Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Д(331) в. неонРБлелинныи интВРРАлы от елиминтАРных Фхнкцлл агс18 — з(х = х агс(8 — — -с- (н (аз+ хз). а а агсс16 — »зх = х агсс(8 — + — )л (аз+ хз). а а 2 1. 2. Д (525) Д(528) 2.83 зьркгвиус, арикосинуе н алгебраическая функции х ха"» . х 1 Г ха*»»)х х" агсвш — »зх * — агсвш .+1 . +1 у« 2.831 мощью » хз аз х х агав!»» — »(х =- ( — — — ) агав(Б — + — ) ' а' — х'.
а ( 2 4 / а 4 х Гх» азх х х атосов — »(х= ( — — — ) атосов — — — у'сз — дз. а»,2 4.»' а 4 — агсвш — »(х = — — агса(н — — — 1н х 1 . х 1 а+уса~ — за хз а х а а з 1 —, атосов — з(х = — — атосов — + — )н а 1 а+ЬГа~ — а= ъ.з а х а а х .„, ./ агсэшх агах!ах 2 ./ (а- Ь)(1 — х) (а+Ьхр Ь (а+ Ьх) Ь у" аз Ьз 8 з' (а+Ь) (1+ с) [аз) Ьз); азсз!эх 1 )с (а+Ь)(1+х)+)»'(Ь вЂ” а)(1 — х) Ь (а+ Ьх) Ь )»'Ьз — аз ЬГ(а+ Ь) (1+а) — )/(Ь вЂ” а) (1 — х) *агсашх „агсашх Ь' с+1х !(1 ( схз)з ~Х 2с(1.) схз) + 2 [с > — 11; агсз)вх 1 )» 1 — аз+ау' — (с-! 1) й(1+ах') 4 Ь ( .! П у"1 * )»' ( ( 1) х азха»в х »(х = х — )/1 — х' агсвш х. У1 аа (см. 2.263 1., 2.264, 2.27).
х 1 Г х™»)х х" атосов — з(х = — агссое — + — ~ а а+1 а+1 ) у..з .з (см. 2.263 1., 2,264, 2.27). Г а»'сзш х Г атосов х Прзз и= — 1 эти интегралы (т. е. »э — »(х и ~ — »зх) с ло- х колесной комбинации элементарных функций не выражаются. агсссз х н ) 1 ( ашв(ах х х 5 х 3 2.838 агсз!и х У (1 — хз)з х азсгви х ~Г~~ . 1)з + — 1п 11 — х'). агсгии х у'1 .хз + 2 1+х ' Д 1531.2) 2.851 2.852 хе+1 х а Г хзлх 1. ) х" агсс13 — згх = — агсстб — + — )— а в+1 а х+1 ) аз+хз При и= — 1 — сЬ ие может быть выражен с помощью коиечнои комбинации агсси х алемеитариых функций. 2.841 1 2 3 т В ОВРАтнып тгигономитРичискик Функции хз агсзга х хз * г — — -з сЬхх — — — "у 1 — хзагсв)п х+ — 1агсвшх)з, хз агсз!и х х* 2х 1 в --- — — с1х= — + — — — 1» +2) у 1-х агсв!пх. ут=э = З 2.84 Арксскаис, арккосекаис.и степени ю и Г х хагсвес — зЬ= ~ хагссов — сЬ= а х = — 11х атосов — — а у х — а 1г ~0 < вгссов — < — ~ 1 Г 3 з гз з— 11 Г а В 1.
2 1 2.1' — — 11х атосов — +а у х — а 11 ~ — < агссов — < л] х 2 1 х 2 х Г а хз агсяес — 11х хх ~ хза ге соя — згх хх — з а а аз =-3-11хзатссов — — — х у'хз — аз — —,1п 1х+ у хз — аз)~ 2 2 ~ 0 < атосов — < з а х з з а* Г 1' = — з' хз атосов — + — х р'хз — аз + — 1п (х+ )/ х — аз)~ л а — < атосов — < л ~ . 2 х хагссовес х сйхх 1хаггв1п х 11х= а д х = — 11хзагсв)п — +а )/хв — а г ~0 < агсвзп — ( — ) 1 Г в х 2 1 х 2 .) з = — )1х агсип — — а, х — а 1 à — — < агсвпз — < 0 ) .
2 1 х 3 1. х Д(534.1) 2.85 Арктангеие, арккотаигеис и алгебраичеекаи функции — —.--+ ~ "+- 1 ЗЗ1 х а Г х" зхх х" асс 13 — 11х = — ~ — — агс$8 — — — — 1- ~ —; — -1- . 1. г. Т (689) т(4О5) (см. 2.8511.) 2 857 2.858 агс12 х агс))(х У(а ! Ьгв)г а Уа+Ьха а У а+ Ьх* 2.854 2.855 2.856 1 2 з 3. нйспРВНВВВнныВ ингхггалы Ог эдамаиглгнг!х Фхн1ГВН — ~2х лх —, 1п х — ~ — — !(х, агссгд а х Г а ЮЬЗ х 2 х х а Ф ах х ага!9 — г(х = — (х'+ аа) агс12 — — —.
а 2 а 2 хаггс( — а(хлл — (х +а ) агсс1ц — + —. а х аа а 2 а 2 1 х 1 х 1 ха+ха — 19 — ( = — — 1 — — —.1 —. хв в х а 2а ( ага!ах 1 Г а+()х З-а* , !(х=,, 111 —. — агс)ух~. ( +() )' а*+6' ( у!+*1 ~+Р С, 1-1- в !(х 2 агс12х1В(1+ха) —.~ — ~ 1+ х" агс12 х 1+ха !(х=хагсйхх — — 1В(1+х ) — — (агсзхх) . а 1 а 2 2 хв агссз х 1+а* !(х — — х -(- — (1 + ха) ага(6 х — ~ — - --- г(х.
1 Г х ага(ах 2 2 3 1+И" ! *+ з 1В(1+х)+ + ~ — — х г! агс12 х+ — (агсйбх) . Гх 1 3 ~з .) 2 агс)ах йх Г д (2л — 2й)11(2а — 1)!! (1+хг)"'г ( ~! Гзл)1! (2л — 2й+1)!1 (1+ха)л й'г + в=-1 1 (2л — 1] Н вЂ” ) ' агсйдх~ агсщх+ л 1 ~! (2л — 1)П (2л -2й)!! 1 + 2 ~ (2л)1.
!2а — 2й+ 1)11 ! — й+1) (1+ха)~ а ~ й ! х ага!В х - г а ху2 ,1 у'1 — ха агс19 х+ Ь 2 агс(гг — — агссгп х. У1-* У1 ха агс(х 'ьг — (а < Ь); 1 ° l а+ Ь~'~ а уй — а Ь вЂ” а Уа+Ьха — Уа — Ь 2аУ.— Ь Г~+Ь +Уа — Ь [а„> Ч. 3.— Ф. ОНРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕРРЛ ЛЫ О д ЭЛЕИЕНТАРНЫХ Ф3'ННЦИй 3.0 ВВЕДЕНИЕ е) 3.01 Теоремы общего характера 3.011 Пусть 1(х) иитегрируема е*) к наибольшем из промежутков (р, д), (р, г), (г, с)). Тогда (кезависимо от взаимного расположения точек р, с), г) оиа ивтегрируема и в двух других промежутках, и имеет место равенство т г е ~ у(х) ссх= ~ /(х)с(х+ ~ у(х) сух, Ф 11 12б г г 3.012 Теорема о среднем зиачении (первая).
Пусть 1) у(т) непре- рывна и у(х) интегрируема к промегкутке (р с)); 2) т<у(т)~М; 3) у(х) во всем промежутке (р, с)) пе мепяет зиаиа. Тогда существует хотя бы одиа точка $(р<$<д), для которой 9 у(х) я(х) ссх = у($) ) я (х) осх. Ф 11 132 г 3013 Вторая теорема о среднем значении. Если в промежутке (р, д) (р ( с)) у(х) монотонно не возрастает и неотрицательна, а д(х) инте- грируема, то существует хотя бы одна точка $(р<$ь,д), для которой $ 1, ~у(х)у(х)с(х=у(р) ~ д(х)с(х. о р Если при сохранепии остальных условий теоремы 3.0131.
1(х) моиотоппо не убывает, то (П)гС)ь-с(Е~гген. Сгсссо э *) Онределегсие определенпых и кратных интегралов мы опускаем. так как онв широко аззесзиы и их можно леско иакти л каждом учебнике Мы принодим здесь только некоторые теоремы общего характера, дающие опенки или приводящие данный иитес рал к более кростому ез) фувкдии С (а) называется ккжезрирузмзй в промежутке (р, д), если существует е ) (х) ол.
При этом обычно подрааумевают существование иитеграла в скзщле Римана Поли же речь идет о сущестэокакии иктеграла в смысле Стилтьеса Дебега и т п., то говорят об иатегрирусмости в смысле Стилтьеса, Дебега и т. к 1б таааааи автеггааоз 226 3-4 онтвпеленныв ннтсггалы От злкментлгных Функннн Коли в про чежутке (р, о) ]р с, о] 1(х) монотонна, а д(х) интетрируема, то з.
]~аае~"-~~я]а~.~а,~~с„.,а о~Ф<д,, Р Р 4. ]~( )у()ш-~ („()а~В]~(еа О~ч~с где А н  — два любые числа, удовлетворяющие условиям А>у(р+О) и В<1(д — О) ]если ~ убывает], А~~(р+О) н В>~(д — О) ]если / возрастает]; в частности, 5 ~ ~ (х) д (х) ь(х = ~(р+ О) ~ д (х) г)х+ 1(д- О) ~ д (х) (х. г)) ц И3 р Р г 3.02 Замена переменного в определенном интеграле а е 3020 $ У(х)г(х= ~ 1]у(Г)]д'(С)гИ; х=д(М). а е Эта формула действительна при следующих условиях: 1. 1(х) непрерывна на некотором отрезке А <х (В, заключавнпем в себе старые пределы а н 3, 2.
Имеют место равенства а=у(ф), 6=3(ф). 3. 3(т) и ее производная д (г) непрерывны па отрезке ф~ г сф. 4, При изменении г от ф до ф у(1) изменяется всегда в одном и том же направлении от Л(ф) =а до д(ф) = р*). з 3,021 Инте~ рал ') 1(х) г(х может быть преобразован в другой интеграл а с заданныян пределами ф н ф при помощн аинейной подстановки х= — — г -~- р — а ат — рр Ф вЂ” ф ф ф а е 1.
~ г(х)Нх= — ~ у( — г+ ~)М; а е в частности, прн ф=0, чу= 1: в $ 2. ~ 1(х) г(х = (0 — а) ~ 1((]) — а) 1+ а) Ж. ") В случае, если последнее условие не удовлетворено, отрезок ф(г~ф следует разделять на часта, а которых его условие удовлетворяется; а ег ез е 1( ) м= ~ у (л(г)) г (г) и+ ~ ) (г(гй с (г) аг+...
+ $ ) (г 03 г 0) лг. а е еь тз-ь г з ввкцвннк При е/ О, ф со: /О 8. )////,-/с —,)(/( м~,') '-',— „. а е 3.022 Имеют место также следующие равенства: е в 1. ~ г(х)ссх= ) г(а+Π— х)лх. о а в '/ /( // - '///с — ) с*. з а 3. ~~(х)с(х= ~ ~( — х) сГх.
3.03 Формулы общего характера Р э ~ ~ (х) Нх — 2 ~ ) (х) сЬ. ФП 159 2. Пусть / (х) — функцвя, кнтегрвруомая на отрезке ( — р, р) и удовлетворяю/цая на этом отрезке соотно/пению ) ( — х) =- — ) (х) (такую функцию называют ясчияяой); тогда э ~ у(х)ссх=О. Ф П 159 г г 1. ) у(агах)ссх= ~)(соек)ссх, з где ~(х) — интегрируемая ка отрезке (О, 1) фуяккин.
2. ~ )(рсснх+ уз(нх) ох= 2 ~ у(р/рг+ рзсоех) Ых, з е где Г(х) — интегрируемая на отрезке ( — )/"рг+ ог, )/рг+ с)з) функция. ФП 160 г г 3. ~)(з1н2х)соахдх~~ у(совах)созхссх, где )(х) — интегрируемая на отрезке (О, 1) фуницюг, ФП 161 гг 3.031 1, Пусть г(х) — функция, интегрируемая на отрезке ( — р, р] и удовлетворяющая яа этом отрезке соотношению Г( — х) Г(х) (такую функцюо нааывают чз/якой); тогда 228 в — 4. определенные интегРАлы От элементАРных ФУнкпий 1. Если «(х+я)=«(х) и «(-х)=«(х), то 2 «(х) Ых= ~ «(х) еЬ.
ЛоУ 277 (3) е 2. Ебли «(х+я) — «(х) и «( — х)=«(х), то в «(х) — '~Ь= ~ «(х) совхоз. Ло7 279 (4) В формулах 3.033 предполагается, что интегралы, стоящие в левых частях формул, существуют. $«(+ ~+«( ),7 «(+ ) И [ Ц 1+2рсоеед р' à — р' 2. ) . р +,(«(а+с"')-(-«(а-(-е *'))Их=я(«(а+р)+«(аи в Ла 230 (16) [[р[< Ц. Б 169 3. $ ~ ) ~~,, ~в1пхЫх= Я. («(а+р) — «(а)) [[р[< Ц. е Б 169 В формулах ЗА)65 предполагается, что функция «аналитическая в вамкнутом единичном круге с цоптром в ~очке а. 3.036 1. ~ «~,)е«х — ~ «(вгп х)Ых [р ~Ц, о в =~«("; 3'* 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
