Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 25
Текст из файла (страница 25)
$ ' Нх = Ыг (х, /з) -(- — агсяш(й вшх), 3. ) с/х= /,, /г(х, /с)+йз й (х, й)+ —,агсеш(йв(пх). Г (Ь+соя )з Ьзйз — й'з 1 тй = — И(х,, )+~~ (Ь+созх) Д Ь* — 1 З, ' Ьз — 1 ',/+,) (1 — Ь" — я!пз»/ Л где 5,, 1п соя хая 1 Ьг~ — ь'д+й ьгй~~РРгз/их (1 — Ьз — (пзх)д ИУ(1 Ьз)(й"+йзв/ ЬГ1:Ьзд — ЬЬ й'.(ЬЬГ'„.' 2.588 с/х 1 Мпхд (Ь+соях)" Д (и — 1)(1 — Ьз) (й"+Ьзйз) 2 (Ь+созх)" с — (2л — 3) (1 — 2й + 2Ь й ) Ь $ — (4» — Ю)ьй'$ (ь+ /"- л+(л — 3)й $ (ь+ .*)" 'л 3 ~л+1, ЬЮ~1, Ь~ ~ ~' 134 в. нвопгвдвлвнныв интвггвлы от алвмвнтьгных о»тнкцин Этот интеграл сводится к следующим интегралам: 2.
(Ь+ сов *)* Д 1 Г в»в д (1 2)»в+ 2Ь»й»1 Ь 1 х (1 — Ь»)(й'»+Ь»Ь») ( Ь+совх» ',) (Ь+совх)Л +2ЬЬ» $ Ь [ сов* тх — (с* $ (а+сове) с(х 1 (см. 2 о87 2 3. 4,). »(х 3. 1 в»вел в.~. » тв-хн»» 'Г(».> — ЗЬ($ — 2йв+ И»Ь») ~~ ,) (Ь+сов х)» Д вЂ” (2[»в — 1 — 6Ь»(св) ~ — 2Ь(с»Р(х й)1 (см. 2.588 2. и 2.587 4.). 2.589 (»+13 х)Р'» Ыа Л вЂ” ~ ('+ в ~~ + 2 '2п+ 3) сй" » (с+ в ~) Л +(2р+1)с.'((+й" +2св)с') ~ (' — р(1+с»)([+й'всв) ~ ( 3 — — — ~ [рж — 2).
2. ~ '+ вх Ых=сР(х, й)+Ъг[в 'д 1г 3. ~ »гх= —, 18х 3+с»Р(х, )с) — — „, Е(х, (с)+ —, [в —, Г (с+ 13 х)» Сх с »' 1[» .) (с+18х)Д 1+с» ' в(1+с») ( о» в! и х сов х сх [с' — (1+ с') в1с' х[ Д где в1й х сов х 3» [с» — (1+ »») »1с»»[ Д 1 Ьг1+Жс'*+ф' 1+с» Л -)в 2 )/(1 —,с ) (1+с»Ь'») )» 1+»»Л» — У 1 [ стл ' 2.59( — — — -+ сх 1 Г Л (с+18 х)»» д (и — Ц (1-(-с») (1+а'»с») ( (с+13 х)в» сов» х + (2п — 3) с(1+ lс'+ 2св)»") ~ При р=п натуральном этот интеграл может быть сведен к следуюшим трем интегралам: 2.6 — 2,6 тгигопомнтвичнскнк Фгнкцнн Этот интеграл сводится к интегралам: 2. ах 1 р -Л (х+1В хр Л (1+»») (1+ам»*) [ (о+ге») ооэх х +с(1+И'*+2 хл") ~, "* — 2сЬ" (-'+15 — * (х+Ь" ['+12 ' Ь~ (см.
2.589 2., 3., 4.). 3. ах (»+ ге х)х Л 2(1+ »*) (1+ В"сх) ~ (»+ 1Н »)* соэх х +З,(1+а"+2.Ьх) 5 (. * л — (1+ йэ+ 6сэй™) ~ + 2сй'э Р (х, В)[ (см. 2.591 2. н 2.589 4.). 2.592 ~ (х+э1охх)» Реяуррентная формула Р „= (,, Иа+в1п'х)" щпхсовхй+(2и+2)(1+Ьэ+ЗаЬэ)Р„„- 1 . — (2п+ 1) [1+ 2а (1 + Ьэ) + ЗаэЬэ] Р„+ 2па (1 -(- а) (1 -1- йэа) Р, д) сводят атот интеграл нрн и целом к нятегралам 2. Р см.
2.584 1. н 2.584 4. 3. Р, см. 2 584 1. При а=О Ж37 (124) в 6. Т.-1(„+„-,„,.) л вычисляется при помощи реиуррентной формулы: — (2и — 3) [дх+ 2Ьн (1 -+ йх) + Злое[ Т», -(- 2 (и — 1) Ь (и -(- Ь) (3 -г ИМ') Т„), 2. 593 (в+со хх)» л Ренуррсптная формула 4~»хэ»» 2 2 «з ~(Ь+сов'х) щпхсовтл — (2п-~-2) (1 — 2Ус — ЗЬЬ )0»~1+ + (2п+ 1) [й'э+ 2Ь (Ь'э — йх) — ЗЬ»лэ[Д» — Зло(1 — Ь) (Ь" — а'Ь) Ч ) сводит этот интеграл при п целом н ннтегралам: 2. ~), см. 2.584 1.
н 2.584 6. 3. До см. 2.584 1. 186 й. Ккопгкдклкннык инткГРАлы от длкывнтагных Финицип При 5= 0 2.594 ((»+»»1» )и Аз с Реиуррентная формула + (2л+ 1) (1- 2с (1+ й") + Зс9»" ] В„+ 2ис (1 — с) (1 — й"с) В ж 3У(123) БФ (283.02) А ° ° ° »» (»»а*, ав~ Р' аа при р*> 1 можно пользоватьси формулами 2.583, 2.584, произведи в иих предварительно следующие изме»ее»»: 1) l» замепить через р; 2) й'» через 1 — ра, 3) Р(х, й) через — Р(а, — ), 4) В(х, й) череа РЕ(а, — ) — Р(а, — ).
Например (см, 2.584 15.): 2.596 1. аоа»»из а1»асеев Г'1-.Р~М»»з 4р» — 2 и р 1 1 1 — р»аы(»а пр» и»асс»а и' 1 — р»пе»а р» — 1 !' 1 '~ 4р» — 2 / 1»» сводит этот ивтеграл при и целом к иптегралам: 2. В, см. 2.584 1. и 2.584 90. 3. В, см. 2.584 1. 4. В»=~ (, „, „, = —,', р(х»й)+.(!',, Ц(х, — '',й). При с 0 см. 2.582 5. »»»» и р (»(» *, *, »Т — »» )Ш р р)1. Обо'значение: а агсз(п(рз1пх). Основные формузы 1, ~ * = — р(а, — ) (рр > 11. БФ (283.00) а )»т:,.ь.а-»»(.— ') — ~»(а — ') И~>»!.
БФ (283,03) 3. — Ц(а, —, — ~~ (ра> 1). Иа П ~ а 1 1 (1 — »»з!в»в) у 1 — р»зш»а' Р Р Р 187 з,в — 2.» тгигонометгичвслие Фгняции (см. 2.584 37.): 3. ~,, — -~. ] рЕ(а, — ) — Р(а,— )]— р" в1п х сов х р» в!п х соз х Р )/1 — р' в!П» х Р* 1 1/1 — р* в!и» х + — Р(а, — ) - -,— "-7. Л (а, — ) ! р» ) 1]. 2597 Интегралы типа ~ В(в1пх, совх, )/1+р*ып»х)»)х. Обозначение: а=агсв!и Г 1-! Р»»!пх \ 1/1+ р» в!и* х Основные формулы 1. Лх 1 ( р — р(а, )/1+р» вгп» х 1 1+/Р ( )/1+/Р ) БФ (282.00) 2. ~ )/1+р»в!пзх!»х= у'1-)-рзл (а, ! ) — р"— БФ (282ППЗ> 4. Ыпхпх 1 . ( рсозх — — — агсв!и ». ] — | о х .~.УТ.~Р') 6. Пх 1 1' 1-!-р~в!и х — созх = — 1п *У»У ' ° У~+~ » Жх 1 1/1+р» в!п» х +1/ 1-1- р» ч!п х сов»)' 1+р*мп*» 2$/1+р» )/1 ! р»нп»х — )/1+р»ып х 8. звхлх 1 !и 1/1+р»з!П»х +)/1+р» 1/ 1+р» зпп х 2 )/1+ р» 1/! р" зю» х — )/1-1-/Р сзвхвх 1 1 1 — )/1+р»мп х 9.
] — — = — 1п 1/1+ р» з!Птх 2 1+ )/1-1-р» в»п» х »»»8 Д, », ]»(!' *, »1.,-»ы~~~» можно пользоватьсл формулами: 2.583, 2.584, нроивведя в имх предварительно следующие изменения: (см. 2.583 36.): 2. ~~ »(х=18х]/1 — р»в(п'х + — Р(а, — )— С !/1 — !Рз!и соз» х р — ~р')!а~ —,) — р "(໠— р)~ = , ~р(а 1) р( 1)~+$ х]/.1 рвв!П»„(рз)1]! 188 в.
нвопгкдклкннык ииткггплы от злкмкитвгных отниции 1) йв заменить через — рв; 2) й' через 1-~-рв; 3) Р(х, й) через Р[а, )/1+)Р ~- У1+р* ) 4) Ь*(х, й) через )/1+рв Е ~а, ' ) — рв= 5) — )л (й сов х+ Ь) через — пгсв)вг ' а — а (Й ~ ) Р— 1 О ' .~ ГТХР'ьп в Р Например (см. 2.58490.): 1В1хах 1 Г 1 .. —.(ч гч рв'*— ) )/1+р*вш' . (1+их) (см.
2.584 37.): У(1+Раа1п~х)а )/1-)-Ра ~ ' )/1+ра Г ' 2599 Интегралы тина ~ В [в)пх, совх, ]/а'в(пвх — 1)аХ [ав) 1] О б о з н а ч е н и е1 и = вгсв1в )/аа — 1 Основные формулы: — Р ~я, — ) [ав> 1]. БФ(285.00) и 2, ] ]/ав'в(ввх — 1 Их= — Р [ св, р ) — аЕ(а, ) [ав) 1]. БФ (285.06) в 3. ах 1 ( Ы (а* — 1) )/а* — 1 (1 — гавшах))/а*вирт — 1 а(Ы вЂ” 1) ~. ' а"(х" — 1) ' а ) [ав> 1, гв> 1].
БФ(285.02) и 4. 1 — — [а' > 1]. а 1/ха в1п*х — 1 5. т с = — )в [ав1пх+]/авв(ввх-1) [ав > 1]. а )/а*ниах — 1 6. — егози / [а' > 1]. в1п х )/ав а)па х — 1 )/ а* вша х — 1 аа 1 )/а~ — 1 мех+1' апашах — 1 — !п аевх)/а" вшвх — 1 2)/ав — 1 у'ав — 1 Мпх — Г'хаяп*х — 1 [ав ) 1].
189 з.в — э.в тРигонометРи инские Функции 8 сбхв(х 1 1 )' ав — 1+ф авыпвх — 1 . в 1) У аввнп х — 1 2 ) ав — 1 У ав — 1 — $' адыпвх — 1 свахах 9. — агсввв —. (а > 1). в ) а'знп х — 1 а звп х вввв д» ° ° р. - (в(' .. ° '.втсп --в)а*в'>и можно воспопьэоваться формулами 2.583, 2.584. Дяя этого надо: 1) В правых частях этих формул произвести замену следующих фуияцнй равными нм ннтегралвмн: вт(х, й) Н(х, й) заменить через заменить через заменвть черев заменвть через заменить через заменить через заменить через ваменнть через 2) Затем в обеих частях раненств в этих формулах заменить Ь через в )/пвв(п'х — 1, й черев а и й'* через 1 — а'. 3) Ъ'ввножить обе части полученных равенств на в, в результате чего в обеах частях равенств должны оказаться только действительные функции (ав > 1).
4) Вместо интегралов, стоян(вх в правых частях равенств, подставить вх значения, взятые нв формуя 2.599. Примеры: 1, Равенство 2.584 4. переписываем так: в|с' х 1 Г в(х Г . в(х= —, эв — — ~1 а в(п х — 1в(х, в у'аззшвх — 1 ав в у азз(с⻠— 1 откуда получаем: — — + ) )/а в(п~х — 1в(х~= а ~ (и' ) 1о~~ 1). в(х 2ав (ав --2) эвпв х — (5 аз — 5) ав в1п х соэ х— 5(1 — ав)в Ы )в (адв1пвх — 1)в Г в( 2ав — 4 — — 1п ()с соэ х+ Ь) 1 й 1 — агсвш (й в! е х) й 1 Л вЂ” сова —,)п 2 Л+ сов х в+й' ып* 2й' Л вЂ” й' в(п х 1 4+й' — 1п —, 2й' Л вЂ” й' 1 1 — Л вЂ” )п— 2 1+Л 2.
Равенство 2.584 58. переппсываем так: 1Ф ~ль, ып х ах Л соз х ах Л 19() з. нвопгвдвлвнныв интвггйлы от влвмкнтйгных егнкцнв откуда получаем: 2ав (ав — 2) Мс* а — (Заз — б) ав 1 — — — — — — — э!и х сов х+ х ф' (авзкяи — 1)2 2(1 — аз)2 У (И261ивз 1)2 З(1 — ав)ва Х ~(а — 3)Е (о, ) — 2аз(аз 2) Е ~22, а ) ~ [аз> 1]. 3. Равенство 2.584 71.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
