Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 28
Текст из файла (страница 28)
1 — сов х 2 хв ах хо!» »псов х 1(ах — Ь) мо х-(-(а+Ь ) сов »Г Ь Нах — Ь) вша+[а+ Ь ') сов »1 ' ГХ) (333) (17) 207 а ь — 2 с 'ггигономнггичискне Фгнкнии сне 1 сов (с — В соя (с+1) сов (х 8) =совес28 ~х!и — -Ь(х+1)+Б(х — 1)) + сов (с+с) 2 652 межутну ~ — —, — ~, 2' 9Г 2.653 Ло РИ 2ЗЗ 1. 1 — Ых = ~l 2нЛ (~ х) (сравни 2.526 1.).
) М-* 2. 1 =с(х= $/ 2нС (у'х) (сравни 2.528 2.). ~У= 2.654 Обовиачение: Ь=')Г1 — й'вш'х, й'=)/( — йв: ~*- — -'; — ле, е св~ассавх ха 1 ь О Г"" " =~" *""; '*л*= —,"„" Р(ж й)+'— '",„+,'.е(ж й) — — „, (З(3 — Ав)х+йвв(п хссах) А, 1 йм д 9И ( ' «+ 914 — ~~, [3 (Л вЂ” Зй" ) х — й' вш х сов х] Ь. — + — „„агав(п (й вш х). Г'7"= '": -'' — *+ — )а (й сов х+ Ь). Ав ь а хыахсавхН* с 1 Лв = «'Ч ав ' — "и," '* й свиРхсавхсх 9 — в в1а с 1 (ь'(х ц+ р(х й)) св1ахссусве Р~~~Рж+1 — 2+ М р( й)+ 1 в ( й) аа * — $4,1 Ь» ' йа Интегралрг, содержащие вшхв н совх' В интегралах, содержащих ага ха и сов х', полевно сделать подстановну ха=я. х" 91охвох= — — совх + — ~ х" сова с(х. хаг а р — 1Г 9 2 хг 1 ха сов хв с(х — * вш х'- 4~- ~ х' ' вн х' Фх. 2 ~гчь нн1 (х(< ~ — -(Г„((~, где 1„— вначенне аргумента 1, приведенное с помощью аргумента н н про- 203 в.
нкопгкдкленнык интеггелы от влемент»Рных Фгннцпй 3. ~ х" вшх'е(х=(н — 1)И [ У', ( — 1)" ~ » 1 2*»- ! — 4»+З)!! х«»»'» яп х» ! — 1!' [ -!- ! ! 1 х е»в!Нх»»!х) 1 2 ) ~г=й(4)~. ГХ1[336[(4а) » 4. ~ х"совхв»1х=(н — 1)()( Я ( — 1)" » Г + 2»» '(х — 4»+3)!! х" »" 'еоех' 1»» + --- — -[+ „' ' ~ х"-"совх»<( ) 2»»! — 4»+1)!! 1 2'"!» — 4 — 1)!! 3 Е(4)~. ГХ1[336)(5а) сов «« 5. ~хв!Нх»»(х= — —. 2 »»а х» 6. ~ хсовхео»х«« —. 2 7. ~ххв(пх'е(х= — — совх'+ — ег '-'-С(х). х.,1 /к 8.
~ х»совх»»!х= — вшх — — у — Я(х). 2 2У 2 «» 1 9. ~ х» в!п хв е(х = — — сов х'+ — вш х'. 2 2 10. ~ вхсоввхе!х= — вшх»+-совах. 2 2 2.66 Тригонометрические функции и покаватсльпа»! функции 2661 ~ е вш хсов х»»х= —, [ е в!Нхх сов' ' х [а сов х+ (р+»7) в(п к[в — 7»а ~ е вш»' »хсове»х»(х+(д — 1)(р+»)) ~ е в(кехсове ~хе(х[; Т (523) —,.[е "в!Н»хсовех[ав!Нх — (р+»))совх]+ г е»)(Р)Е)» ( +да ~ ех»в!и' »хсове»х»)х+(р — 1)(р+!7) ~ е«" в!Н»хсов»х»й[ ! Т (524) —;-1е вшх 'псов» 'х[ав1ахсовх+се»п'х — рсоа'х[+ «»+(Ет Е)' ! + !! (»! — 1) ~ е»х в!ах х сов»» х е(х+ р (р — 1) ~ е * вше» х сов» х е(х [ ! "Г (525) 2.5 — 2.5 тгнгОномктгичпскик 'а» нинин 2.662 1., ~ еазвшабх»[хаа (авшЬх — иЬсовбх)е вш 5 ба+ -[-и(и — 1)Ь' ~ е"'вш 'Ьхе[х ) (а сов бх+иЬ в[в бх)е сова 5 Ьх+ +и( 1) Ь' ~ Ь [х~ 2.
1 е сов" Ьх е[х а»+а»ь» 1 3, ) е впР Ьх»ехаа =Х ( )! Ь»"е "»раз 2« 1«а [2»» — 2«)! [а»+(2т)» Ь*) [а'+(2т — 2]' Ь*[ ... [а»+ (2т — 2«)* Ь»] (2з»)) Ь»тепе )с [а вш Ьх'-(2т — 2й) Ь сов Ьх)+ ( ) 2, +2— ,, ~~ ( — 1) ( «)а»,ь»«»(асов 2бйх+2ойв[п2бйх). 4. 1 в[п +» Ь (х =Х вЂ”вЂ” (2»»+1)! Ь»зе»а з)пет т Ьа [а з[п Ьх — (2т — 2«+1) Ь еоз Ьа[ (2е» вЂ” 2«+1)) [а»+(2»з+1)* Ь [ [а*+[2т — 1)» Ь»[ ...
[а»+[2з» вЂ” 2«+1)» Ь») з-е — „), ( + ) [авш(2й+1) Ьх — (2й+1) Ь сов(2«-[-1) Ьх), 14 'гаеаапт за»»ее»паз ее»»в[па»хсоз»х(ав[пхсозх+аз[пах-рсовзх)+ а»+(р+е)» ( +д(а — 1) ~ е'"в[п" зхсове »хе[х-(о — р)(р+д — 1) ~ е вш" зхсовехе[х~; Т(526) 1 а*+[+в) 1 11е АР гхсове 'х(ав[пхсовх+де[пах-рсепрх)+ +р(р — 1) ~ е в[п" засове »хе[в+ -~-(д-р)(р+д — 1) ~ е виРхсове зхе[х~. ГХ1(334](1а) Прв р=щ и а=и натуральных и четвьел интеграл ) е'*в1п хсов"хе[в сводится с пополню атил формул к интегралу ~ е Ых; когда же' четко талы»о ле или только и, то к интегралам вида ~ е сов" х»(х вли, соответственно, ~ е вш х 5[х. 210 2, неОНРеделенные интеГРАлы От элементАРных ФУнкции 5. ~ е'" соя'т дх е[х = »» — ! (2»») ! Ь»ееех со»х«»Я» Ьх [а соя Ьх ]-(2т — 2)е) Ь я]п Ьх] (2»» — 2Ь)]]а»+(2»»)*Ь») [а» ! (2т 2)» Ь»] ... [а»](2»» — 2й)»Ь»] + ! с (2»») ! Ь*'"е"х + [а»+(гг»)» Ь»] [а»+(Ъ» — 2)*Ь»] ...
[а»+4Ь»] а «» = ( ), + —,, ~ ( ), 4Ь,, [а соя 2]яьх+ 2)»Ь я]п 2йЬх]. е ! 6. ~ е'* сосет" Ьх е[х = (2»»+!)! Ь'"еа" соя»т *» Ьх [а соя Ьх+(2т — 2Ь+!) Ь з]п Ьх] 2т=пт»г»-н»Ф».ч» — » ~...~ - ° ( — .- ° ь-о — Я (,),+, [а соя[2]с+ 1) Ьх+ [2й+ 1] Ь я»п [2(е+ 1) Ьх]. й я 2.663 1. е з1п Ьхох= +" «»,, еех(аз]пЬх — Ьтиьх) а»+Ь» е з(»Ь (ая]п — 2Ь В )+ 2Ь*е'" 4Ь»+е» (4Ь»+ а») а г — — — ( — сое 2Ьх -[- Ь яш 2Ьх) 2а а»+4Ь» ~ 2 е "(аео»Ьх+Ьто Ьх) а*+ Ь» 4 ~ ее» е ( еа»еоз Ьх(а соя Ьх+2Ь я]п Ьх) 2Ь»ее" 4Ь»+а» (4Ь»+а») а — +,' ( — сов2Ьх+ Ь в1п 2Ьх) . 2.664 1. ~ е И1пвхсоясхе[х= — ~ еах Г аз!п(Ь+е) х — (Ь+е)аоя(Ь+е)х г а»+(В+е)» азха(Ь вЂ”.) .— (Ь вЂ” ) ( — е)х3.
ГХ[[3341 6Ь 2. ~ е я[п«Ьхсоясхе[х= — [ 2 со ' +'"и 4 ! а»+е* а соя(2Ь+е)х+(2Ь+е) я]п(2Ь+е) х а»+(2Ь-Т- е)» есоз(гЬ вЂ” ) ]-(2Ь вЂ” )т' (ЕЬ -е)*1. ГХ[ [334][Д ) а»+(2Ъ вЂ” е)» 3. ~ етя!ЛЬхсоязсхе[х — ~2 еах Г аз]»Ьх — Ьеоявх 4 а»+Ь» + а е]п (Ь+2е) х — (Ь+2») соя (Ь + 2е) х а*+ (в+ 2»)* а йп (Ь вЂ” 2е) х — (Ь вЂ” 2е) есз(Ь вЂ” 2е) х~ ГХ1 р34~ [61» а»+(Ь вЂ” 2»)» 211 2.665 1 е»" (а з!о Ьх Ь(р — 2) Ь соз Ьх) (р — 1! (р — 2) Ье з~оР ' Ье + (530) и аз -1-1р — 2)з Ье Г еах Ех (р — 1) (р — 2)ва,) Мор е Ьх 2. еа" Ех еа" [а совах — (р — 2) Ь з1пЬх] созр Ьх (р — 1) (р — 2) Ье соз1' е Ьх + а Д (р — 2) Ь* Г еахах (р — 11(р — 2) Ье ) созР е Ьх ' Последовательным применением формул 2.665 при р натуральном мы Г еа" ах Г е"" Ех Г еа дх Г еа" Ех приходим к интегралам вида зьз Ьх ' ) з!аз ах ' ) созЬх ' ) созеах которые не выражаютои с помощью конечной комбинации алементарных функций.
2.666 2 3 5 б 2.2 — 2.2 тгигопометРлчвскив Функции еах 18сх1(х — Вбз 'х — — 1 еахвдс еха1х — ~ е'х18)Р ахе)х. р — 1 р — 1 Т (527) Еах С18РХ1(Х е х ссбз ах — х+ — 1 Е'"Свбз 1ХЕ)Х вЂ” ~ Еахевбз 2ХЕ(Х. Т(528) р †! р — 1 еахзбх 1 Г,ахах е' 18 х а1х = — — ~ — (см. примечание к 2.665). а а ) соз'х е 18зхах= — ' (и18х — 1) — а ~ еехвбхбх (см.
2 666 3 ). Т 355 еахссзх 1 Г еа" дх еах с!8 х е(х = — + — 12 — '. (см. примечапио к 2.665). а а ) 21п*х е 'с18еха1х —.— — — (асвбх+1)-(-а~ ехессбхдх (см, 2.6665.).- а Интогралы типа ~В(х,е, 21пЬх, совах)бх Ь а Обозначение: в!п ! = —; соз 1 = )/ ае+ Ье Ьеаз+ Ь' хееа" хзе вш Ьх 1(х = з, (а в(п Ьх — Ь сов Ьх)— ,+, ~ х" 'еах(ав1п Ьз — Ьсоз Ьх) е(х; вш(ьх+!)- Гзхе 'е ып(ьх+Г)йс, Ье з+Ье ф' аз+Ь*.! хсе~ сов Ьх с(х = — (асов Ьх+ Ь вш Ьх) — Р 1 хз 1И (асов Ьх+ Ьз1п Ьх)е)х; =сов(Ьх+е) — " 1 хр зе' сов(ьх+!)Г)х.
Г' аз+ Ьз Ь'аз+За 4 я. неОЦРеделенные интеГРАлы От элеменГАРных Функции 212 +! 1)а+! а! ».а-й+! х"е я1п Ьх»»х ееа ~~»~~ 1 ' ' — я)п(ьх+)еь). ( — я+1)! (а»+ Ь')Ьл е+! ( — 1)"'! а! х" !" х"ее»х сов Ьхеьх = е'" ~ч~~ ( ) д соя (Ьх -(- )еь). а=! (а — й+ 1)! (а»+ Ь»)и~я еа" г: ໠— Ь» Я хе'" ип Ьхдх — )е ( ах — ) я!и Ьх— а»+Ь» )Е (. а»+Ь» ) — (Ьх —,+, е) соя Ьх[ еах ГХ а» вЂ” Ь*' хе соя Ьха!х= — )е( ах — — ) сояЬх+ = а+Ь [(, а»+Ь ) + (Ьх —, ', ) я!ЦЬх~ х»е»» яи! Ьхсех= еа* 1 5 е 2 (໠— Ь») 2а (е* — Зь») 7 4»ь Зь (З໠— Ь») Ьх —, „х+, »,, ~сояьх3 - ВР ) х'е соя Ьхйх= еа" ( Г я 2 (໠— Ь») 2а (໠— ЗЬ») ) -,+у 1~ '- .+ь. х+ (.+,, 3- Ь.+ + [ Ьх» — ' »» х+... ~ я)п Ьх) .
ГХ1 [335) МфК 274 — 275 2.67 Тригоно»»етрические функции и гиперболические функции 2.671 ~ я5 (ах -(- Ь) япп (ах + е() е(х =, а, с)» (ох + Ь) я) и (сх -(- е()— а»+е» я)1(ох+ Ь) соя(сх+е») ~ я)»(ах+ Ь) соя(сх-(-с()еьх= »» с)А(ах+ Ь)соя(ах+с!)-(- +,+,, я)» (ах+ Ь) я)п(ох+ д). ) с)» (ах + Ь) я1п (ох + е() а!х = —,, я)» (ах+ Ь) я(п (ах + е»)— —, с)я(ах+ Ь) соя(ех-(- »1). ~ с)» (ех -~- Ь) соя (ех -(- »2) с(х = ~, ~,, я)» (ах + Ь) соя (сх (- »1) + -)- —,', с)» (ах -(- Ь) Я)п (ах+ «»), Г)(1 [3541 (1) 2.672 я)» хе(пиеех — -(с)А хе!Нх я)Ах соя х).
1 2 2.2 — 2.О ТРИРОНОМИТРИ ВИСКПП ФУНКЦИИ 213 2. ] вЬхсозхв>х= — (сЬхсовх+зЬхв>пх). 1 3. ~ сЬхепхвух= — (вЬхз1пх — сЬхсовх). 1 2 4. ~ сЬ х соз х вух — (вЬ х соз х+ сЬ х 21п х), г 2.673 ~вЬ ( +5)тп ( +вв) ух= (~,,)„( ) (2 ) + «-! + 2 " ( в ) Х (2 — гй> ( й )з'п[(2" Зй)(ох+а)]+ ° --"-' -""С', )С.) + — „)= ~~Г гв»в+з«- в (2»» — 2>)з а»+ (2» — 2й>з а» в-о в-о х ((2лв — 2У > а вЬ [(2т — 2у) (ах+ Ь)] сов [(2п — 2Й) (сх+ ву)]+ + (2л — 2Й) с сЬ [(2т — 2У) (ах.+ Ь)] нп [(2п — 2й) (ох+ >У)]). 1'Х1 [354] (За) 2. ~ вЬ»"'(ах+5)в>пв» в(ох+3)в(х»« «-! †' -вуз« вЂ -» ( ) ~~~~ ~° ( ) сов[(2в — 2ув - 1)(сх + ву)] + (,»(2»в ) (гл — 1) 2»«»»-з С > .'-> [гвв — 2»за»+(2» — 2й 1>за» 7-ов о х ((2лв — 2У) а вЬ [(2т — 2У) (ах+ Ь)] впв [(2л — 2й — 1) (ох+ >1)]— — (2в — 2й — 1) с сЬ [(2т — 2У) (ах + Ь)] соз [(2И вЂ” 2й — 1) (ох + ву)]).ГХ1 [354] (ЗЬ) 3.
$ зЬ» в(ах+5)в(п»" (ах+!у) в(х«» сЬ [(2т — 2У' — 1)(ах+ )]+ в о ° --'-' -'*"(' ')С") + гв»в'в»-в вв> .Е (глв — 2> — 1)»аз+(2« — "2й>зез в=о й=о х ((2т — 2У' — 1] а сЬ [(2т — 2У' — 1) (ах + 5)] соз [(2п — 2У!) (сх + ввв)] + +(2п — 2й) с вЬ [(2ж — 2У вЂ” 1) (ах+ Ь)] 24п [(2л — 2>в) (ох+ с>)]). ГХ1 [354] (Зо) 4, . Г~вь '( +Ь)И ( х+ву)>Ух »» — ! -! 1,.2 (2 — 1) (2 — 1) 2»в з» " (2»в — 2> — 1)за» + (2» — 2й — 1)в аз в=о й-о х ((2т — 2У' — 1) а сЬ [(2т — 2У' — 1) (ах+ Ь)] звп [(2в — 2й — 1) (ох+ ву)]— — (гп — Зй — 1) с вЬ [(2т — 2У' — 1) (ах+ Ь)] сов [(2п — 2ув — 1) (ос+ ву)]). ГХ1 [354] (3»1) 214 я. нвош вдвлвнныв ннтвгвалы от олвмвнтапных вз нкцив 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
