Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 22
Текст из файла (страница 22)
2.544 1. л=2: — Нх -2)псов«, вш 2» еовс х 2.541 1 г 4 6 и нконпнаклкннык инткгаплы от впкикнтппнык еъ нанна 8ш (и+ 1) х вш ~«с)х — 8(а х 81апх. БХ [7Ц (1)и 8(а (л+ 1) хс08 «4Км = — сО8 исав пх и сов(п+1)хвш" схйх= — вш"хсовлх. БХ [7Ц (3)и сов(а+1)хсов вхдх=-сов"«вшах. БХ [7Ц (4)и ~ 8(п ~(а+1) ( — — х)~ вш 'ХН«»» — вш"хсовп ( —,— х). БХ [7Ц (5)и $ сов '[ (и + 1) ( — — «)] 81а" с хи« = — 1 8(а" х вши( и — ' «) . БХ [7Ц (6)и сав 2» Их = 2 сов«+ )а 13 —. х ып х. 3 ' сси2с вх — = — СФ3«-28.
вш*х — — '-* сов 2« вх еав х 3 папах 28)псх 2 3 2 * сав 2« вх хп аав х = 28шх — !ай3( — + — ~. ~4 2,)' 81п 3» х Ыпс* —., -И«=3)ай3 — +4сов:с. 2 я)п вх — с(х = — 3 С88 х — 4х. Ипс х вшв» ( 4 1 сав»х (и — 3)еав» хх (и — 1)еав» сх 2.« — в.в тентономнтеи веснин с«тнкцни Прн в=1 н л 3! 2. ! е <Ь= 2 вш'х+ 1и сов х.
,) Со«х г «ШЗх 3. ~ Ых хх — — ь — — 4 1Ц сов х. соФа 2со«х сов Зх, 4 — ЯХ «ш" х (х — 3) «!а" *х (х — 1) в!а" «х Прн и 1 и и=3! 2. ~ . Их — 2 вшах+!н вш х. Г сшзх «)и х г з 3. ~ —: —.Их= — —.1 — — 4 1н вшх. в «ш«х 2вш х 2.547 япхх ! 2 (' в!а(х — 1)хвх ! в)с(х — 22))хех бс«З х ) сов« ~ х,) са«Р х сов Зх — — «Ь вш 2х — х. «Ь 4 вш х — 3 1н !8 ~ и + — *) . сс«зх — Ь 4*-' 3 10 х. са««х 2.548 1.
в!а 'хаас «ш(2х-)-1)х вх - г( — ). ( 2 (2«-)- !) 2 .1 (ж — натуральное число < 2н]. Т (378) х — ! 2. С «!а«««ххх ( — 1)х Г 2 зв = — !!1и сов х+ ««, ( — 1) сов"" — )н !! совах — в1п' —, х«ь Ви т - бич! .Ь! ж 1 ЗвЯ в 1 [т — натуральное число <н). Ч'(379) х-! +'У,'(-1)". "~ — Ь~(а( —,„— —,)Зд( — —,)Д В ! (т-натуральное число <и) Т(380) $ со«(2«+1)х 2«+1 ! х ( 4 2)+ х +Х(-1) ~ з,+~ Г~8(Чъ+1).-2)!8(4 —,+1тн-2)~~ (ш — натуральное число ~ л). Ъ'(381) 160 й. ниопРВдалВнныи ннтВРРйлы от элимантьеных Фтикцни и + Р' ( — 1)й совв +! -2 —,+)-1п (сове х — впй -2-+Т-) ~ й 1 [ж-натуральное число <п]. Т(382)п ..( 2й — 2х+1 6.
~ = — ~ч~~~ ( — 1) 'асов [ — Н1 1п й-0 ва 2 [ж — Натуральное чйсло < 2п]. Т(377) '1=.(:~*-)= + 1"".*+ и +'У', ( 1)" сове йй,,'+, 1п~жпйх-жпй,— „" — ",1)) [ж-натуральное число <и], Т(376) соева х сж 1 (1 и. ) яс (2л+1) х та+1 ( е 2 и +~ -')"-- "+ "Г" Ы+ .'+.Ъ[-.*- —.'"„)Б [ж — натуральное число < и]. Т(375) +~ (- )й -'-'й- Р6С++Ю 6( —;-%Л й=! [ж — натуральное число < и].
Т(374) 10. '] о <тх —, ] 1пв(пх+ и — ! + ~ ( — 1)" соей, 1п ( в1пй х — в(пй — ~ ) ] вй —.х./ й-! [и! — натуральное число < и]. Т (373) и. ! в!и "— и+— 2й+1 х 1~.( * *= — 'Ь вЂ”" "'— ",' ) ' '" '3 ,) сохах и Х2 Вх . Г 2й+1 х й=с в1а [ 2.] [ж — натуральное число <и]. Т(372) 2.549 1. ] Ып хй сГх =' ° — 8 (х), !' 2 2. ~ совхйй(хих ]/-.2 С (х). 161 З. — В.В РРИГОНОМНУРИЧНСКИН ФРНКНИИ вп 1п х с(х — (в!п )п х — сов 1п х). 2 с»ш )п х»»х = — (вш ! к х+ сов 1п х). 2 П (445) 2.55 — 2.56 Раииональные функнин от синуса и косинуса 2.551 ,(х= à — + А+В.нах ( 1 ((АЬ вЂ” В)со™ (а+Ь вш х)" (и — 1)(໠— Ь») ~ (а+Ь вша)» ' + (Аа — ВЬ)(и — 1)+(а — ЬА)(и — 2)з)их)» (а+Ьв)их)" » Т (358) и Прн п»»1: ~ 2+ 16 — +ь — У ь* — ' 1п (ав ( Ьв).
у~'ыа ави — +ь+у ь» — » 2 2.552 1 Ь=- В . +А1 1» — 1) Ь (а + Ь вш х)" »,» (а+ Ь в)и х) и (см. 2.5523 ). Т(361) А-4-В го»х (а -~- Ь ыи х)» При п=1: А.' В сов х 2, ( '~ —. »(х= — 1п(а+ Ьв)их)+А» а РЬзшх Ь а+Ьвшх (см. 2.551 3.). Т (344) ах ( Ь сов х ) (а+Ьзшх)и (и — 1)(໠— Ь") ( (а+Ьяих)и» + (и — 1) а — (и — 2) Ь ыи х (а-1-Ь зш х)»» »(х (см. 2.551 1.). Т (359) 2.553 в С ах »(х = +А1— (и — 1) Ь (а+ Ь соз х)" »,1 (а+Ь сов х)и (см. 2.554 3.). Т (355) А+ ВБ1и х (а-~-Ь соз х)» 11 мп(ах»-)-2ьх-)-с)Ых= у — ссов l »» 1 ас — Ь» У 2а ~(.
а ~ сов(ах'-(-2Ьх-(- с)»(х = ~~ (сов "' 3( ах+Ь ) +" — ""(7 Л С (ах+ Ь) уа ас — Ь» 3 (ах !.Ь)~ П (444) 162 х, ввошжджлжнныж интжгввлы от влвмжнтавных еввкцнв При и 1: А+ В в1л а а+Ь сов а Ых — — 1п(а-)- Ьсовх)+А ~ в г а* ь 3 а+Ь.
(см. 2.553 3.). Т (343) — = ассад 2 Г' ас — Ь» 12— 2 У ах — Ь* а+Ь [ав ) Ьв[; )/Ь» — а* 12 — + а + Ь [а'< Ьв]. ФП93,94; Т(305) Ьх)В-а» 1» — а — Ь 'г 3. а+ Ь сов а 1 — 1п ЬГЬ» — а' 2.554 А+ясов» а 1 ) (а — АЬ)с!са ° 1 — -'- — ~ -+ (а-»Ьссв»)и (л — 1)(໠— Ь») [ (а+Ьссв»)" ' + +~ (Аа — ЬВ) (л — 1)+(л — 2) (а — ЬА) со» а (а-1-Ь сов х)» ' Ах Т (353) » — 2 гсзй+г ( ,) (1~сава)л 2»» ~ х) ( Ь / 2В+1 л=с ." Х(.-)' ' ( ) "- При л=1: 3.,' ~ 1 ." *с(т= ~Вх+(А+ В)13(~ + 2). Т (250) При я 1: »с 3.1, ( 1 Ь вгс а (а+Ьссв*)" (л — 1)(а' — Ь») ((а+Ь сов*)" ' "'-„'" "„', "Ь~ ( . 2.5541.).
Т(354 При интегрирование фупкцвй в пп. 2.5513. и 2.5533 нельзя переходить через точки, в которых подывте~ ральвая функция обреа(ветел а 'х е бесковечяость, т. е. через точки в=агсв1п ( — — ) в формуле 2.5513, ь) в через точки в=атосов( — — ~) в формуле 2.5533. ы 2.555 Формулы 2.5513 я 2.5533 при ав Ьв неприменимы. В этих случаях вместо иих можно применять следуклцие формулы: г.в — г.в тпигономиткичжоиии с»»»акции 183 4.
~ о»»(х = ~ Вх ~ (А + В) 18 [ —" ~ ( —" — — ) ~ . Т (248) 2.556 — ( —..) (1-а») ах А1+а »...и(, х —,) !»«,1, П~<,!, «п»з Ф1193 2.557 Их (а сова +Ь в!п х)" 1 ах + ) в!п«(х+вш!с — ) ьг (см. 2.515). ЦфК 173 и ах — Ь 1в в1п (в+ асс!о — ) а» ь) а»+Ь» ах+ Ып в1п (в + вш!!! — ~ ЬГ вш х ах а сов в+ Ьв!ох сов х ах а сова+ Ьв!пх МфК 174 и а»+ Ь» 1~)и ) — (х+шс!д — )~ у' а»+Ь» с(к (а+ аког(( — ) а сова+в вша ах (а сов х-!.
Ь в1п х)* а»+Ь» 1 ассах — Ьв!«х а»+Ь* а вш х+Ь сов х МфК 174 и 1. А+В сова+С в!их (Ве — СЬ)+(Ае — Са) сов х — (АЬ вЂ” Ва) в!п х »гх = (а+Ь сов х-(-ев1п х)«(« — 1)(໠— Ь" — е») (а+Ь сова+с»!и х)» '+ - 1 ~ (и — 1) (Аа — ВЬ вЂ” Се) — (п — 2) ((АЬ вЂ” Ва) сов « — (Ае — Са) в!ох) + (х — 1) (а* — Ьв — е*) (а+Ь сова+с в!па)" » [а вь 1, а* вь Ьв+ св]; СЬ вЂ” В»+Со совх — Вас!пх е А «(ВЬ+Се)» «+( + (х — !) а (а+Ь сов х+е в!и х)" ».
а (а — 1) а» ) , )( — ссовх-(-ЬЬ1ах) )( и-1 ( — з) — з)»л 1 (㫠— 1)!! «1 (« — ь — 1)!ав (а+ьсовх+евшх)" » й с (ась 1, ав=ьв+св). При и 1:' 1 А+-Всовх+Св!пх ( Ве — СЬ 1, Ь ., ВЬ+Се 2. ~໠—. +, - — —,, и (а+ сов х-)-с в1о х)+ д+Ь,— х+ 3. ~ Их (' а (х — а) (а+Ьсовх+евюпх)" ) [а+»сов(х — а)1« кдо Ь=ксова, с=си!иа (см. 2.554 3.). 164 2, НКОПРКДКЛКННЫВ ИНТКТРАЛЫ ОТ ЭЛКМКНТАРНЫХ С РНКНИК 4. сх а+ Ь сов х+ с вш х (а — Ь) сд — +с атсЬд [ав> Ьв+св[; Т(253), Ф1194 в — )м —,'-;.-ь ххх:. 1п [ав ( Ьв+ св[; Т (253) и ) Ь +» а (а — Ь) сд — +с+ Ьхсв-~-св- — ав 2 Т(253) и 2.559 сх ( [" с (а в)в х — с сов х) (' х') [ —, [ — --; — — — — а)п(а+с29 — ~)1. [Рахсых;~ "[ —.О х-*н-"" 2 / А+ В, сов х+ С в) о х 2.
~ (а +Ь, совх+еввшх)(ав+Ь,смх+евсшх) ав+Ь,совх+с,ппх +А Сх + ав.(-Ь СОВХ(-СвВШХ ХС ав+ЬвСОВВ-)-С12)ВС в .) ав+Ь сова+ах в)па ' ТДВ ' !::!'-!": !'+!::::! ав в ав Ьв!в )Ьв св'в ~св ав с Ь )Ьв св) )св ав Ца1 Ьв !в !~а ав $2 !~а ~2! 1 ( 25534) ГХ1 [331[ (19) 3 Г + + Ах ха а сов в х+ 2Ь вш х сов в+ с в)пв х „сов~(х с~а-а ~.вх с)в ха Х )и (а сова х+ 2Ь кш х сов х -(- с вша х) + +[2(А 2-С)Ьв 2ВЬ(а+с)+(аС вЂ” Ас)(а — с)[1(х)), = — 1п~а+с.йд — ~ [а Ь[ ( ' хХ с [ав = Ьв+ св[.
с+(а — Ь) 29— 2 !:',!!"., ',! !:".,! А ав Ьв св 165 Я.я — В.я ТРИГОНОМЕТРИЯЕСКИЕ ФУНКЦИИ я (х)= 1 — 1п — — — =---=- [Ь ) ас]) ° 12 х+ь — у'Ь* —- 2 у ЬЯ вЂ” аа я12х+Ь+ у'Ь~ — ас атсйа ~ + [Ьв ('ас); Р' ас — Ьв — [Ь' ж). с (ях+б ГХ1 331 (24) Т(343) Т (349) т(346) При ав=, Ьв(=1): А~В ~'л х 1 А-(- В 2 9~.4 2,/ 2(1+мох) = — 1п 19 ~ — + — ) + — 1пА Гл х в В а+Ьсовх а 2./ а соя х АЬ Г дх (см. 2.553 3.).
а д а-+Ьсовх А х В а+Ь в)па = — 1п $9 — — — 1и а 2 а в(па ((Аа — ВЬ) 1п йц —, -)- (А+ В в(п х) дх соя х (1~хоп х) (А+Вв1пх)дх совх(а+4 сова) 6. 7. Т (351)и (А+ В сов х) дх Мп х (а+ Ь в(п Т (352) (4+В соя х) дх вяп х (а + Ь сов х) Т (345) При ав Ьв(=1): (А+В сова) дх А-Р В А+В 1 я Мпа(1~сова) 2(1~сова) 2 о 2 ' [А+Весах)дх А 1 'л х ~ (а 1п Ьд~ — -1- — ~— сова(а — ', Ь си| х) ав — ЬЯ 1 ~ 4 2х — Ь)п '+ ' ~+В ~ ~, (см.
2.5513.) Т (350) (А+Вв)пх)дх А 1 1 х Ва — АЬ ( дх я1пх(а-~-Ьв)пх) а о 2 а ) а+Ья)пх (см. 2.э51 3.), (А+ Вв)п х) дх А Г х а+Ь геях ) 2. ~~ —.— — — - -- — = — (аЬЬд-+ЬЬ .. 1+ ,) в)пх(а+Ьсовх) ав — Ьв 1 2 я1пх ) +в~ — ~, (см. 2.553 3.). При ав = Ьв ( = 1): 3. (4+В "пх)"'= — "' 11ЦЬ * ' ~ В = — 1" -+ в)пх(1+сова) 2 1 о 2 1+сова ) о 2 ' 4 ~ (А+Вя)пх)дх А )1 х 1 1 В х вяпх(1 — воях) 2 1 2 1 — сова ( о 2 5. (А+В в!па) дх 1 ял х' сов х(а )-Ья1пх) а* — ЬЯ = — 11(Аа — ВЬ) 1п ьд( — + — )— 14 2,) (АЬ В~~ +Ь 1 166 в. ЛЛОНРеделенные ннтеРРалы От влемзнтаРных Фхнклий Прн ав= Ь'(= 1): (А+В ь!а х) ь(» сов х (1 ~ вь а х) 13 (+ ,) сььв х (а+Ь сов х) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
