Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 26
Текст из файла (страница 26)
переписываем так: 2йз сзз з 2(х [ вс а !йв в!засова!)/а мавв — 1 " в )6а*згазз — 1 1 )давя!Изз — ) откуда получаем: ав 1 !п Уав — 1 +У ав в!изз — 1 мазаев з у а'Ыаяа — 1 2)/аз — 1 р2а* — 1 — ~/аввю~в — 1 — агсэ)о —. [аз > 1]. 1 а Б1П х 2.6!2 И 2 ]В( И (~1 — И )6*. Для нахо!кденвя интегралов типа ~ Я (в1пх, соэх.
]/1 — Йвсоэвх)((х следует сначала сделать подстановку х = — -у, которая дает 2 и(! *, . 2' — "'~*(6*- — [" (' 2.'И2.2т — 2' ' '2~(62. Интегралы ~ Л (сову. в!п у, У1 — йз визу ) 6(у ваходятся по формулам 2.5832 2.584. В результате использования этих формул (предползгаетсв, что исходный интеграл приводится только к интегралам первой и второй лсжавдровой формы) после замены фуикций Е(х, Й) я Е(х, й) соответствующими иптеграламв получится выражение вида — у(сову.
апу) — А 1 й — В ~ [('1 — Йзюпзу а(у. .1 )/ 1 — йв я!ив а Переходи обратно и переменным х, находам: Л (э!их, совх, р 1 — Й соввх) (гх= = — у(в)пх, совх) — А ~ 2(а — в ((Т:У 3 у'1 — Ыссвз з Входюцие а ато выражение интегралы находится по формулам: аз / З1а з 1. — -- — ---,-.- Е( агсагв —, Й) . Э )/" 1 — йв ваз' з ( У'1 — й'ссвз* 2. ] ]2'1 — й соьвх 1(Х=Е ~агсэ!и =. й 1!— з .з зп1х 1 йзя!Изссзз )/1 — йвсомз у 1 — йвсомз 2.613 Интегралы типа ] Л (з!пх, совх, у'! — рвсоэзх) 6(х [р> !], Для вахождеввя интегралов типа ] )2 (э!о х, соз х, )22 1 — р" соя" х ) 6(х [р> 1] поступают так же. как и в 2.612.
Прв этом пользуютсяформуаами. 2(в 1 Р 1 1. 1 — — — = — — Е~агсэ!п(росах), — ) [р>1]. .( Р 1 — Рвсаявз Р Р 191 з.з — з.з тгигономнтгнчиские юункции 2. ~ '1/1 — р сов х)(х= — Р~агсз(п(рсовх[, Рл — 1 /. 1 РР— рК (аг сыо (р сов х1, 1Ч Р лбн л * р * ')л) ' *, *,Гтгг' *)л 1. Нз 1 р/х, Рг1+рл сслл л (/1+ рл ~, 1/1+ Рл ) 2. ~ )/1+ рзсов'х )/х = 1//1 -(- рл Е (х, — --Р—— 1/1+ Р' ЛЕ~Ь и * Р [Л)~ „, ) Р;т= — 1),,),>Ц Дли нахождения интегралов типа ~ В (вш х, сов х, )/ал совл х — 1) г/х следует сделать подстановку х= — — у, которая дает 2 Л(вшх, сов х, (/алсос" х — 1) г/х= — ~ В(сову„з1п у, 1/алвшлу — 1) г/у.
дли вычисления интегралов — ~ В(сов у, в(п у, )/аз з!псу — 1) )(у следует пользоваться сказанным з 2.611 и затем, после обратного перехода к переменным х, формулами: — = — Р(агсвш ) [а ь 1[. — — ' ) ал 1 ! . аз)аз угал — 11 У'лл села л 1 а 1 (/ла 1 л '* — ') )/ал сова х — 1 )(х = аЕ (агсв(п 1 l . а з)а л 1' а* — 1) — — г" (агсзш а ~"аа 1 ' а [а> 1). 2616 и г [л)л .ГТ-рлг,~! — г ь )и. г'1 — Рв ма* Обоаиачение: и=аггею 1 1 — Рл лгал л [,,/ Рг(1 Рлз1алл)(1 вез)алл) У 1 Рл ~ г 1 — Рл Г ( О < Рл С )/л < 1, 0 С х < 2 [ . БФ (284.ЯО) Для нахождения интегралов типа ~ Л (в)п х, сов х, [/1+ рл газах ) Нх следует сделать подстановку х — — у, которая дает 2 Л (в(пх, совх, (/1+рзсов*х))(х= — ~В (сову, з(ау, $/1 ррзв)плу) Иу.
Л ° г — [л) л. лл. Гттл'л г)лю ю. пользоваться сказанным в 2.598 н 2.612, а затем, после обратного перехода к переменным х, формулами: 192 3. нконркдклкннык ннткгра»»ы от олкмкнтврных ехнкцин !3» х»)х !3х )»' 1 — д»я!и» х )» (1 — -р»яш»х)(1 9»я»а»х) (1 д») д 1 — р»вш» х — Е(к, ()/д "', ) ( О<рв <4»<1, О<к< — 1.
БФ (284. 07) 3. ск» х Их 1 х У(1 — р'вш'Ы(1 д*»1п»х) 3(1 — д»)»(1 — р)!» х~г(г — р* — дв)К(, ~/-",— ',*-)-(1 — дв)Г(х, 1,/д,*;*)1+ + 2р'+ д» вЂ” 3+ в1а. х (4 — 3 р' — 39»+ р'д') вш х . /1 — д' яш'.х 3 (1 — )Р) (1 — 9»)» с в' )' 1 — (Рв!а»х ( 0<р'<д" <1, 0<х< — "1. БФ(284.07) (, ' )- в!а» х»(х )» 1 — р» д — р' у/(1 — р» в»а» х) (! — 9» в!а»х)» (1 9 )(д =Р ) (» 1 Р ) р(, /»-;*1 в!ахсаях ( 0< я< »<1 О, »» ) (1 — 91) 3»(1 — р» в»а» х) (1 — д» Ыа» в БФ (284.06) 5. аав» х Нх (1 — р» я!и» х)» (1 — д я!а» '») = — ': — "' (' ~/'Г==-'-:-)---, ', "= —, (- ~~' -: ~0<р'<д'<1, 0<х< — "1.
БФ(284.05) 6. »»»я~ х Нх ~Г(1 — р»»!а» х)» (1 — 9» ма» х) »- »" »я»с:»')1 й 3 (д' — р*)' [ (1 — р')' ('У 1 — р') 39" — р» — 1 ( /д — » )1 (1 — р»)вп» хсая х У 1 — я» я»п»я' 1--.Рд ( 1' 1:Р*Д 3(!Р:р») ~Г<! р Ы *х)» [О < рв < дв < 1, 0 < х < — 1 . БФ (284,05) 7. лх 1 — 9» в!а» х 1, ( /д» вЂ” рр»') 1 — р яш»х 1 — р»нп х у'~ р ( ' )» 1 — р») — Б»я,я, ~ 0 < р' < дв < 1, 0 < х < — ) .
БФ (284.01) /'1 — р»я!а»х,! )~'(=р . ( ~Рд» вЂ” р») д» вЂ” р» я»п х соя х р а 1 БФ (284.04) з,в — г.в тгигономктгкчкскик лгиицки 9. ./' »(л, / 1 — рз внн х 1+(рзгз — рз — »л) вш*х 1' 1 — д»вш»х И(,, ~/~) ~О<р <о <1, О« — ~. БФ (234.02) 2.617 Обозначение: о=огсз(н~» / )ГЬ*+с» — Ьвшх — слова 2 )тЬ»+с» 2 ф' Ьз+ с» а+)ГЬ'+сз »(л 2 1.
Ьга+Ьвшх+ссовл )/л ( Ьгьз ( сз — Р(а, г) 0 < р' Ь'+с' < а, агсв(н — л<х < агсв1н 1; БФ(294.00) )/Ь Ч-сз Ь' Ь»+св ) )» 2 ~Ь*+сз " "' О < ( а [ < р' Ьз + сз, агсвш — атосов ( — 1 < х < у'ь +" )~Ь»+ з/ < агсвш ~ . БФ (293.00) ь )гЬ»+-сз 2. в!и х»)х )» 2Ь вЂ” — (2Е(л» г) — Р(о, г))+ Ьуа+Ьвшх-)-ссовх у (Ь»-гсз)з +ь г)'с+Ьвшх+ссоах 2с 0 <)а! < ф~ьз+сз, агсв1о — — атосов( —— Ьгь» ) у'ь»-)- ( < х < агсвн» 1 . БФ(293.05) Ь Ьгьз~св 3.
Г (Ьсовх — св(ох)сх — = 2 )ус + Ь яш х + с сов х. В )Га+Ьвшх+своих — *»*- — »)Г'~у»» "зх, с». )У а+ Ь як х (-с сов з »», с [»су».~ ° с., Ь Ь агсаш — и < х < агсвзн (; БФ (294.04) )Газ+ с" )Гь»+ аз 1 = — 2)» 2)'Ьз+с»Е(а, г) 0 < [ а ( < ")»г Ьз + сз, агсвш == — атосов ( — 1) < х < р Ь»+с у'Ь +с»( < агсв1п 1 .
БФ (293.01) Ь )ГЬ»+ сз 12 тзвлиом исто»»зло» в. нкопгвдклкннык ннтнггвлы от елкнкнтввных егннппп 5. ~ ~а+ Ь в(п х -(- с сов хввх = — 2 р/ а+ Ь/ Ьв+ св Е (о, г) 0 < )/Ьв+св < а, агсв1п= — п<х <агсып 1; БФ(294.01) ь Ь ~ь'+ ' )/Ьв+ вв = — 2 )/2 (/Ьв-(-свй(а, г)+ + —,—. -- — Р(о, г) ~ 0<(а(<~'Ьь+с', )/ 2 ( в/Ьв+ в' — в) в 'Ь" +вв аггв(п = — атосов ~=) < х < агсвйв ] . БФ (293.03) Ь / — в ь 4/Ьв -(- вв (,Ь/Ь*+ вв~ )/Ьв + в* 9. — (,=) в1вв вв вв ыв 2ав 1 ( 1 )/ соЫ 2вв 2в (/сов 2вв в Ь' 2 ( )/2,/ 2.618 Интегралы типа ~ В(з(пах, совах, Ь/соз2ах) в(х= = — ~Я'з(пп совь, )/1 — 2в(п Г) Ж ((=ах).
Обозначение а=агсв(п()/ 2вшах). Интегралы ~ Л(в1пах, совах, )/соз 2ах) в(х прелставлягог собой частный вид (р = 2) интегралов 2.595. Приведем некоторые формулы: = Р (а, =) [ О < ах < — ] . )/2 / 1 ~ (6 савв ав+ 0 в1а вв ° г — Г а $ — — Р (и, — ) — — — — — — — гасов 2ах [0 < х< — ~ . Зв (.
' Ь/2/ За вввв вв 4 .) — — ьа ах рссов 2ах [О < х< — 1 . 1 г — — т Г вв ч 7. -('-)[ аа =П(а, г', ) [0< ах< — 1 . а1 (1 — гг в~ * >)/~ кв )/2 ( ' ')/5) 4 З )/соввввв в Ь"2 ( )/2) в ( )/2) а)/сов гва [0<ах<а~. [О« *41 [0«Ф1. 2.621 БФ (287.
50) БФ (287.57) '"('Ь) 2.63 — 2.65 Тригонометрические функции и етелениан функции 2.613( ~ х'в(п ХСОВ Ь= „[(р+11)х'9)п "'. в . + 1 (р+вр +У'х 91п хсевях — Г(Г 1) ~ х 91п хсовяхНт— — Гр ~ х '91пя яхсовя 'хсЬ+(с — 1)(р+д) ~ х'9(ияхсов' ях1Ь); ) — (р+ д) х'въпа сх соевых+ (11+яр ~ + - и я — ( — 1)~*"-' пях ° Ь+ +Гд ~ х' 19(пя 1х сова 1хсЬ+(р — 1)(р+4) ~ х'в(пя яхсовахсЬ ) .
Г)д ~333) (() 5 6 7 8 я. нкопгндилиииык интнггялы от анвмкитагиых огинцин Интегралы типа ~Л(ыпах, совах, )/91п2ах)с(х. Обеспечение: о=вгсвяи )Г/ В Мп аа 1+ 91п ая+ соя ая 1 „, „° ~'(' 3)-.'(' — 3)3- БФ (287. 54) .'~ '"- (' — — '3МЕ" Й БФ (287.55) (1+соя ая) ая (1+я!и ах+совая) )/9192ая (1+соя ая) аа (1 — 91п ая+ соя аа) )/919 аая = — '~р(о, )/-3)-Б(о, — '-)+~'16 ~ ~~*~ БФ (287. 56) с (1+юп ах+совая) )/я!п2ая а ~ ( )/2) ( )/3)1 БФ (287.53) (1+гоп +с~~) )/2Б (' я 1 (1+совая+(1 — 2гя) 9!п аа) )/91п 2ая 1~ у 2/ 193 з.
вкопгкдклкниыкииткггьлы от элямкгггьгных еь нкпии 2. $ х" созахах= ~ й(( ) —,ыи (ах+ ~ зи) . и 3. ~ х'" з)и х Ых = (2л)! ~ ~ ( — 1)кы соз х+ «-ь ыа"Зъ й + ~~~~ в 4. ~ за"из(охах=(2л+ 1)'( ~" ( — 1)зы * созх+ Т (486) 5. ~ х'" созх ~(х (2к)~ ~~' ( — 1)" — . „, з(их+ ела-аь + ~ — — созх~ с-~ (га — 2ь)! з=н 2.634 1. ~Р (х)з(лтхйх 'Я) Ю) ощта ~ч ~ 1)з Р~ (а) +оспах ~ ( 1)ыь Р~ (х) ИФ ы м щМ-з ь-О «-г ~ Р (х)созяхИх= л(" — *') + — '" .'Е (-1)"' — '" () ° ызь-ы и аР" г ь ! и-й степени, Р (х)-его х-и про- (Ц '(т) ~ъ ( 1)ь гп (а) пь ~4 щи а=с В формулах 2.634 Р„(х) — миогочлви изводиан по х.
Обозначение: з = а+ Ьх. 1 ь 1. ( г з(пахах= — — з, совах+ — з1а Ьх. 1 г ы 2. ~ г, созйхйх= — „г, з(п хх+ — „, созйх. 1 ь в-1 айа-яз ° + )'~~ ( — 1)", созх~. ь=з 6. ~х""созхдх=(2а+1)! ф ( — 1)" „),з(пх-(- 2.4 — 2.4 УРИРОИОМЕТРК44ЕСКИЕ ФУНКЦИИ г- взд ах!ах= — ~ — — 21) сов йх+ — в1д йх. 1 Х2Ь* 2644 ал,а ) и 2Ь; . 2Ь, г',совйгз(х: — ~х,' — — ) вш йх+ — совйх.
ал, и) «3 , Г 8Ь* ВЬ Г, 26'з . г'вздйгз(х= — ~ — — г ) сов йг+ — (г, — — 4) в(дйх. ! а~,«* аз (, аз ) г'совйхззх= — (г'- — 1в1д йх+ — ( г — — ) совйх. 4' 4 вьзд ЗЬ Г 4 2Ь''! ! =т(, «* ) и (. «* ) 1 / 12Ьз 2464, з,'вздйхз(х= — — ~г,' — —... г,'+ — „, ) совйх+ 4Ьз! Г 4 6Ьз'! + — ' ~ г, '— — ) в1д Ы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
