Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 11
Текст из файла (страница 11)
В некоторых случаях сузцественио указать вполне определепиую первообразпую функцию. Такие первообразные фупкпии, записаппые в виде одределеяяых интегралов, помещены ле в разделе 2, а в других разделах. К этим формулам близко примыкают формулы, у исторг»к пределы интеграла и подывтегральпая функции зависят от одного п того жг параметра. Ряд формул при некоторых значениях постоянных (параметров) али при пекаторых соотвошеяиях между этими постоянными теряет смысл (капример, формула 2.02 8. при я = — 1, формула 2.02 15, при а = 6).
Эти значения постоянных и соотяопгепия между ними болыиеп частью бывают совергпеппо нско видны яз савой структуры правой части формулы (пе содержащей знака интеграла), Поэте»~у мы опускаем в этом разделе соответстнующие оговорки. Однако, если при тех значеяиях параметров, при которых некоторая формула теряет смысл, значение интеграла дается с помощью другой формулы, то мы зту вторую формулу сопровонгдаем соответствухнцим рааъясяеяием. Буквы х, у, С,... означают пезависпмые перемеппые; ~, л, ~р,... -функции от х, у, ц ...; ~', д', ~р', ..., г'", й, йт',... — их производные первого, второго и т. д.
порядков; а, Ь, т, р,... — постоянные, пов которыми следует, вообще говоря, разумоть любые действительные числа. Если какая-либо формула справедлива только при пскоторых значспиях постояппых (например, только при положительных, или только прв целых числах), то делается б» ое л нкопвклклкннык инткггалы от влкмкнтагных етнкпии 2.01 Основные интегралы . ~~ х"их=„— (я Ф вЂ” 1). а+1 Чра а= — ( — )и х. Г' г е" их е . в г(х= —. аа (яа ' м и г к.г = — сов х.
е. аг Г а* — — с18 х. 8. ьмм а .') с г = вес х. 1О еаза .' 18хех — !и совх. — = (и(и —. в!ва 2 )= а.г 'я ач — = ! в (8 ~ — + —.~ = (и (вес х + (д х). 2У' — -1 = вгс18 х = — агсс(8 х. 1+а ~ — л= ка — р = Аг(Ь х — 1и — .
1 !+а ( — Р 2 1 — а' агав~и х = — агссов х. УГ1 аэ АгвЬ х = !и (х+ )г ха+ 1). агах+1 сов г ах = и и х. — Фх — совес х. мяч * 12. ~ с(8 х Лх = 1и ыа.е. 18 18 =АгсЬх= !и(х+)гхт — 1). 5 вЬ х Лх = сЬ х. 21 — = — с(Ь х ва*а 23. 1Ь х г(х = ! и СЬ х. 2Ь вЂ” = !и(Ь-, ааа 2' сЬ х Их = вЬ х. — = (Ьх.
ела г с1Ь х о х = ! и вЬ х. 20 иютветствую цав оговорка, если только данное ограничение не следувч ив самого вида формулы; гак, в формулах 2.1484. в 2.442 6 никаких оговорок пе сделано, так как ив самого кх вида ясно, чгц-м лолкгяо в них быть аатуральпмм (т. е. целым положителышм) числом. иь Ввинннип 2.02 Общие формулы [ах а ~ ) !(х ~ д ~ !рь(х ~ с ~ !рь(х ~ ., ат (интегонрованнь по частим) (р')!~ 1!+ Ф )!а м .!. ! ц Чфя!1+ .( ( 1)а+! ) !ЬЬа+!])а 7, ~ р(х)нх ~ р[!р(у)[!р'(у)ь(р [х !р(у)) ( ())" т а+! При и= — 1 = )вр.
(а) + д)" )' ах = т (в+ О )'ах хр~а!хь 3 у',~~.ь )!р !р') ( / из р ) 'Р Р ах 1н— Ьр Ч' =+ ~-"~ ТО~ р) + Зй 5ч(ь+т!' = (п(!-)- 3/~+а). ==) ) ат а (' ах ь ( ах ()+а)И+Ы а — Ь ) ()+а! а — Ь ) <~+Ь> ' а=д При 1-- =~ (. О+а)' .') )+а " 3 ()-)-а)* ' ( — атс(д — . )'ав ! т/ )а ) афа рт уах 1 а) — р, аь)ь — !а врт т) -)- рт = — !и 16 17 16 19 9 10 11 12 13 !4 15 ~ а) ах = а ~ у !1т ~ [а) а- д!р -ь сф -!- .. — '1р ( =). ~ )*!р !)х = йр — ~ др' )!а4-аьр !(х !рр! (правило аодствновки) 10 т. икопгкдклкнпыв инткггйлы от элкмкитйгкых етпипйи .
° /'а = агса)в Ь' в> — /1 = — (и —. /в» 1 / а[+Ь/ ь ва/+ь' /' [» 1 — = — агсаес — . /ь'/'- ' а = ага)к — . =ага)к / /'+ф' [/ ф — /ф > Сх 1 ( / — ф /' — ф' 2 /+ф 20 21 22 2А РЛЦИОНАЛ)>НЫЕ ФУНКЦИИ 2ЛО Общие правила иктегрировавия 2ЛО( Чтобы проинтегрировать любую рациональную дробную функцию —, где Р(х) и /(х) — мвогочлекы, ие имеющие общих й[конштелей, Р [»1 /(х) нужно сначала выделить целую часть Е(х) (Е(х) — мпогочлен), если таковая имеется, и ваять интеграл от целой части и иктеграл от остатка Икгегрировавие остатка, являющегося правильной дробной функцией (степень числителя й>свыше степени знаменателя), основывается иа рааао- >левки ее на элемен>арные дроби. 2А02 Есле а, 6, с, ..., ю — кореи уравнения /(х) = О, а о, (3, у, ..., )>в их соответствуюпще краткостя, так что /(х) =(х — а)" (х — ЬР>...
(х — >Л), то — может быть разложеиа иа следующие алемектаркые дроби; ф(х> / (х> Аа Аа — „+ — — + ° "+ — '+ ! (х> (х — а)а (х — а>а — 1 ' х — а В а В Е[ В, ( — Иа + (х — ь>с-1 + " ' + — ь+ + ° ° ° ° ° ° ° ° - ° + а й/а-1 /111 + + хф+'''+:..~ „,>а ( ы>а-1 ' ' ' х-. >а ' где числители отдельных дробей определяются следующими формулами> ф[й-1>(, > (/йй-1>(ь> Ь[й-О( [(а-а+1= ~ Ва-й+! =, ..., Ма-й.[.1 = —— (й — О[ (й — 1>[ ' ' '' (21 — 1)1 р() ф'>( > р() — ф[>' ь>а р ()=ф(>' [[х> ° * — /(х) " х ' — /(»> Если а, Ь, ..., ю — простые порви, т.
е. а=()=-... =Р=1, то 1Г(») А В М + + + /(х) х — а х — Ь ''' х — >в' 2.1 РАЦИОНАЛЬЯЫН ФУИКЦНИ где Если некоторые корни уравнения )(х) = О мнимы, то, соединяя вместо элементарные дроби соотеетстыуюи)пе сопраженныч корням, можно после некоторых преобраеованвй соответствующие пары дробей представить в внд» действительных дробей вида м,. †'л, м, +л, мх +лх х'-,-хвх+С+(х2-Г2вх-)-С)а+ ' + (хх+2вх+С)Р ' 2 102 Таким обрааом, интегрированна правильной рациональной дроби —— (Р (х) ((х) лад Г и +Л приводится к интегралам вида у - или 3( А 2 с, 2(аь Первые д)а. ( -)- тх - х для сг) 1 дают рациональные функции, для а= 1 — логарифмы; еторые— рациональные функции н логарифмы или арктангенсы: 1 Хдх ~ а(х — а) =б а а-2 ' (х — а)а 1 (х д)а (О () (х д)а- ~' 2, ~ — л ~ — =у)п)х — а~.
Г Хах Г а(х — а) х — а 3., ' Вх = ' —, —,',, (- М. +Л, Л — МА~-(ЛС вЂ” МВ) х (А+2Вх+Сад)Р 2 (Р— () (АС вЂ” ВР) (А+ ~Вх-)-Сх-')Р ' (2Р— 3) (лс — мв) (' ах 2(Р— () (Ас — В*) ) (А+2Вх-)-Сх')Р-' ' 4 — = агс(д . ' [АС >Ва]; А+2вх+Схх У"Ас Вз У'АС Вз ( ( ~Сх+ — Р" Въ — АС~ ) С 2 ~'Ьа — АС ( Се+В+у'Ьа — АС ( + ' агстд (АС > В'); С Р'Ас — В2 У АС вЂ” Ьа --м ) )А+2В*+С*')+ лс -мв 1 ~сх+ — ), Вя АС~ 2С)ув-АС ) Сх+В+Р'Вх — АС) Метод Остроградского — Эрмита 2.1042 При помощи метода Остроградского — Эрмнта молшо найти рациональную часть (3 — -г)х без нахождения корней уравнения )'(х)= О и беа раз- 'Р Рб ((х) поженив на элементарные дроби: Ф П 49 Здесь ЛХ.
)(), Р, ~7 — целые рациональные функции от х, причем Р— общий наибольший делитель функции /1х) и ее производной у'(х), () = —, ()Х)() 72 ь. неон!шдвлвнпык инткггилы от алки«кнтигныл тхннцик полипом степени ие выше т — 1, если !я — степень полииома (), и «д! — по- липом степени пе выше и — 1, если и — степень полинома !',). Коэффициепты полииомов м в )А! определяются путем сравнения коэффициентов при одипакопыл стеценял х в следующем тождестве: р(х) -МΠ— М(т — О )+ МО, где Т вЂ”, М' и д)' — производные полииомов ' к (',), 1' (х) )« Ла 125(1) Ла 126(3) Формы, содержащие биномы « =а-(-Ьх 2.111 «» 1 1.
«тНх = — ' 1 Ь(т+1) ' При ш= — 1 »!х — = — (п«. ь 2. хи «(х иа 6 хи !Ых «т «'," ! (п+1 — «и! Ь ~а+1 — т) Ь ! «!т При и= т — 1 можно применять формулу: х'" ' !(х х»1-1 1 6 х"' "!(х 3. « «т 1(!в — 1) Ь+ Ь Л «'" ' При и =1 х»!(х ха ах" ' а"х" ' », а" «х, ( — 1)" ии — — — — +: — д" +( — 1)"-— «1 »Ь (и — 1) Ь' (и — 2) )ЛА 1.Ь" Ь» 1 1' и-1 А 1 ии 2.11 — 2.13 Формы, содеркащие биномы а+Ьхд 2.110 Формулы приведеяия для «д— - а+Ьхд. х '««А" Ла 126(4) и (ад)! (т+1) «в (!а — 1,...(т — «+1) «А т+1 Х (!»Д — , 'п+1) Цт — 1)к+а+1).
° ° Ит «) Д.т.и.) 1! .=с (ад)и"' т (т — 1 1.. (!а — И+1) (!а — р) +, ... „„. „....— ° ° 1*"" ""' Ла 126 (6) хи !«т А Ьгха и А т-1 »-1.1 — Д (' Ла 125(2) х»+1-А«а+! а(и+1 — й) ( и А» Ь (А«п+и-)-1) Ь (йт-)-а -)-1) .и+1«» ! Ла 126(5) а (а-)-1) а (и-1-1) 2.! РАПИОИАЛЪНЫЪ ФУНКЦИИ хИх в а —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
