Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 8
Текст из файла (страница 8)
2 2. сЬ'т= — (сЬЗх+ЗсЬХ). 1 4 3. сЬ'х = — (СЬ 4х+ 4 сЬ 2х+ 3). 4. сЬВ х = — (сЬ 5Х+ 5 СЬ Зх+ 10 СЬ х). 5. сЬ х= — (сЬ6х+6сЬ4х+15сЬ2х+10). 92 6. СЬ'т=-(ОЬ7Х+7сЬ5Х+21сЬЗХ+35сЬХ). 1.33 Вырак!ение трнгонометрнческкх н акперболн !Сепах функций кратных аргумсптоа (ду1) черса стекекк атнх функций 1. мапл=асов" 'хюпх — ( ~)сова ахвшвх+Г 1)сов" ахяп'х —... 1 ! =вше) 2" 'сов" 'х — (та 2~2" асов" ах(- ( (В )2а асов" ах — ('", )2" !Сов" !х+...~) . А(3.175) (2) 2. ВЬпт=вЬх ~ ( )ВЬВВ ~ХСЬ™! х; а ! Е( — ) =ВЬт 5, ( 1)4(а — й 1-)2- ы-! СЬа-24-!х а-а 3. сов пт = сОВ т — сОВ хв!п х+ ! сОВ ха!па х —, . —..2" 'сов" х — — 2" асов" *х+ 1 -(- — ( 2" асов" вх — — ! ) 2" !сов" ах-(-...
А(3,175) 1 / В Х 2 4. сЫпх= '(1) с х "(-и ~~ ( ) а.! т! с х аа-! Ь» ха ° 1 В 1 !'а-2-112 -24 1 ) -24 !. элементагные Финнпии 1.332 4, а 2! (4«а 2!) (4«а !Р| 1. яв2лх=2лсовх~вшх — в!пах+ 3' 5! в!пах — ...) ! А (3.171) = ( — 1)" ' сов х ) 2«" ' ыпа" ' х — — 2«" *в1в'" "-[- 1! [2а — 3) (2« — 4) Зв«-а а«-а г! з!в х— [2« — 4) (2« — 5) (2« — В| «аа-1 - за-г 3! 2 а з!в х+ (2« — 1)а — 1« а 2„з!п (2а — 1) х = (2о — 1) (з!п х — вшах+ 3! + [(2 — 17 — 1*Ц(2« Ца 3«) 5! в|вах —...
А (3.173) А (3.172) =(' — 1)" ' (2«" ав1ва" ьх —: 2ва «в!пз" ах-(- 1! (2а — 1) (2« — 4) 2з«-в 1 ва-а . 2! [2« — 1|(2« — 5)(2а — 6) 2в«аз!па„-1х ! ...~. А(3 174)и 3! 4за 3. сов 2лх= 1 — — РЗо'х+ 2| "!' - ! ° ....~~=.. в — ! = ( — 1)" ! 2«" ' вша" х — — а 2в" з в1вва з х -[- П (2« — Ца — 1$ . а 4. сов(2п — 1)х=совх~1 —, ниах-[- — А(З 172) 4! Частные случаи 1.333 1. яп2Х= 2в|о хссах. 2. впЗх=-Зз!пх — 4з!пзх.
3, з!Е4х=созх(4в[пх — 8з!Еах). =( — 1)" |совх[2ва *в(п' 'х — 2в 451пв - х+ 2« — 3 1! + (2« — 4) [2а — а! 2ва-а в(,ва-а 2! (2« — 5) (2« — Е) [ — 7) 3' Пользуясь формулами и замечанием 1.30, можно для вЬ 2лх, в[! (2в — 1) х, св 2лх, с[|(2п — 1)х написать формулы, аналогичные 1.332, подобно тому, как это было сделано з формулак 1.331. сов 2х = 2 совз х — 1.
2. совЗх=4соязх — Зсовх. 3. ров4х= 8 сов'х — 8соз'х+ 1. 4. сов5х= !6 солях — 20соз*я+5совх. 5. созбх=32сов"х — 48совзх+ 18совзх — 1, 6, сов 7х = 64 сов' х — 112 сов'х-г56 сов*я — 7 соя х. !.336 1. сЬ 2х = 2 сЬ' х — 1. 2. сЬ Зх = 4 сЬз х — 3 сЬ х. 3, сЬ4х 8сЬ'х — 8сЬзх+1.
4. сЬ 5х = 16 сЬ'х — 20 сЬ*х + 5 сЬ х. 5. сЬ6х=32сЬзх — 48сЬзх+ 18 сЬзх — 1. 6, сЬ 7х= 64сЬ'х — 112 сЬзх+ 56сЬзх — 7 сЬх. !.34! — 1 / з — ! ~ . зя 3 1. ~л з!и (х+ йу) в!п (х.)- у) в!и —,еовес— 2 ) 2 2 ' л-! 2. ~~~~ вЬ(х+lгу) =зЬ (х-1-:у )вЬ з" 2,г 2 з з 0 зЫ— -1 и — 1 г . зя в 3.
~~~~ соз(х+Ьу)=сов(х+ — у)мп —,совес —, г ) 2 2' — г 4. ~ч', сЬ(х+ау) =сЬ (х-1- з, у)вЬ з" — ! —. й з 5Ы 2 Зв-! 5. ~ч~~ ( — 1)" сов(х+)гу) = в!п (х+ — ~ — у) в(п му вес — ". А (361,8) А (361.9) Жи (202) 4 5 6 !.334 1 2 3 4 1.335 ! 1 з — 1 з гзигоиомктеичискик и гипкеяолическик езвкиик 43 вго 5х = 5 з)и х — 20 ми' х+ 16 згоз х, з!пбх сов х(6 з!их — 32 япз х+ 32 з)и' х), в! и 7х = 7 вгп х — 56 и из х -)- 112 гоп' — 64 ми'х. вЬ2х=.
2вЬ гсЬх. вЬ Зх = ЗвЬ х+ 4 вЬзх, вЬ 4х = сЬ х (4 вЬ х -~- 8 вЬз х). вЬ 5х = 5 вЬ х+ 20 зЬ*х+ 16 вЬз х. зЬбе сЬх(6вЬх+32вЬ*х+ 32зЬзх). зЬ 7х = 7 вЬ х+ 56 зЬз х+ 112 вЬзх -г 64 зЬх. !.34 Некоторые суммы тригонометрических в гиперболических фупкцнй ! Влементлтнын Фтнкцни л+1 лх х лх и+1 х 2. ~~~~~ соз йх = соз 2 х яп — созес — + 1 = сов — вш — х совес — . 2 2 2 2 2" л-е А (361.2) А (361.7) 3. ~~~~ ~в(п (2й — 1) х = япл пх совес х. л=! л 4.
'5', сов (2й — 1) х = — в!п 2лх совес*. 1 1-1 Жл(207) 1.343 1 ( — 11" лоз! — х ) (Г2и+1 2 — — + 2 2 1. ~Ч', ( — 1)" совйх= л=! А (361.11) ~ч; ( — 1)'Р' (2й — 1) =( — 1)"+' —;~* . л=! А (361. 10) 3. ~ сов(4й — 3)х+ ~~~~ вп(4й — 1)хлл л-! и.= ! = вш 2лх (соз 2лх+ ып 2пх) (сов х+ в!и х) совес 2х. Жл (208) (.344 вз н в1п-- — = с13— и 2 А (361.13) 2хе! фи ! ля лл '~ в!и — = — (1+ сов — — в1п — ) . л 2 2 2 ) 2. л ! и — ! А (361. 18) 2зйв )! л х лз .
лап соз = ~1+ сов — + з(п — ) . л 2 2 2) А (361. 17) 1.35 Суммм степеней кратныв дуг 1.351 1. ~~~~ ~вшл йхлл — ((2п+ 1) в(п х — в(п (2н+ 1) х) совес х; и-! л л!н (и+1) х л!л лх 2 2ылх А (361.3) 6. ~~ ( — 1)" вш(х+йу)=в!п)х-)- л (у-)-л)~з!п ~~~( ~~ весф. Жл(202а) Частные случаи 1.342 1. ~ з)пйх=з1о хв(п — созес —. и-1-1 . лх х 2 2 2 А (361.1) и и — 1 1 2. ~ сов! йх = — + —, сов их вп (и+ 1) х совесх; 2 2 «=-! а соя!а+1)»я!па» 2 го!и» А (361.4)в и ъ« .. 3 . «+1 .
» » 3. ~р, в(п»йх= — в(п —,хе!п — „совес —.,— 4' 2 2 1 . 3(а-1-1!» . Зв» 3» — — в!п, в!и —, совес —,. Жл (210) 4 2 2 2 4. У соя» йх= — сов — х в«п — повес —, + я 3 а+1 а»» ! 4 2 г 1 + — сов, с впп —, совес †. Жл (211)и 3 (и+1! .
За» 3» 4 2 ' 2 2 5, ~ в1п«йх= — (Зи — 4сов(и+1)хв(пахсовесх+ 1 ь «! + сов 2(и+ 1) хо!и 2ихсовес 2х], Жл (212) 6 ~Р сои«йх= — „(Зи+4сов(и-(-1)хв!пихсовесх+ 1 «=1 + сов 2 (и -(- 1) х вяп 2их совес 2х]. Жл(213) 1 352 2а — 1 а соя — « я!и а» 2 йв4п йх = — —- » 4 я!в' — 2 я1и —, 2 А (361.5) 2в — 1 ив(п — * 2 1 — со' а» 2. ~ йсовйх= А (361.6) а 1 рв!и» вЂ” рая!во»+ри' я1и (а — 1)» 1. Р" в1пйх= 1 — 2р соя» —, р! А (361.12)и «! ряЬ» — рияЬ«»-1-р"" яЬ (в — 1)» 1 — 2р «Ь»- )- ро Х ". ! 3. сов йх Х и 1 — рсо໠— р" сова»-)-ри" соя!а — 1)» Р 1 — 2р сов»+ р" А (361. 13) и « —..о и — 1 « Р сййх 1 — р»Ь» — рисЬ а»-(-ри'! аЬ!а — 1)» 1 — Зр оЬ «-1- р' Жл (396) «=о 1,3 — !.! »риропопв»рпписппе л сппирполиписиии ор иипип 45 !.
алкмкнт«гнык егниции Суммы произпедеиий тригонометрических функций кратиаол дуг 1.36 1.361 Жл (217) (а з«п — ) =~~2 в1п —,) — яп х. х = )~ 7 « «/ ! 2«) «! ~ч~~~ ( — «вес — «) =созес«х — ( — „созес — ) . А (361. 15) 1.
2. А (361.14) «1 1.371 Х. « — ок — = — с(к — — 2 сьй 2«. 2«2«2" 2« «о Х ! «2«и" — 1 1 « — Ьк« вЂ” = — — -=-+ 4 с18«2х — — с⫠— . 2!«2«3.2« '=! 2«п 2п «=о А (361. 16) А (361.20) 1.38 Суммы, крккодн«ине к гиперболическим так«иксам и к гииерболвческвм кота«пемзам 1.381 1 а вы' —,; — к 2«+1 «-о 1+ 2«+ !— «Зи а оь« 1 ивы «к = сгь 2нх — —, (1Ь х+ сЬЬ и). иа «Ь! « ьа озз 2« Жа (402)и Жл (403) 2 2« — ! 2(2а+1) оь« — — =1Ь(2п+ 1)х — —. оь!.
2«+1 ' «=о + 2Ь+1 2 (2«+1) Жл (404) 1. 3. Х «=-! Х «! Х «-! вп )ох в( п ()о + 1) х пп — 1(п+ 1) як 2х — яп 2 (и + 1) х] секес х. 1 4 Жл (214) и 1 з( п кх зги (к -1- 2) х = — — сов 2х — — соз (и -1- 3) х яа их зевес х. 2 2 Жл (216) яп ахсов(2к — 1) у=яп ]ау + — х ! яп а+1 1 . и(«+2Г! «+2у 2 1 2 совес —— 2 а-1-1 ! а(2З вЂ” «1 2З вЂ” « — В!П]!Пу — х!1ЯП " СО«ЕС " 2 1.37 Суммы такгевсов кратиыл дуг 1Ы» 2 (2»+1) в * +1) свв х 1Ы2 = сСЬ (2п + 1) х —— 2»+1 ' ик Са (2 +1) Жл (405) 1.382 »;2 1 1 Х 2,+-1 ь-! мп' — п 4» =2п(Ь пх.
Жл (406! 1 +2 2 »-! 2. 2~ 2 22 — 2 2*. 1 2 ! 52»»в 2» ! х вах 2 2 + — 1Ы— Н(л (407) =(2п+1)1Ь( "+ )* — (Ь вЂ” *. Жл(408) 1 3.",„+, »-в гоп! —.— — — 2! 1 2(2»-!-1) 1 х »Ы* 2 2 4. 2=. ! — =(2п (-1) ссЬ( " )* — с(Ь х . 1 х — <л— 2 2 )Кл (409) ип »О22— 2»+1 вах + 1.39 Представление косинусов и сиыусов кратиыт дуг В ВИДЕ КОЫЕЧИЫЛ ИРОИЗВЕДЕ2квй 1.391 » — 2 1. вглпх=пв2вхсовхЦ (1— 2.=! ( 52»2 х ,и.
52»2 —. (п — четкое), )Кл(5681 2 мп»х 2. совпх=Ц (1 <ги — цп вп22 52П Х 3. 5!пах=пвиахЦ 1 и , ип 2 52П— » -! мпв х соь пп =- сов х Ц (1 — '<ги — ц в 2=2( япв — — ( г» Жл (560) [и — четкое). (и — иечетиое1. Жл (570) <,и — нечетное|. Жл (571)и Ип 2 ""*= "Ц "'(*+ —.3. 2И вЂ” 1 2. сових=2" ' Ц в!в~к+ — к). 2» Жл <548) Жл (540) » ! !.в — 2 2 тгитономктгичкскмк и гипкгьолкчььник охньцми 47 1 элвминтйеные Фтнкнни 1.393 «-1 22 ~ 1 1. Ц сов(х+ — и ) = 2 —,ООвпх ~п — нечВтнО); и й В 1 — (( — 1)2 — сов пх) [п — четно).
Жл (543) \ «-1 22 -ъ ( — 1) 2 Ц 21п(х+ и) 2 и вйо пх (п нечетно й-а = — (1 — совпх) (и — четно). )Кл(544) 1) 2 2йп 1) 1. совпх — совку=2" ' Ц !сов — совх(у+ — д. й=й и — 1 2йи ~'$ 2. ОЬпх — сов ну= 2 ' Ц )ОЬх — сов у+ — )у. Жл (572) Жл (538) 1.396 и-1 хй« 1 1. Ц (х' — 2хсов — —.+1)= и 2йи ~ хйи" 1 — ! 2.
Ц (х' — 2х сов — +1)«я 2+1 ) и=! 2« 1 3. Ц (хй+2х сов — -(-1)=- 2«+1 «+1 й-1 и-1 4. Ц (х'-2хссв( ) +1)=хи" +1. Кр 58 (28.Ц Кр 58 (28. 2) Кр 58 (28.3) Кр 58(28 4) 1.41 Разложение тригоионетрическнл и гннерболнческнх функ!!В() в степенные рлдм 1.411 2. ВЬх=~', й=.с ОЪ 4. ОЬх= ~~ й-о Хй" '1 1. ВН1 х =- ~д ( — 1) (2й+ 1) ! (22+1)! ' « 3. совх=~ ( — 1)" —, й=с (22) 1 — 1 1.394 Ц (хх — 2ху сов (а+ — ) + уй) = хй« вЂ” 2х "у«сох па (- ух'. Жл (573) и-о 1. Элкмкктйекыи Фтнннии Яйх»й 1 4. с)й х = х совес х+ совесх ~~~~ ( — 1) (З»+1) ! » 1 Ш Уй 1! ь( — ) вй-! ж-, =совесх~ ( — 1) (тй — 1 ' й=! Жл (509) 1.42 Разложение вр простейшие дроби 1.421 Бр»» (191), А (6495'.
1) ! ! я»»х й» ! 2 ~т= — „ХРа,р,, »=1 1 2» 1 3. сей пх = — + — „~ й 1 ! я 1 = — +— л* л Е. й(* — й) ' А (6495. 2), Жл (450а) 4, св)йпх — + — ~~', --,— „, (сравни 1.2171.). 1 2х 1 1-1 5. »» — =х»~~ лх 2 (тй — 1р— 2 — ХЗ (!»- И]»(З» — х»)» ... ((Ж- 1)» — »»)! й ! Жл (450) 1. вес — = — ~~~~ ( — 1) "', »-1 2, вес — = —.~~ ~~.
+ »лх 4 ~~ ) ! ! °, =.»Х,'.в., .р .в,,+,1 А (6495.3)и Жл (451)и 3. еовеслх = — + — ~~~~ (, , (см. также 1.217 2.). й 1 А (6495.4)и 1 т» 1 1 2»!»»+й» 4. совес' их= — т; — = — + — т — „» .2~ (х — »р я* ° ° х'.! (» -й)* й -!» й Жл (446) 1 414 1. сов[а )а (х-)-М1+х'))- ц ("'+О )!" +~ ) ''' ("+(тй)ч ' ' [х'С 1[. А(6456.1) (йй+2) ! 2. в!Н[л)а(х+)/!+х»)!= » т» ( — 1)й ' ~з'+!»)(»~+в~) ..
(и'+(»а 1)') х " [в» ( 1[. А(6456.2 (2й+1) ! ° ) »= ! Степенные ряды для )ее!ох, )а совх и )айбх си. !.51К 1+ х со!«с х 1 т«1 — 1)"" 5. 2«* х! 1х! — «!и«) «=! Жл (449) и 6. соеес их = — + — 'Я ( — 1) ( — + — ) . 1 1 «Р хх н '!.* — а ь.) Жл 1450Ь) н« ,и н х 1 ~., 1 1А23 — со«ее — + — с«6 — — — = ~„ 4п!« и! 4«! и! 2 Ь 11 — ««и!«!! х ! Ж 14тК 1.43 Представление в виде бесконечного нр!в!«веденин !.431 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
