Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Издательство ххоручило нам подготовить к печати оставпгуюся ат И. С. Градштейна рукопись, дополнив ее недостающими разделами. Прн выполнении атой работы ыы старались следовать плану рукописи я предыдущего издания и сахранилн, во всяком случае, нх главные особенности: порядок следовании формул и ссылкы па источники. Из прадыдущего издания в книгу включены без изменений разделы, касаюхциеся сумм, рядов, произведений и элементарных функций. Остальные разделы подяергалнсь переработке. Особенно сильно расширены таблицы определенных интегралов от элементарных в специальных фупкпий. Вонзились разделы, например интегралы от функцвй Матье, функций Струве, функций Ломмеля ы ряда других функций, которых в старом издании не было сапсем.
Вообще, в четвертом издании справочника число рассматриваемых специальных функций но сравненихо с третьим изданием увеличилось. В связи с этим главы, относящиеся к апециальннм функциям, дополнены соотвэтстнуюпхими разделаыи. Большинство определений специальных функций, прнкятых в прадыдущем издании, сохранено. На другие определении мы переходили лихпь нвагда, следуя источникам, содертащиьх наиболее богатый материал па интегралам от соответствующих специальных функций. Изменены также некоторые обозначения.
Имевхпаяся в третьем издании глава, посвященная иптегральпым преобразованиям, из четвертого издания исключена. Ке материал размещен в других частых справа пхика. Мы выражаем глуботхую признательность А. Ф. Лапка, который внимательно прочитал рукопись и сделал целый рнд полезных замечаний. Ю. Герапиыус, М. Цейтлин *) Указатель литературы, яа которую имеются ссылая, вомещев за стр. П)99 — НОО.
Пссяе шифра, указывающего книгу, я бябяяаграфячхсяях ссылках стоят числа. Чмсяы, яе яаяяючгяяые яз з какие скобки, означают страяяаы; чжла з круглых свабяал— яемеря формул, цяфры з яззарятяых скобках — замера таблиц. О ПОРЯДКЕ СЛЕДОВАНИЯ ФОРМУЛ Вопрос о целесообразном порядке следованив формул, особенно в таком отделе, каа определенные интегралы, оказался весьма сложным. Естественно приходит мысль об установлении некоторого порядка, аналогичного словарному. Однако простое установление такого порядка в формулах нвтегралт ного исчисления почти иевовможио.
Действительно, в любой формуле » ~ У(х) Ых а( а $ г(х)«(х, где у(х) — нечетная функция. Тогда мы такой интеграл опускали. Приведем пример (№ 26 на стр. 159 второго издании): и (с«да — О»» я (н (йх ~(х= — — совес ря. а Естественная подстановка схйх — 1 = и; с ее помощью получим и" » )п (1+ и)»(и = — совес рп. Р (2) Этого интеграла непосредственно в справочнике пе было.
Его можно было получить яз других более сложных формул, нменшихся в справочнике. Далее №№ 59 и 60 являются частными ввдамя формулы № 26 на стр. 159. Все зти ннтегралы в новом издании опущены. Вместо них имеетси фор- можно сделать целый ряд подстаиовок вида х=ю(8) и получить таким образом ряд «синонимов» данной формулы. Надо сказать, что обилием таких «синонимов» и сложных по виду формул грешат кзк таблица определеняьтх интегралов В1егепэ бе Наан'а, тав и первые издания данного справочника.
Мы старались в настоятцем издании оставить только наиболее простые ив «формул-синонимов». О простоте формулы мы судили в основном по простоте аргументов «внешних» функций, входящих в иодынтеграаьное выражение. Где это было можно, мы сложную формулу заменяли более простой. Иногда при этом несколько более сложных формул приводятся к одной более простой. Тогда мы оставляли только эту более простую формулу. Иногда, в результате таких упровзающкх подстаиовок, мы приходили к интегралу, который можно вычислить, пользуясь формулами отдела 2 и формулой Ньютона — Лейбница, или к интегралу, ямеющему вид а о погяднв слвдоньния <ьогмтл мула (2) и формула, поаучающаясв из ивтеграла (1) пря водстаиовке с(ях = о.
Второй пример (№ 24 ва стр. 172 второго издавия) 2 7 ~ )п(тя х+ схех) (псяхс(я=0. Повстапоака (лх = и дает 1и (ха+ ы с) 1в а 1+аз с Полагаем далее о (п и. Тогда О О ееь 1= ~ 1 — -„(в(ее'+е е")<й~= ~ о с(о. М Ф Подывтегральиая фуякция нечетяа в, следовательно, иитеграл разов нулю. Итак, раныпе, чем искать интеграл з таблицах, подынтегральное выраявние следует упростить и притом так, чтобы зозможио более простыми оказались аргументы («внутренпве функции») у фупкций, входящих в подывтегральное выранюнве.
Фувкцви упорядочиваются по старшинству следующим обрааом. Сначала идут элемептарные фупвции: 1. Функция 1(х]=х. 2. Показательная функция. 3. Гиперболические фувкции. 4. Тригонометрические функции. 5. Логарифмическая фуикциа. 6. Обратиьее гиперболические функции. (В формулах, содер>ваших определспвые иптегралы„опи аамеиевы соответствуввцими логарифмами.) 7. Обратвые тригонометрические функции.
Далее следуют специальиые функции: 8. Эллиптические интегралы. 9. Эллиптические функции. 10. Интегральный логарифм, интегральная показательная функция, иптегральпый сипус и иптегральинй косинус. 11. Интегралы вероятности и ивтегралы Френеля.
12. Гамма-функция и родственные ей функции. 13. Цилаидряческяе функции. 14. Функции Матье. 15. П(аровые функции. 16. Ортоговальвые миогочлевы. 17. Гипергеометричесвие функции. 18. Вырожденные гипергеометрические фушщии. 19. Функции параболического цилиндра. 20. Функции Мейера и Мак-Роберта. 21. Дзота-функция Римана. В таблицах зги функции располагаются в порядке старшинства, причем внешняя функция вривимается но внимание в первую очередь: чем старше фувиция, тем дальше ставится соответствующая формула.
Предположим, что з несколько выражевий входит одпа и та же внешняя функцвв; например, а выражениях в(п с*, вш х, с1п !и х впешпяя функция — сипус — общая. Такие 14 О ПОРЯДКИ СЛЕДОВАНИЯ ФОРМУЛ ) выралтения располагаются з порядке впутренпих функций. Например, ука- занные трм функции расположатсн в таком порядке: з)пх, зьпс', з)п!ах. В приведенном нами списке отсутствуют следующие функции: много- член„рацяональная, алгебраическая и степенная функции. Встречающаяся в таблицах определенных интегралов алгебраическая функция сводится обычно к конечной комбинации корней рациапальпой стапепн, и паатому мы можем для классификации наших формул условно считать степенную функцию обобщением алгебраической, а следовательно, н рациональной функции *).
Вса указанные функции мы будем отличать ат деречисленных выше и будем рассматривать клк некоторые операторы. Таким образом, в выражении з)втсч мы будем считатта чта к внешней функции зш припаяю я+соя с жен оператор возведения н квадрат. В выражеяии '. мы будекз яю я — соя х считать, что к тригонометрическим функцивм з!и и соз приложен рацио- нальный оператор. Операторы мы также будем различать по старшинству: 1.
Мвагочлеы (тем старше, чем выше ега степень). 2. Рациональный оператор. я 3. Алгебраический оператор (по существу Ае, где р> О и р — рацио-[ нальвые числа, тем стар»па, чем больше д). 4. Стопеипой оператор. Выражения с одинаковыми внешними и внутренними функциями рас- полагаются в порядке старшинства операторов.
например так» 1 з)вя з)ця-т-соея з1пх, зшхсозх, —.=явах, — = — 1йх, зп1 х, 8»п х сов х.» з)а я сося ' с)аз — сося ' Далее, если в падынтегральное выражение входят две внешние функции 1р (х) и ьр (х) (причем 1р, (х) старше»р (т)), над которыми произведена какая- либо из указанных операций, то соответствующий интеграл ставится зт всеми интегралами, содержащими одну только функцию 1р1 (х), в порядк» старшинства 1р (х).
Так за трягонаметрическими функциями следуют триго- вометрмчоскне я стапекные фуыкции (т. е. 1рт(х) =х)„далее идут тригонометрические и показательные, тригопометрические, показательные и степенные и т. д., тригонометрические и гиперболическое н т. д. интегралы, в которые входят дзе функции 1р» (х) и ьр (х), располагаютсз в с»»ответствующем разделе н порядке, заянсящем только от старшей функцяз 1рт(х).
Колк же порядОк нескольких интегралов в зависимости толька м старшей функции совпадает, то эти интегралы располагаются в порядке, определяемом нтарай функцией. К указанным правилам общего характера прибавляютсн еще некоторьв частные соображения, которые легко усмотреть непосредственно в таблицах 1 1 Например, функция ся, согласно сказанному, стар»не я", но 1пх и 1и — имм в 1 ют одно и то же старптинство, так как 1в — — 1п х: в разделе сстепенньз и алгебраические функции» из степенных фуикцвй вида (ц+ ох)', (а ~ ()х)" образуются многочлены, рациональные функции и даже степенные фунт ции от степенных функций.
*) Пря и натур»сеном стеяеняея фуняяня (о+ья)ч от дяучяеяа я+аз естьмяог» члез; нря я делом отряцательяом (я+ья)я является рацноняльной фуннцвей; нрн 1 яррецнояввьном стененнан функция (я+Ьт)ч ве валяется даню алгебразчеснв фувкцвей. О. ВВЕ,(д,ЕНИЕ ОЛ КОНКЧНЫК СУМО(Ы 0.$$ Прогрессии ОЛ1$ Арифметическая прогрессия. ч-1 ~~~', (а+ йг) = —,(2а-(-(и — 1) г]=-,,-(а+1) ($ — "последний члеи). ь о О.! $2 Геометрическая прогрессия. Ъ о о, о(д" — 1) ад д — 1 о ! О. И 3 Арифметика-геометрическая прогрессия.
и-о о — [а+(и — 1) г) до гд(1 — до о) о-о Жл (5) 0.$2 Суммы етепевей ватуральвык чисел Ч 332 Ч 333 Ч 333 Ч 333 ОЛ21 йод+1+2+2(1)Воя~+4(6)Вопд + 6 Я Воя+ ь-о = — + —.+ —— — 2 12 12о оо'о оо дло о д(д — 1)(д — 2) д(д — 1)(д — 2)(д — 3)(д — 4) по о+ 66 246 по — о (последпий члев содержит и или по). 2 Ь-1 о 2 г .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
