Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Ж. («+р)» у' «+Ь«+с«» П1 (м«+л7) А~ Г «ь | — (=— (а+р«+«»)»» Ь с(«в+Ъвз-) е») ~ в с ' в с /' 1. $ * * (»(х) у'а+Ьх+аз»+Х 1,, где()()д)— у.+ь - .~ )/ «» Ь«рсс» ввяогочлги (г — 1)-в степени. Его козффицненты, а также число Х вычисляются по неводу неопределенных коэффициентов ив тождества Р (х) в)' (х) (а+ Ьх+ сх') + — ч) (х) (Ь+ 2сх) + Х. Интегралы вида ~ ...., (при га, 3) можно также вычислить. Р(*) «« Ь'а -Ь + пользуясь формулами 2.26. П. Интегралы вида ~ Р (з) ас — при условии, что степень и (х+р)" ) «-~-Ъз+сз» $ иногочлеиа Р(х) шоке й, с помощью подстановки г= приводятся к а+Р интегралу вида ~ — (см.
также 2.281). Р (в) «т Ь' а«рв+тв» П1. Интегралы вида в (Мз ( ст «х вычисляются сле- (а+5«+е»)с» Ус («в+Ьвз+ ъ») дующим способом. 2.1 АЛГИВГАН 1ИСКИИ ЕУНКЦИИ Если Ь ~ [), то при помощи подстановки 2.26 Формы, содержащие )/а+ Ьх+ схе и целые степени х Обозначении: В=а+ Ьх+сх*, б 4ас — Ь* Упрощенные формулы для случал Ь 0 см. 2.27. 2.260 '[/Яе +е бх — х»е-е)/)ае» е (ге+2»+2) с 2 (се+2»-)-2) е е ~ и ~)//(' "~с(х. Т(192) и 2. ~ [/Ла"'г 4х= $/А~' '+ + — [ Уйа" гбх.
Т(188 4 (»+1) с 8 [а+1) с,) ~ [/-д —.-.,(, (2»е+ь))/Я (7(» ! а [»+1) с ). (2 +1)(2 — 1)...(2 — 2Ь+1) / Ь '~"+ „~1 вь е» (а — 1)...(а — й) 1 с а=в (2 3-1)9, Д ~ Н-е Р + 8».. (а+1)) ( — „, ) ~,/=. Т(190) 2.261 При и= — 1 = = — ! и (2 [/ сЯ + 2сх + Ъ) [с > О[; ь~н ь' с ==-Агв)г= [с> О, Л> О[; )/с уа = = агав!а — [с < О, Л ( О[; — 1 . 2»а +Ь )' — е Ь' — а )п(2сх+Ь) [с> О, А=О!.
Ь' е Т (127) Д (380 001) Т (128) Д (380 001) ас — о е — 1 )/(ае — а)е — (оь| — а»3) (3 — Ьс) 6=-Ь, + с+1 - Ь, втот интеграл приводится к интегралу вада ~ Г,гДЕР(1)— Р (1) ас Ьи+р) " ( х-(-ч) многочлен степени не выше 2т — 1.
Интеграл ~ сводится Р (Е) ат (е +ру" (/с~+с ею г ю к сумме интегралов вида ~ И ( и + р ) С ) Е Л Г ( и + р ) Ь Се + Если Ь, [), то к витегралам вида ~ —.— — — приводит под- Р(1) лй (1»+р)е )/е (Сс-)-Ч) становка 1 = х + —. ь, 2 Интеграл 1 свс берется с помощью подстаяовки 1»+о=к' е (Се+ р)~ ') с(Р+т) Иатеграл ~ и берется с помощью подстановки ьи+р)" у е(м+т) о (см.
также 2.283). Ф11 78 — 82 )/ 1»-)-т 96 и иисисилииииисаи иисиспаиьа О~ злимимсАпиыи смикиии 7. ~ хп (/Лп ах=~ — +-~:;-) 7 Ф+ гЗьа " Здсь е ь — — и) — ~ = (см. 2.26(), Ьс / 512са 2 УЛ 2.269 ап-1 (2па — 2п — 1) Ь 1 псп с ап 2 (гп — 2п) с ) сп+ (са — 2п)с У))сп а (са — 1)а (' и'" «Сп (са — 2п) с ) удъп с Т ((93) и При сс=2в 2. ~ 1 у.--.'*+ ° 1 у.——,,..—-, ; .
Т ((94) и (сп — 1) с УЛп' с 2.262 2- ~ с)/Лс(*= ~„. — 5,* )//) — 1си ~ ул (см 226(). ул. (~п+ь) ь — ьл г з. ~ )/ль=~ — — — ',,'„~уФ+ /5Ьс а 1 (2са+Ь) Ь' В + ~1СМ Ь. / Ьс (55' а) Ь ( 25 2 ь (2 +ь) У)) 22. Ьс Ьс — ~ —,'"- — ~,'-) — '~ " ( . 2.26(). и 6.
~ )/10 с(с=( — + —,) (2св+ Ь) Ф /1 + 122с ~ —.— (см. 2.26$). 6. ~ с)/В' с(с= — — (2сх+ Ь) ( 1ьсс )/В'+ — $/В)— злсь г с — — (см. 2.26(). 255 .) уК 97 22 АИРББРАИИИСИИИ С»УИИИИИ т(189) 3 4 (см. 2.261) . — — — = (см. 2.261). Ьгд Ь Г Зх с 2с Ь Ьгд ( 5Ьх 5Ь» 2а 1 г— — — — — — УУВ— Зс 12св + Нс» Зс»,) (с . 2.261).
(см. 2.261). 2 (2»а+Ь) л у'д 2 (2а+ Ъх) л Ьгд (л — ь') — Заь 1 [ Зх (см. 2.261). ел у'и ° 3 ЬГд аЛх*+ Ь ((Осе — Зь*) а+ а (Зас — ЗЬ») ЗЬ 1' Зх , 13 — (см.. ). с»Л Ьгд 2с* 3 Ьгд Ьг и» е(х = ха Ь" Д»а+» (2а 2,„+5) Ь Г )/гД»с 1 (с» — 1) ах»» 1 2 (п» вЂ” Ц а ~ х"' 1 е(х+ (2а — и+4) с [ Уд'а'а» у(195) (໠— 1) а Д При т= 1 »(ххх Ь + — ~ )»гй~" 1»)х+а ~ Ь 1(х.
'Г(198) При а=Π— '+ Ьг(Ьх+ех')»" 1 2 ЬГ~Ьх-' сх»)»в'в е(х = хв (2а — 2»а+3) Ь*"' 2(໠— 2а — 3) е ( Ьг(ьх-с-сх~)~~" Л 169 3 + (2а — За»+3) Ь 3 х"» 1 При ха=О см. 2.260 2. и 2.260 3. 7»»славы авва»в»лев 1 2 3 4 5 2.265 Зх )ГД»ад» Зх Ьгд»а+1 а — ! х ~1+ ~~3, а=1 2(2»х+Ь) 3(а — 1)е ( сЫ (За 1) Л ),'д»=1 + (2а — 1) Л ) Ьгд»а-1 2(2сх , 'Ь) — Х (За — ЦЛ Ь' и» (~ 3)(2 5) (2 24 1) лв )»")" [п>11. Т(191) 98 2. нвонгвдвлвнньгв интвгвьлга от алвмвнтагнбгх эгнвнии При и= — 1 и т=1: — — — )в + Ь вЂ” - [а >О].
т(1з7) х 1 2а -1- Ь.с агсагв ) 2а+ Ьа. ==вгсбз „вЂ” — ° . [а <О]) — =Ага)г — [а> О, А> О]; Д(380111) = — =АгьЬ + [а > О]; Ьса 2 У' а Ь"Л = =- )в — [а > О, А =- 0]; у, 2а-)-Ьх гчь Ьс* [, О Ь,о] ' Л,170(16) Ьх 2.266 ах х фсЛ [ <О, А(о]; т(1зз) Ла 178 (6) и Прв а=О Ьх+ схс+— Ьс(ьх+схс) Ъ~ (Ьх+схс)с ЗЬ вЂ” — с ЗЬс (' ах хс (см. 2.261) З(Ь +2 -ббс)],,— +З(, ( )х З ( ах ба (см. 2.261 и 2.266). 2.267 1. ~ =ф'"В+а ] * + )' ~ = (см. 2.261 и 2.266). При а О Ьс Ьх+схс 2 ф' Ьх+схс ~ ах х" х „у'Ь ) Ъ З. $, = — (' —,+ —,) ф )7-~ — — — 2) ~ (.. 2.266).
При а=О 1 — г —— ф' Ь~+~х* 2 Ьс (бх+сх*)с — — — — — ЗЬхс 4 ~ ГсК,( = Гс)) гб а Ь+8 рй+ х 3 8с +ах~ + а с Зх Ь (\зас Ьс) с ах у'Л )~ З ~гл = (см. 2.261 и 2.266). 5. ~ — "с(х = — Ь ' +'х+ ] ~ЛЬ+ — (2сх+ ЗЬ) ]/В+ +-аь'~ =+ з г ах з(ь -)-ьс) г ах 2 ) хр')) 8 з у'и = (см. 2.261 и 2.266). З,З ВЛГИНВЬИЧВСНИВ ЭЗсНННИИ При а=О 2.268 т Ьс)з(з з (аз 1) -з ) еда з (Зв+2сз — 3) Ь (' з(з (2в (-2зз — 2) с (' Зх Л(св — 1)а З хв-зу'дзв з (в — 1)а ) хт-з)/дзв+з ' При из = 1 При а=О Их 2 ,. У<Ы.~ Ьх')Ьвз( (2в+~ О( ° зс (Ьх Ь, .)з(4в+2вз — 2) с ( ах („„+2 - 1)(,— ) —, Ьс — --- —,-,— —, (сравни .265). 2.269 1. ~ — (си. 2.266).
усд Нх ЬГД Ь Г Зх (см. 2.266). При а=О / ~,г — — з Нх 2/ 1 2с ~.г — — з = — — з —,) з ь -; —.~. При а=Π— ') Зх 2 г 1 4с Зез = — ~~ — — +,, — )~ Ьх-)-сх5. гЬ ( з 5 Ьаа ЗЬ х ЗЬзх ,(х 2 (Ьсх — 2ас+ Ь ) 1 ~ ах ( 3 хЬсдз аа )ад 'з 3 х)' Л При а=О .. =-~=- — — ) . —.. Зх 2 / 1 4с Зс*х '( 1 х Ь' (Ьх+ сх')з З З. Ьх Ь Ьз Ь' Ьх (-схз' 5. 1,—.-( + + 3- Зх з 1 2Ъе с (ЗЬ' — Зас) х з 1 ЗЬ (' Нх ~~Гд ~ А зв,)у'д 2' 3 у д (си 2. 266). При а=О Зх 2 Г 1 2с Зсз 16езх~ 1 — —,+ — — — — —,) — —— хз р'" (Ьх ). ехз)з 5 ~.
Ьх» Ьзх Ьз Ьз с' у"Ьх.(- азз 6. е(х Л 1 55 15Ьз — 82асЬз+ 24азез хз р' дз 'з„ахз Зазх Заев Ье(15Ьз — 52ае)х'з 1 15Ьз — 12ас 1 Зх Заза /Зу и+ За 3х Ь и О При а=О з й. нвопивдвлвнныв интвгвалы от элвмвнтадных отнкции 2.27 Формы, содержащие )l и.~. ох* в целые стеиеии х О 6 о з и а ч е в в я: и = )1 а+ схв. 1д [а с 0 и с > О). и-! ь-с х!!х 1 ив +д ( 1)с Д (201.9)и в ' 1 хив 1 схив 1 а!хи В с 24 с 16 с 1ав1 18 е Д (203.9) и =1в [х)/с+и) [с>0]; )Г е = атсйвх ]~ ' [с < 0 и а > 0). ~à — е =1и" [а>0 и с>0); 2ф' д и+ф'с =1в [а> 0 и с( 0]; 2 р'" а ф а+и / с 1 / а ахсяесх )1 — — = =асссоа — )/ р' — д д х ив д)х = -~- хие+ — ахи'+ — ад хи+ а'1 . к 1 5 в 5 5 24 16 Б и !дх — хи + — ахи+ — а 1 . 1, 3 3 4 8 8 1 1 ис(х = — хи+ — а1 .
2 2 ~ ах !)х 1 х ив а и 1хдв ддхи ддв хви!дх — — — — — — — — 1 . 4 с 8 е 8 с хв 1 хи 1 д — д1х — — — — — 1 . и 2 е 2 е вд х 1 — д(мхи — — + — 1 . ив си 1 хв — два= — —. ив 3 див д — 2 д с х" дх ! с ., ив™'д (2и — 3) свисс в 12и — 1) свив Д (230.05)и Д (230.03)и Д (230,01)и Д (200.01)и Д (200„03) и Д (232.03) и Д (232.01) и Д (202.01) и Д (202.03) и Д (202.05) и 101 й.й А»»геВРАичисиии Фуннпии ав (Зв 1 ез зв-» Д(205 0)и х'и' е(ив 1 авив авеив айви» а»вив Заеви 3 ав 10 с 16ев 32сз 128св 256ез 256 сз й 1 ввез 5 си»из Зазвив Займи 5 ае 8 с 48 сз Ь4ев 123сз 128 сз й' Г ав 1 взв 5 айви 5 айви 5 аз 3. ~ — »(х= — — — — —,, + — — — — — 7.
и 6 е 24 с' 16 св 16св Г вв 1 вв 5 авв 15азв 15 аз 4. ~ — с(х= — — — — — — — + — — Х . аве 4еи Зева 8сви 8св Гав 1 ав 10аа" 5авв 5 а 5. — с(х = —, — + — — + — — — —, — У». * )ив 2си' Завив 2 свив 2св Гав 23вз 7 айз азв 1 6 ~~ — ~(х= — — — — — — — + — ) ив 15 свв 3 езиз евмз сз Гвв 1 е 7. ~ -7»(х= — —. 4 и 7 си»' в-в свае 1 ~» ( — 1)" »»в — 4'» с ез"'з ив"'» ав в ~.~ 24+7», 4 ~ мзй"» 4=-4 в» (в 1 За Заз Я ивв» (2в — 7) евизв» (2в — 5) свив" в (2и — 3) с»и»в * -+ — - + ав + (2в — 1) сввзв» ' Д (206.01) и Д (206.03) и Д (206.05) и Д (гО6.О7) и Д (206.09) и Д (207.9)и Д (241.05)и Д (241.03)и Д (241.01)л Д (221.01)и 1 в'ив ави' а*вас Займи Зав 1.
~ хвиве(х= — — — — — + — -+ + — Х . 8 с 16 с» 64 ее 128»е 128св 1 азиз авив азйв ав 2. ~ иаис(х= — — — — — + + — 7. 6 е Зсз 16ев 16св Гее 1в"и 3ави Зав Гав (вм ав 3 в 4 Г И вЂ” + ) из 2 е с*и 2сз Г вв 1 ав 6. ~ — а»и= — —. ив 5 аив ~ авив 1 ~ ( — 1)" (в — 3) ест»в'з й=с 6. ~ —,= — +, ввв»(в 1 2а изв'в (2а — 5) сзивв з (Зв — 3) свив" * 2.274 2.275 ив вв 1 1. ~ — »(х — + — аив -(- а'и -)- аз1 . .') ° 5 3 й' г из ив 2, ~ — »(х = — + аи+ ай1 . 3 в' 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
