6. 7. 1.31 Основные функанональные соотношения ип (х + у) = иа х соз у * ип г! соз х. зЬ(х ч- у) зЬхсЬу+ вЬусЬх. ип(х+ гу)= з!п хсЬу ~ !зЬугозх. зЬ(х -Р гу) =-зЬх сову -Р ! в!ау сЬх. сое(х+ у)=соахсозу ч- ипхз!пу. сЬ(х х у].=сЬх сЬ у+ зЬх вЬу. сов(х ~ !у) = созхгЬ у Ч. ! згпхвЬ у. сЬ(х Ь гу) = сЬх воз у ~ ! зЬх з(ау. гд з ~ !е з 18(х х") 1+!д*гду ' 1Ь +Н!у 1Ч-1ь*спа ' 12*~!1пу 1 Ч- ! !В х !Ь З Шхх !1ду 1Ь .1ет' в1п х -ь иа у = 2 ип — (х ч- у) сов — (х -Р у). 1 2 2 вЬх ь.зЬу=2вЬ вЂ” (х ь у)сЬ 2 (х т- у). 1 1 1 1 соз х + соз у = 2 сов — (х+ у» соз — (х — у).
2 2 1 1 сЬ х -(-еЬ у = 2 сЬ вЂ” (х+ у) сЬ вЂ”,(х — у). 2 2 кв-яс тги|окоиктгкчаскиа к гипкгколкчкскик егвквнн 39 ! 1 сов х — сов у —. 2 вш — (х + у) вш — (у — х). 2 2 1 1 сЬ х — сЬ у = 2 вЬ вЂ” (х+ у) вЬ вЂ”, (х — у). 2 2 в~к+ Вуу= в" (*+В) 3.
ВЬх+ В»у="»~ со«с схе К сЬ с с» у 7. 1.315 1. Йпсх в!п у = 9)п (х+ у) в(п (х — у) = сов у сов х. чйзх вЬзч=вЬ(г+у)вЬ(х — у)=с»*х — сЬ*у- 3. совах — вш у=сов(хо»у)сов(х — Ч)=сов у — в)п х. 4. вЬ«х+сЬ«у = сЬ(х+у) сЬ(х — у) = сЬзх+ вЬву. 1.316 1 (сов х+с в)ах) = сових+ (з1П их. 2. (сЬ х+ вЬх)" вЬ их+ сЬ иу [и†целое число[. 1.3$7 1,32 Выражение степеней тригонометрических и гиперболических функции через функции кратных аргументов (дуг) 1.320 «-1 1, мпв«х —,— „~,У~~ ( — 1)" "2[«)сов2(и — й)х+[ Д. Кр56($02) — с зЬз«х=[2,„-~-(~к~', ( — 1)" »2(„)сЬ2(и — й)х+~ )[.
3. в)пз« '*= —,„,~~ ( — 1)«~ '( )еп(2и — 2й — 1)х. Кр 56 (10,4) 4. вЬз" 'х=(--;„=; — ~ ( — 1)" " '(" )вЬ(2и — 2)с — $) х. с-в «-с 5. сов««х«« — „[ Я 2[ )соз2(и — й)х+[ ~) . «-1 б. оЬз" х — ~ Л~~~~ 2( ь) сЬ 2 (и — й) х+ ( )~ . Кр 56 (10,1) «) 1 1, в1П вЂ”,= ~ — (1 — сов х). 2 2 с 1 3. сов — = ~ -($+ совхЬ 4 2 2 з 1 — см«из« 6 2 «го з 1+сов« ' Знак перва корнем з формулах 1.317 а соответствии со знаком левой части; значения х вЬ вЂ” =+ ~ — (с»х — 1). /$ 2 сЬ вЂ” = $г — (ПЬх+1). с /'1 2 [' 2 с»з — 1 «Ь« вЬ вЂ” =— 2 «Ь« с»з+1 ' 1., 1.317 2., $.3$7 3. выбирается знак же левон части зависит от ! 4-! 4 тгигоыомвтгичвснив и гипвгпопичвснив огынцви 41 1.324 !. сЬ*х = — (сЬ 2х+ 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
