Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Степени гиперболических функций и гиперболические функции от линейных функций аргумента 2.425 1. ~вЬ(ах+5)вЬ(сх+Н)4Ы=ев--+-]вЬ[(а+с)х+ Ь+Ы]— — — в вЬ [(а — с) х+ Ь вЂ” Ы] [а' Ф с']. ГХ1 [352] (2а) 2. ~ вЬ(ах+5)сЬ(ас+41)4вх=~ сЬ[(а+с)х+ 5+44]+ 1 + ~ — — сЬ Иа — с) х+ Ь вЂ” 4К] [а' ~ с']. 1'Х1 [352] (2с) 3. $ сЬ(ах+5)рЬ(ос+а)4(х=2 вЬ[(а+с)а+5+а!]+ +.— вЬ [(а, с) х+ 44-Ы] [ав *Р с*]. ГХ1 [352] (2Ь) 2 С РИПВРВОЛИЧИСНИЕ ФЪ ИННИН При а=с. 4.
$ вЬ(ах+-6) зЬ(ах-+ с() ь(х= — — сЬ(6 — сс) + — зЬ(2ах+ 6+4)). ГХ1 [352] (За) 5. ~ зЬ(ах+6) ОЬ(ах+с() с(х = — вЬ(6 — с))+ — сЬ(2ах+ 6+ь(). ГХ1 [352] (Зе) сЬ ( — а ьЬЕ-с) х 4( — а+Ь+е) 1'Х1 [352] (4а) 1. ~ вЬахзЬ6хвЬсхсЪ= — +--+ сЬ (а+Ь+с) х 4 (а+Ь+е) сЬ (с — Ь+е) х 4 (а — Ь+е) сЬ(а+Ь+с) х зЬ( -с+4+с) х 2.
] ВЬахвЬЬхсЬсхь(х= 4( + — + зЬ(а — Ь+е)х сЬ(аС-Ь вЂ” с)х ГХ1 [352] (4Ь) 4 [а — Ь+е) 4 (а+Ь вЂ” е) сь (а-~-Ь Ьс) х сЬ ( — а+4+с) х 3. ] зЬахсЬ6хсЬсхссх 4(с+ь+е) 4( — -- ) + + сЬ(а — Ь+е) х + сЬ(с-~-Ь вЂ” е)х 4 (а — Ь+с) 4 (а+Ь вЂ” е) с)ьсхс) 6хс) схс(х сЬ('+4+с)х -(- сЬ( с+в+с)* „ 4 (а ЬЬ+е! 4( — а+ Ь-(-с) 2.427 1.
~ в)РхвЬахь)х= — евЬРхсЬах — р ь в)Р ьхсЬ(а — 1)х(схх'ь Р+а Ь 2. ~ зЬ" х вЬ (2и+ 1) х <(х = — -- — х г(+) Р ( — +а) -1 (',"'.ь — ) с[2( .,' ь- ьс -есько†.ь > — ь — — *ь ~ь — ььЬ*) )ь 2 Г (Р— 2Ь) [р не равно пелому отридательному числу]. 6. ~ сЬ (ах+ 6) сЫ (ах -(- ь() ах = — сЬ (6 — с() -(- — вЬ (2ах -(- 6 + с)). ГХ1 [352] (ЗЬ) 2.426 118 в, нвопрвдвлкнныв ннтвгралы от элкмкнтарных етнкции 3.
~вЬ х Ь2их( = """" х Г Я+в+1) Г ( — + — 2Ь вЂ” 1) / Р вЬ~ въ — ' х вЬ (2и — 2й — 1) х ( 2 ~в*'г (р †) [р ие равно целому отрицательному числу]. ГХ1 [352] (5) и 2.428 1, ~ в)Р х сЬ ах (й' = — + — ~ вЬР х вЬ ах — р '] вЬьв х вЬ (а — 1) х Ых ~, 2. ~ в)РхсЬ(2и+1)хс(х= +,' х а — 1~Г(р+1 ) „2в) ]2 („' е "*ье —:Й-~-О.— 2В~+~Г (р — 2В+1) Г [ — +и — 2а) — вЬ в" — 1хсЬ(2и — 2й)х + 21~+ВГ (р — 2й) ГЮ-") ..-,;:.. .,] "- - -> [р ве равно целому отрицательному числу). 3. ~ вал сЬ2ихс(х = х Г (Р+в+1) ]",'Г Я+-- ) х ~ 2. ~,, вЬР-въ х вЬ (2и — 2)с) х— 1=.~" ..
— + Г(2+-- — 1) ( "СФ вЂ”.-') с 2" +'Г (р — 2В) — вЬ~ вь-'хсЬ(2и — 25 — 1)х]-)-,„,; — [ вЬ~ 2"хах Д 1(р+1-2) [р неравно целому отрицательному числу]. ГХ1 [352] (6) и 2А29 ~ с)РхвЬахах= — ] сЬРхсЬ ах+р ~ сЬ" 'хвЬ(а — 1)хИх[ 1 с -Р+в 2 ;р+З ...,. ) [р ве раааа целому отрицательному числу]. ЯА РИНЕРВОЛИЧЕСБИЕ ФВНКЦИИ [-' "(-"+"-') 3. ~ сЬ~хвЬ2пхЫх= ~~~ ~~,„, )( г[ па+1] )(сЬР пхсЬ(2п — Цх+ —.-„, '1 сЬ' "хвЬпх1(х авг(р — +1) д [р не равно целому отрицательному числу], ГХ1[352](7) и 2.432 вЬ (и + 1) х вЫ" ' х 1(х = — яЬ" х яЬ пх. и яЬ(п+ 1) х сЬ" 1хдх = — сЬ" хсЫ их. сЬ(л+ 1)хвЬ" 'х1(х= — вЬ" хсЬах.
1 сЬ(п+ 1) хсЬ" 1хаъх = — сЬ" хвЬлх, 1 вЬ(2п+1)х ( 2 и вь(2п — 2а)х вЬх ~1 2п — 2Я + х-0 и — 1 вЬ2пх ( ~1 вЬ(2п — 2Я вЂ” 1)х вЬ х ~) яп — 2$ — 1 х=е 1 сь(2п+1)х 1 2 'Ч сЬ(2п — 2Я)х ВЬ х С- яп — 2В в-в ГХ1 [352] (53) 2.431 1. ~ сЬ" хсЬах1(ххп — [сЬРхяЬах+р ~ сЬР 'хсЬ(а — 1)хс(х~, 1 ( р+х 1 2 --"-"--»" „.'„,["-- ' ") [р ве равно целому отрицательному числу], )(РЬР "хяЬ(2п — )с)х+ ~ сЬР пхсЬпх1(х 2 г(р — +1),1 [р ие равно целому отрицательному числу]. ГХ1 [352](8) а 120 в.
нкониидклкннык инткгтвлы от злкмкнтивных етнкциа ГХ1 ]352] (6с)) ГХ) ]352] (74) ГХ1 ]352] (И) вЬ2 г выли (п — 2) вЬ" *х При вьгх У =21 вьх. вь2« Вх сЬ« х (2 — и) сЬ«-в х 10 11 и 2: При 2)исЬх. 2 сЬ х + )и СЬ вЂ” . 2 — ССЬх+2 . 2вЬ*х+2 2' 2 вЬ х — атсвйн (СЬ х). — СЬ х+ 2х. вЬх 2 — — + — агав)и (СЬ х).
2сЬ", 2 х -)- вЬ 2х. 31к СЬ вЂ” +4сЬх. 2 — 3 сСЬ х+ 4х. (1 — в) сЬ" 'и (3 — и) сьи-в х 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 сЬгпх 2 х~ сЬ(2п — -2й — 1)и 1 СЬ х с(х= ~~ .. + нС с(х= Х 2 ~, + нС 2. и-0 и — 1 вЬ(2«+1)х ( 2 ~Х~ ( цвсЬ(2и — 2й)х+( ц«) сих в=в и-1 вЬ 2их 2 ~ с цв сЬ (2« — 2й — 1)х сьх Х2 С 2« — 2й — 1 А=с и-1 сЬ(гп+1)х д 2 ~ ( цивЬ(2« — 2й)х+( цпх сЬх ХВ 2« — 2й й=с и-1 вЬ 2х сЬ 2х ~ сьгх ~ вьг ~ вЬ3* 121 2.4 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Прил 1ип=З: вевх (3 — и)впи 'х (1 — и)впи вх Прк и= 1 и п=З: 26. ~ с(х=2БЬвх+!ББЬх.
28. 1 с * в(х=вЬ2х — х. ,) спх 29. ~ — с(х = 4 БЬ х — 3 авев(п (СЬ х). г сь2 Ьв 30. ~ "', * с(х = 4х — 3 СЬ х. 2.44 — 2.45 Рациокальиые фуикции от гиперболические фуикций 2.441 А+В впх а — ЬА сЬ х (а+Ьвпх)" (л — 1)(ав+Ьв) (а+Ьвкх)" 1 + 1 (' (л — 1) (аА+ЬВ)+(л — 2) (а — ЬА) впх + (и-1)(ав-)-Ьв) 3 (а-~-Ьвпх)» в При и= 1: 2. ~ + с(х= — х —: ~ (си. 2.4413.). Г А+В впх В а — ЬА (' в(х а+Ь вЬв Ь Ь 3 а+ЬвЬх 1 2 3.
а СЫ вЂ”, — Ь+ 1' ав-)-Ь» = — — 1п .+ь.ь * — уав+Ь аСЬ вЂ”,— Ь вЂ” у ав+Ьв а СЬ вЂ”,— Ь вЂ” — ЛГСЬ Ь'"ав+ Ьв Уав+Ь" 2.442 А+В сЬ . В Г Лх (а-( Ьвпх)" (л — 1)Ь(а+Ьна х)л '+ .) (а+Ьвпхсх ' При пии1: 2. ~ — — с(х= — Ьс(а+6БЬх)+А ~ (ем, 2А41 3.) 2.443 А+В сь х а — ЬА вЬ х (а+Ьспх)" (» — 1)(ав — Са) (а+Ь спи)и 1 + 1 Г (и — 1) (ал — ЬВ)+ (и — 2) (а — ЬА) спх (л — 1) (ав — Св) (а+Ьсьх)" ' 122 2. нкопгкдклкннык инткггллы от элкмкнтагных егцццяи При я=1: +Ьсь .
Ь 1 а+Ь сЬ 1 Ь+а сЬ т — — агсв(п — (Ьх>ах, х~О); Ьгвс аг ад ЬсИх 1 а+ Ь.(- Ьгха — Ьа СЫ— г У а+в — Ь'а Ьа 1Ь )ав> Ьв), с(х Г х+а х †Š'х — =соеесЬа ~)п сЬ вЂ”.— — 1п сЬ ,) сЬ а -)-сЬ а 2 ах 2 2,г' =2совесЬаАг(Ь(ЬЬ вЂ”,(Ь вЂ”, ), ах I х ад 2. 1 . = 2 секес а агс(3 (ЫЬ вЂ” 23 — ~ . ,) оса а+ сЬ х 2 2.г' А+ВвЬх ( В 1) ах (а+ЬсЬх)а * (а 1)Ь(а+ЬсЫх)а-г З (а+Ьсьх)а Прв я=1: 2' ~ ь Ь Их ь )о(а+ЬсЬх)+А ~ ь Ы (см' 24433') Прв вычислении определенных интегралов с помощью формул оп, 2.441 — 2,443 к 2.445 нельзя переходить через точна, в которых подыптегральная функция обращается в бесконечность, т.
е. через точки к Агвь( — ь) 2.446 А+ В сЬ х ( В вЬ х (с -(- ~ Ь х)" (1 — и) (в+ сЬ х)" а- 1 а ~ (а — 1)1 (2а — 2Ь вЂ” 2)! 1 с" +(в'1+:1,) (2в — П~ *Х (,— Ь вЂ” 1)! '(,-) сЬ ) -а ~'=~1 Я~Ч. в-с Прн я=1: в формулах 2.441, 2.442 и через точил ад х=АгсЬ ( — — ) ь| в формулах 2.443, 2.445. Формулы 2.443 при ав= Ьв кепрвменнмы.
В втих случаях вместо нях можно прямвннть следуюп(не формулы: Вх ГИПВРБОЛИЧИСЕГИИ ЮУНКИИИ 2.447 а )асЬ( х+Аг(Ь вЂ” ) — Ьх Ь ~ вЬ х Нх г 1. асЬ ) Ьвих ав — Ьв Ьс — а )и вЬ (х+ АгСЬ вЂ” ~ Ь / |а> |Ь!1; |6>|а||. МфК 215(и) При а = Ь= 1: хивах х ! -вх сЬх)-вЬх 2 4 При а= — Ь=1.' 3 3 *ах ! ! вв е сЬх — вЬх 2 4 Мф К 215 2.448 ах — Ь )и сЬ(' х+Аг(Ь вЂ” ) Ь'ъ | >|ь!|; — ах-)-Ыс вЬ (х+Аг(Ь вЂ” ) — — — ~ь>| ||. 1. сЬ хах а сЬ х+Ь вЬ х При а =Ь= 1: си*ах 2.
— = —.— — е .) сЬх+вЬх 2 4 При а= — Ь=1: сЬхах х ! сЬх — вЬх 2 4 МфК214 и 215 2.449 ах ! 1. (асЬх+Ьвих)» у (ав 4~) ех сЬ" ( в+АгвЬ вЂ” ) аГ Ех у'(Ьв ав)а При и=1! агс(((|вЬ(х+Аг(Ь вЂ” || |а > | Ь|]; а ! х+ Аг)Ь— — )а 1)) — . |Ь> |а||. е = уь* 2 Их 2 асЬх+Ьвих При а=6= 1: — е " = яЬ х — сЬ х.
е* = вЬ х + с)) х. МфК 214 3. сЬ х+ вс х При ахх — Ь 1: 4. ех сЬх — вЬх |а> | ЬЦ; |Ь >)а||. 124 я ВВОНРелелииныи иитВРРАлы От длддвдинтАРддые ФУнкнии 2.451 А+В еЬ х+С вЬ х „Ве — СЬ+[Ае — Са) сь х+ (АЬ вЂ” Ва) вЬх (а+Ь сЬ х+ е яь х)Я (1 — а) (ад — Ьд .[ Ы) (а+с еЬ х-[-е вЬ х)Я д 1 (а — 1)(ав — яд+ее) Х (в — 1) (Аа — ВЬ+Се) — (и — 2) (АЬ вЂ” Ва) еЬ х — (а — 2)(Ае — Са) яЬ х (а+ЬсЬх+евЬА)в д [ав+ св Вв ЬЯ); Ве --СЬ вЂ” Са сЬх — ВавЬх [в — 1) а(а+ЬсЬ х+евьх)" Г А х(ВЬ вЂ” Се)И [в — 1)д +[ — + ( ), ~(ссЬх+ЬВЬх) ' х «-д д д (2х — 2й — З)дд 1 ! — — >~.
(-тъ а Ат е~ в=я [ав+св=ьв]. ( — Ь) 1Ь вЂ” ', — + у'ая — Ьв+ Ь 1 2 П У ад — ЬЯ+е* (а — Ь) ВЬ вЂ” — е — У ад — яд+ее 2 [Ь' < ав -[- с" и а ~ Ь); = — )п(а+сЬЬ вЂ” ) [В =Ь, с ~ О[; 2 [Ь" = а'+ св[. (а — Ь) ВЬ вЂ” +е 2 2.452 ГХ1 [351) (18) А+ВсЬх+СвЬх [ ( [ ад+ЬдсЬх+едвЬх 1. 1 ( -~-А" .> )("»», СХСХЗД Ъ,Е тххх А» и д[х ах +А 1 + д 2 ад+Ь сЬ +ее вЬ + я,) а +Ь,сь -[- вь РИС а ь, ед !Ьд ед! !ед а ! !ад Ьд! а ь ад Ьд!в !Ьд ед!я !ед а ев а [А+Веь +С Л С вЂ” В + ) а-[. Ь сЬ х+ е вЬ х Ьд — ед — 1!В(а-[-ЬсЬх )- ЬВЬх) [аЬ Ф 0). д[х 2 2 4.
[Ь вЂ” а) ЯЬ вЂ” +е агс12 а+ЬсЬх+евЬх у'Ьд вд ед у" Ь* я [Ьв > ад+ св и а -ь Ь[; 125 й 4 Рипехпсаичесния Фупнпии ас Ь~!х !Ьс сх!х !ас ас ~! "!'+!':::!''1::"П. ГХ1 РЬЦ (13) А спх х+2В хЬ х сь х+С хпх х г. ° 1 а сьх а+ 2Ь хь х сь х 4 с хьс х 4 ' — *([4В Ь вЂ” (А+ С) (а+ с)[ х+ -(- [(А + С) Ь вЂ” В (а + с) [ 1п (а с 5Ь х+ 2Ь ЬЬ х с)ь х+ е вИЬ х) + .1- [2(А — С) Ьх+ 2ВЬ(а — е)+ (Са — Ас) (а+с)[~(х)), сь 4-Ь вЂ” у'ь — « 1(х) == — 1п— 2 ЬХЬ' — аа сьь х+Ь+у'Ь~ — аа 1 сььж+Ь ахссд У'а~ — Ь* Ь' ас-- Ь* 1 с СЬ х+Ь [Ьс> ас[; [Ьс < ас[; [Ьх= ас). ГХ1[351)(24) 2.455 $ (А+Вас х)ах 1 ! (Ах+ ВЬ)1п!15 х ! 1 -(-(АЬ вЂ” Ва) 1п! „~ ! [ . 2.453 ~-'"'""Ь*'Ь" — *=-'~'"!" г!+("-")$ 'Ьхь 3 (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
