Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 19
Текст из файла (страница 19)
ь-г ь г и 6. ~ хг""СЬхг(х=(2и+1)! ~~~~ ~~ . + вЬХ вЂ” — СЬХ~ ° в=в 7. ~ хвЬХИх=хсЬХ вЂ” вЬх. 8. ~ хг вЬ х Хх = (х'-(- 2) сЬ * — 2х вЬ*. 9. ~ ХСЬхг(х=хвЬХ вЂ” сЬХ. 10. ~ хг сЬ х Нх =- (ха + 2) вЬ х — 2х СЬ х. 2.473 Обознвчвнне в о+ Ьх а в 1 в Ь «х ~ х ~ в г с Ь й х ~ в Ь «х ь 2. ~ в, СЬ «ХИХ = — г вЬ «х — — СЫсх. ! Ь г«г ' 2«гг 3. ~в'вЬ«ХЫХ= — (~+ — )сЬ«х — вЬ«х.
! «~ «) «й 5, $ ~ вЬ «х г(х — '(в*+ — ) сЬ Йх — —, (в," + — ) вЬ Йх. 136 В. НЕОПРЕЦЕЛЕННЫЕ И1РРЕРРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 2.475 вьо» (р — 2)всхх+дхвьх 'хс)1» хх (р — 1) (р — 2) х» + + д(д — !) ( вьд1» д + дх 1 вьхх (х ~21 (р 1)(р — 2) д хх- (р — 1)(р — 2) ) 1 оьо (р — 2) )1 +в*с)1 ха» (р — 1)0 — 2) 'Р ' д(д — 1) 1 сао ох хх д* ( с)14» (р — 1) !р — 2),) х1 " (р — 1) (р — 2) ) -в »ХХ'1 А=О х — 1 в~р х — 1 д вас (гв)1 4 д 1(х 1 хх 3 »1»+1 х(2л]! ) .Р) х сЬ х+ в-о х-1 + ~х~~ ~14 1 вьх[ + 2,)! ЕЫ (х), (го+!К х-о х — в сЬ» 1 1 ( ~ (24+1)! в=о ю-1 + ~~ — 'сьх~-(- вЬ1(х). (24)! 1 х-1 С С)1» (23) ! 6.
х) хх„„с!х= —, Я вЬх+ х=о ™ х — 1 ГХ1 [353] (ба) ГХ1 [353] (7а) ГХ1 [353] (6Ь) ГХ1 [353] (6Ь) ГХ1 [353] (7Ь) гх( [353] [7ь) б) —, ( +3сьх~~ . ГХ! [353](31) 9. ~ хвЬ х1(ххх — вЬх — — вЬЗ» — — хсЬх — — сЬЗх. в 3 1 3 4 36 4 12 10. $ х' вь'х 1вх — — ( 4 + — ) сь х+ ( —, + — ) сь Зх+ Зх + — вЬ х — — вЬ Зх. МфК257 2 13 11.
~ х сЬ*х а(х = — — сЬ х — — ОЬ Зх+ — х вЬ х + — вь Зх. 3 3 х 4 26 12 12. ~х сЬвх1(х=( — хх+ 2)вЬх-(-( — + ~)вЬЗх— 3 х — — х ОЬ х — — сЬ Зх. МфК262 2 13 137 Оо РИПИРБОЛИИИСКИИ ЮУНКЦИИ а(х= —,,—, ~ ( — 1) ( )сЫ(2т — 2й)х+ + 1 йв ( ) 1Бх, ГХ1(353)(6с) "*"'* Ых = — „'„~~ ( — 1)'('"+1) БЬ (' — 2й+ Ц . ГХ1 (353) (66) о(х= 2а -, ~3 (ь)сЫ(2т — 2й) х+ + —,( )1Бх.
1'Х1(353)(7с) с~ * ((х= —,~ ( ~+ )сЫ(2т — 2й-Г 1)*. ГХ1[353] (7с) а=о а-а + —,—, ~ ( — 1) '( ь ).[ — — (2т — 2й) БЬ1 (2т — 2й) х) . а=о х~' 1 + ) — (2т — 2й+1)СЬ1(2т — 2й+1)х~. а — ь — —,—,~ ( )~ с ( ) — (2т — 2й)БЫ(2т — 2й)х~.
а=а ь-о И [ — "' 1--. — ~ — — (2т — 2й+1)вЫ(2ж — 2й+1)х~ оььа 1 Г Ьа — Ых = — ( сЬ вЂ” в1и (и) — БЬ вЂ” СЫ (и) ); ьа +ьх ь [ ь ь (Ьа ) = — 1 ехр ( — — — ) Е1 (и) — ехр ( — ) Е1 ( — и) ~ ,ь/ [и= ь(а+5 )1 — Йх = .у [ сЬ вЂ” СЫ (и) — БЬ -Ь- вЫ (и) ]; сЬЬ 1 Г Ьа ьа а+ь ! ь Гь [в"Р( — ь)Е1(и)тевр(-ь-)Е$( — и)) [ и = ь (а+ Ьх) ) я. нкопхидилинныиннтиггалы от алиминтагных сятнкпни (см.
2Л76 1.) (см. 2.476 2.) 2.477 хвс(х — рхя св«х — (С вЂ” 2) хяс«х 1. + в«ах (д — 1) (С вЂ” 2) в«с 'х 2. ха с(х рхр с с« х+(д — 2) ях в« х с«'с х (т — 1) (у — 2) с«г с х [с7 > 2]. )'Х1 [353] (8а) [0 > 2]. ГХТ [353] (10а) Ы ссх Х гся хх+яя []х[ <н, а > 0]. ГХ1[353](8Ь) с« Йх ( 1 с«йх А Г в«йх 5.
— с(х = — — + (+Ь ) = '3(+Ьх) гЬ ( ~-Ь )+ + —., $ — +à — ссх (см. 2.476 1.). с« йх сЫсх йяЫх (а+ Ьх)Я 2Ь (а-с-Ьх)Я 2Ь' (а-с Ьх) + + —, ~ с(х (см. 2.476 2.) в« йх ( вЫсх йсЫ йвв« (а+Ьх)с ЗЬ (а)ьх)я 6Ьв (а+ Ьх)я Зья (а+Ьх) + с«йх с с«йх Йв«йх йсс«йх 8. (а-с-Ьх)с ЗЬ(а+Ьх)" 6ЬЯ(а+Ьх)с 6ЬЯ(а+Ьх)+ + —, ~ с(х (см. 2.476 1.). 9 в« йх й с« йх (а+Ьх)Я 44(а-~-Ьх)с 12Ь'(ая Ьх)Я Ив«йх йвс«йх Ы Г я«йх 24ЬЯ (а+ Ьх)Я 24Ьс (а+Ьх) + 24ьс 1 а+Ь, ссх (см. 2.476 1.). с« Йх с« йх й я« йх (а+Ьх)Я 4Ь (а-(-Йс)с 12ЬЯ (а-(- Ьх)* Ыс« Й .«1 й С с«йх ь,+ 24ь. 3 +ьх с( ( .2.4762.).
в« Йх ( вЫсх йс« йх (а+Ьх)Я ЬЬ(а-~-Ьх)Я 20ЬЯ(а (-Ьх)с ЙЯ вЫ йх йвс« йх Йся«ссх йс 0 г«йя 60ЬЯ(а+Ьх)Я 120Ь'(а ( Ьх)' 120ЬЯ(а0 Ьх) 120Ьс ] а+Ьх Г сЫ ~ с«й йяЫйх 0 (а+Ьх)Я ЬЬ(а+Ьх)Я 20ЬЯ(а+Ьх)с ЙЯ с« йх ЙЯ в« йх ЙС«йх й ( вЫ 604 ( +ь ) 1204 (а+Ьх)я (20Ь (а+Ьх)+ 120ь ая а+ьх ~ (см'2'4761)' 139 2.1 РИПЕРВОЛИЧКСИИИ ФУННЦИИ 4. $ —" ( -~ )"';,*"„,'«, ~]. ]< — ",, В>ОД. ГХ1[353](1ОЬ) «=а Ых и ги- — 1 5. 1 —.„. = — [1+( — 1)и] —,В.) + + ~~~ — „,, ), В,«х«» [[х] <л,и>1], ГХ([353](9Ь) »=о и 8 Сх \ Нз«х — +1+ хи сЬ х Х2 (2« — »+1) !2«)! .1 йф: -(- — [1 — ( — 1) '] -(- — !В х ] ! х ! ( — ~ .
ГХ1 [353] (11Ь) и «=.а ГХ! [353] (8с) СО Г хи "съ 2!» (2»« — 1! В « !« Г Х ! 8. ~ ь«-!(х=х" СЬх — а р, ( + „„',хи' ' в) 1, )х(( — ] . »-1 ГХ1 [353] (19с) !)х с!Ь х в 9. ~ х'! вЬ! х хи = — — — [1 — ( — 1) "] — ]- В 1п х— (»+ 1]à — !! ! !) )с !. ГХ!!354!!9 ! »=0 +1 Сх !Ьх 2»(2»»1 1) и «=1 в+1 «"»вЂ” п — 1 х ! 'у ( 1)«(2» — 2)(2» — 4) ... (2» — 2«+2) ) зЬ» х ~1 (гл — 1) (2» — 3)... (2» — 2«+1) »=! + 1+( )и-*, . 1 хсЬ х ! -!(гв — 2))! ( »хх „,.„„.+,„.,Ч„,.„.1+( ) *, 8,1 (см. 3.477 17.).
ГХ1 [353] (8е) и — 1 2) (ги» (2» 2«+ »Ь!" »х (2» — 2) [ги — 4) .. (2» — 2«) ( * + ' 1+( х сЬ х 1,» ! (2» — 3) И ~ х !сх + 1) - 1+1 1) (2 2)П ) Ь (си. 2.477 15.). ГХ1 [353] (Яе) 141 В В ГИПИРВОИИЧЕСКИЪ: ФУПКССИИ ЛВШ432 т Г3хг ссх Я ( ц ( )~ А=О (см. 2.477 2.), (ем. 2.479 3.) [п>Ц „вьх х ! Г хг- их еЬ"х (а — 1)еЬ" 'х х — 1 ) еЬ" 'х [и ) Ц (см. 2 477 2,). ГХ[ [353[ (12) 1*,- -=х(Л вЂ”..—.; (см. 2А77 1.). в-е 1" — "..;; =х(;) 1.— ".-.,: * (см. 2.479 6.). еЫх хг р Г хг 'хх хх — -- ссх — -1 — ~— всмх (х — 1)ьйх 'х в — 1 ) вьх вх [и > Ц [см. 2.477 1.). ГХ[ [353[ (13с) 4, 5.
гй [гвв Ц Ввв хг~Ь*~Ы= Я „„, х" в=в [)с> — 1, )х[(Я. ГХ[ [353[ (126) 2вв Пвв с(Ь х (х= Ч'...ц",,— „„х"~' [р> -[-1, [х[<л]. Гх[ [353[ (134) 9. 1 — ссх=[п)Ь вЂ” — —. Г хейх вЬвх 2 вьх Г хвйх х 10. вг — с[х= — — — + агс16 (ЕЬх). ейв в' еЫх ))[в[!К 263 4. [ * =хсьЬ вЂ”,— 2)ПВЬ вЂ”, .)1 — еЬх 2 2 хвЬхв!в х Ь м,сеЬх)в — — 1+ейх+С 2 МфК 262 — 264 [а=агс19(1йхс161), С Ф *ил). -) ['(л — 2 )+! ( 2 ) — 2! (2) — 2Ь( г )1[ [ а=2агс1ЕГ сй — сйо — ), о=2 агсви~ ссй —. осе — ), с у -)-пл]. ЛоП[403 2 479 2.48 Гиперболические ф)тскцпн, показательная п стеиензан функции 2.481 1.
~ все в)р (Ьх+ с) с(х = -; — -р [аз)з(Ьх+ с) — Ь с)1 (Ьх+ с)« 2. ~ ес" с)4(Ьх+ с) есх =, Ь, [а с)р (Ьх+ с) — 5 з8(Ьх+ с)[ При а'= Ь': «а' т'* Ьз«. [ас м Ьз«. МфК 275-277 [а зз Ьз«(см. 2.321). [аз чз Ьз«(см. 2.321). При а'= Ь'. 1 зр"1 3. ~ хзе в)закс(х= —.
~ х" ез Ых —— 2 ) 2(р+1) 4. ~ хее з)4 ахваз — — — — ~ хзе Их 2 (р+1) 2 еес 1Г 5. ~ хее~сЬахе(х= 2(р+П 2 ) + — ~ хре"ее(х (см. 2.321). (см. 2.321), (см. 2.331). МфК 276, 278 3. 5. 2.482 2. " 483 1 2 3 4 3. НЕОНРЕДЕЛЕННЫЕ ННТЕРРАЛЫ ОТ ОЛЕНЕНТЗРНЫХ ЕРНКЦИИ е' з)р (ах+ с) е(х = — —, хе + — е' 2 4а с 1 —.з с е зЫ(ах+с)с(х= —,хе'+ — е-' '+кз 2 4а еез с)4 (ах+ е) еЬ'= — хе '+ — езп~, е '* с)з (ах+ с) сех = — хе' — — е-сзс"+с1. 2 4е х" е'е в)4 Ьхе(х= — (~ х" е1 ~м*е(х— Г -2( 1 хР 0 ь]* (х1 хр есесЬ Ьх с(х= — ( ~ хе е1 +4>ес(х+ р „) ~ хр е(а-Ые~(х~ ~ хе" вЬ Ьх Йх ~ (ах — ) в)4 Ьх— — (Ьх — —,с) с)РЬЕД [азс;йЬз«, 2еЬ Г г ас+Ь хе с)4 Ьх 4)х = — — 1 [ (ах — — ) с)4 Ьх— с — Ь [(, * — Ь*) — (Ьх — — сьс) в)4 Ьх 1 [аз за ЬзЬ Г Г 2(ес+Ьс) 2а[ас+Взс) 1 ( )с ахз — — х+ — — — — — [ вЬ Ьхе'-Ь* ( [, е*-Ь* (а* Ь 1с еаЬ 2Ь(З +Ь*) 1 — ~Ьхз — — х+ — — — ~с)зх«[азч~ ЬзЬ ес — Ьс (ас — Ьс)* з ) Ь ( ссс 1 Г з (~~+~) + 24 (ас+2Ьс) 1 148 2.2 — 2.2 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Прв а'= ЬВ: ех»»Г 1Ч х» 5.
~хе э)Вахе(х — (х — — ) — —. 2») б. ~ хе»ха)Вахтах= — ~х+ — )+ —. е-»»Х, 4» [, 2») МфН 276, 278 х» ехех: 1 ~ 7. ~ хе с)э ах В(х»» — + — ~х — — ) . 4 4» 'В 2»)' х е~* 8. ~хе *с)Вахтах= — — — ( х+ — ) . 4 (. 2)' ее»х/ э х 1Ь хе 4» [, е 2»В) а 11. ~ хэ е сй ах е(х = — + — г хэ — — + — 1 .
2.484 1. ] е'" э)В Ьх — = —, (Е1[(а+ Ь) х] — Е1 [(а — Ь) х]) [аэ Ф ЬВ]. 2. ~ е"* с)В Ьх — = — (Е1 [(а+ Ь) х]+ Е1 [(а — Ь) хИ [а' ~ ЬВ], 3. ] е е(В Ьх —, — ' + — ((а+ Ь) Е1 [(а+ Ь) х]— -(а-Ь)Е1[(а-Ь)х]) ' [аээьЬ']. 4. ~ е»* с)2 Ьх —, = — -1 — ((а -1- Ь) Е1 [(а+ Ь) х]+ Ф 2х 2 + (а — Ь) Е1 [(а — Ь) х]) [а' у ЬВ]. 5, ~ еех э)В ах — = — [Е1(2ах) — 1п х]. хх 1 х 2 б. ) е э)2 ах —, = 2 [1п х — Е1 ( — Жх)]. ах 1 7. ] е СЬ ах — = — [1пх+Е( (2ах)]. ех 8. ] е ВЬ ах —, = — — (еэм — 1)+ аЕ1 (2ах).
х* 9. ~е ЕЬах —,= — — (1 — ее *)+аЕ1( — 2ах). ах 10. $ е с)гах —,",= — —,(еэ'*+1)+аЕ1(уеех). МфК 276-. 278 2.5 — 2.6 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 2.50 Введение 2.501 Иетегралы '] Я(эшж, соэх)В(х могут быть всегда приведены к интегралам от рациональных функций при помоннэ подстановка 1= ьб — . 2 2.502 Если при этом функции В(эшх, соэх) удовлетворяют соотношенвю 21(э1ож, соэх) = — Л( — эшх, соах), то выгодно применкть подстановку 1= соэх.
144 нвопрвдвлкниык интвгрллы от злвмвнтарнь!в хрнкцин 2.503 Если эта функция удовлетворяет соотношению Н(8(ах, совх) — В(в(пх, — совх), то выгодно применить подстановку 1=ыпх. 2.504 Если эта функция удовлетворяет соотношению В(81пх, совх) = В( — 81пх, — совх) то выгодно применить подстановку 1=13х. 2.51 — 2,52 Степени тригонометрических функций 2.510 юп -'псов" т р — 1 Г г вцг хсоввхс(х= — .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
