Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 31
Текст из файла (страница 31)
~ Рча(совх)в)пв"х~Ь=(2п — 1)И ~ Р(совх)совпхе(х. о Ла 228(6) 3.037 Если « — функция, аналитическая н круге радиуса г, и если «[г(совх+1щпх)) «х'(г, х)+1«(г, х), 3.034 ~""' '"*'еЬ=[«(0) — «(+ос)) 1и — ', если «(х) — функция, яепрерывная при х>0, и если существует конечный предел «(+ со) = 1пп «(х).
Ф П 633 А + 3.036 з.о ввкдкиик 2. $ )о(г, х),+* — — Я [1(ге») — У(О)[. о » со 3. ~ ' ' ух= — ", [1(г)-1(0)[. С» Ла 230(22) 3.038 1 Р [ Ух + Р )г 1 + х ) = ~ Р (Р сЬ х -)- д вЬ х) вЬ х дк = - у'1+* СО = 2Ч ~ р" [э13а р.)/ рз — со еЬ х) аЬ" х оЬ о [р — функция, имеющая пепрерыввую производяую в промежутке ( — оо, со); все вспользоваивые интегралы сходятся).
Ло П)281 и, Ло П1 391 и. Ла 230(19) Ла 230 (20) Ла 230 (21) 3.04 Несобствеывые интегралов 3.041 Пусть функция 1(х) определена в промежутке (р, +со) и иитегри- руема в любой его копечпой части (р, Рд тогда по определению +03 Р ~ [(х)дх 1пв ~ 1(х)гЬ, » » если этот предел существует. В случае сушествозавия указанного предела +О говорят, что витеграл ~ 1(х)Ых сугехстоует или сходится. В противном случае говорят, что интеграл расходится.
3.042 Пусть в любом промежутке (р, у — г)) (О ( ц < у — р) фужгция 1(х) ограничена и иктегрируема, во оказывается кеограпичеииой в каждом промежутке (у — гь д) слева от точки д. Точка у носит в этом случае па- зваыие особой точки. Тогда по определеиню о о-ч ') 1 (х) ах = Пш $ у (х) гЬ, » » если этот предел сушествует. В вгоы случае говорят, что витеграл 1(х) дх суцествует или сходится.
» 3.043 Если сходится ие только интеграл от у(х), но и ипчигрвл от [1(х)[, то говорят, что витеграл от 1(х) сходится абсооютяо. + 3.044 Иитеграл ~ 1(х)гЬ сходится абсолютно, еслй можно указать такое р ь 2ЭО число «> 1, прв котором предел Иш (хв»)(х))) существует; еСли же 1нп (х»)(х)() =Ь) О, э +ьО +в г% то интеграл ~ »» (х)» ах расходится. ч З.Оч5 Интеграл ~г(х»Ых, для которого верхний предел ч является особой в точкой, сходятся абсолютно, еслв можно укааать такое число «с, х, при котором предел 1рш((7-х» )У(х)») существует; если же 11ш[(7 — х))1(х)Ц=Ь~ О, то интеграл ~ ) (х) бх расходктся.
З.йаб Пусть функция 1(х) и х(х) определенм в промежутке (р, -(-оэ), причем г'(х) шпегрнруема в каждом конечном промежутке (р, Р). Если интеграл г ')»(х)<(х представляет собою ограниченную функцию от Р, а д(х) — монотонная . функция, прячем д(х)-ьО при х — ь+ со, то интеграл +Ю ~ у(х)б(х)кх в ФП577 сходится. 3.05 Главные ввачеввя весобстневвых интегралов 3.051 Пусть фушщня г(х) ии1еет олпу особую точку г вкутри промежутка (р, д), в котором она определена, и интегрируема в каждой частн этого промежутка, не содержащей точки г. Тогда по определению ч — ч ~ )(х)дх= 1пп ~ ~ )(х)ах~+ ~ г(х)Ю), ч-э» гтч' причем предел должен существовать при н е з а в и с и и о м предельном переходе цо 1» в по г»'.
Если укаааннмй предел не существует, но существует предел г-ч Ю 1(ш ~ ~ Дх)ах+ ) у(х) Ж~, в +ч 231 гл — З.х стнниннын и длгиигаичискнн Фъ'вицин то этот последний нааывают агагным значением несобственного интеграла е 7(х)бх и говорат, что интеграл ~ 1(х) Ых существует г смысле авизного Р Р значения, ФП603 3.052 Пусть функпия у(х) непрерывна в промежутке (р, у) и обращается в нуль в одной лик~в точке г внутри этого промежутка.
Пусть в окрестности точки г существует первая яроизводпая 1'(х), причем пусть )" (г) + О, и в самой точке г существует вторая ироизводяан )" (г). Тогда е э расходится, но существует в смысле главного значения. Ф11 605 3.053 Расходящийся внтеграл от положительной функции не может существовать в смысле главного значения. ФП605 3.054 Пусть в промежутке ( — со, + оэ) у функции 7(х) вет особых точек. Тогда, по определению, + Я $ У(х)~Кх Пш 1/(х)бх, Р о-юг причем предел доджен существовать при независимом предельном переходе по Р и по ф. Кслв укааанвый предел не сушвствует, но существует предел 1)ш ~ 1(х)бх, Р + то этот последний называют гласным значением несобственного интеграла Ф11607 3.055 Для четнон функции главное значение несобственного интеграла существует только в том случае, когда этот интеграл сходится (в обычном смысле).
Ф11607 3.1 — 3.2 СТЕПЕН11ЫЕ И АЛ1'КБРАИЧЕС1(ИЕ ФУП1ЩИИ ЗЛ1 Рациональные функции ЗЛ11 (~, * Йю = —. (р — чг соа Ц (главное аначенне)*) ~ ге+2гх гол Л+ге гюаЛ (см. также ЗЛ94 8. и 3.252 1. и 2.). БХ [22! (14) *) В снрезочшгве дааы авачення ссбетяееных и несобственных сходящахся интегралов, а также главные заачеааа расходящихся яатегралое (см. Злоб), еелв такотю виевнся.
В дельаейшем гаавяые захченая иячеи ае вьгделяются. 232 а — е. ОБРБдвлвнныв интВРРАлы от елвмвнтАРных юуннцни о 3.4»2 Интегралы типа где (В) = Ь вв в+ Ь аа 4+... + Ь у () Вп(»е+ + йп(л) лежат в верхней полуплоскостн1. Г (х) ах вз М» )4» (х) Ь ( х) ае Ьп [ВСЕ КОРИВ '5 где О Оо...ап О О О ... а„ аоье аоав 2. Ьв(х) Ьо( — х) 3. Ьо (х) Ьв ( — х) -о Дж454 3. Хо (х) ах Ьо (х) Йо ( — х) аоьз Ьо ( — азао+аваз) — аоазьо+аеаоьо+ — (аеаз — аоав) Но ае (ава(+ еоае — аоавао) ое 6.
Г'( ) =Ив . 1 .'*'* ="' — "' ° Ьо (х) Ьв ( — х) аеЬв о 4. "з (х) Ьз ( х) а, а а ... О а а а, ... О Оаа...о Ь, Ь, Ь, ... Ь„, а, , ао .-. О О а,а,...о а,ь, — ь.+— Ж а за о аоавьз — авЬе+аеЬз— Я( "з ае (аоав — азов) 233 где М = Ь ( — асасас+а а,'+асах-асасас)+асЬ1( — атас+а ас)+ +а Ь (асас — адах)+а Ьс ( — асаз+агас) + — ( — а а„а, +а а, +а,ас — агасаз), сссс и М сс Ьч = а,'ас — 2а а,асах - аса а а, + а„а„'ас -1- а,'аз+ ага,'ас — а,а,а а .
Д)И455 3.12 Произведения рациопальнык функции и выражений, приоодящикся к квадратным корням из многочленок первой и второй степени ЗЛ21 БХ [ 10] (17) БХ [10] (9) Ли[14](5), Ли[14](16) ЗЛЗ-ЗЛ7 Выражении, приводяп(неся к квадратным корням иа многочлевов третьей и четвертой степени, и ик произведения с рацвоналысыми функциями В 3.131 — ЗЛ37 положено: а=атее!о [/ —, [)=агсз1п [/ / и — с .
/(с — с)(Ь вЂ” -и) у = агсв1п ]/ - —, 5=агсз!и !Уг— Ь— (Ь вЂ” с) (с — и) / (с — с)(и — Ь) . / с — и и=агсз1п у Х=агсз(п Ьгг —, ]/ (с — Ь) (и — с) ' [/ с — Ь /и — с . /с — с /с — Ь ГЬ вЂ” с (1=агав)п]/ —, т=агсз1п Ьг/ —, Р= (гг —, д= [/ — . и — Ь и — с ' [Г с — с ' [/ с — с ЗЛ31 зл — З.з сткпкннык и алгквгаичкскик Функции ! ах чт мн ЬХ 1. ~ ! сион + —.—— 2соеес)с~~ —. о ь~з 1 2. х — " [О (р (р]. г — Рх Ьгх(! — х) У г (т Р) 1 Ех /'~х и ! )~г (+г 3 ~ 1 — ух+. У ~~ ~ ь г ° (+''гсгй( 1.
1 — р(а, р) [а > Ь > е > к]. Ь' (с — х) (Ь вЂ” х) (с — х) (ггс — с и 2. ! — — — — — = — Р" ([1, р) [а > Ь > е > и]. )' (с — х) (Ь вЂ” х) (с — х) )/и — с и и Р(у, а) [а > Ь> и > е]. )/(с — х) (Ь вЂ” х) (х — с) )г'с — с ь 4. 1 -- — = — =Е(Ь, д) [а > Ь > и>е]. д )/(а — х) (Ь вЂ” х) (х — с) )/с — с и 5. 1 р (и, р) [а > и > Ь > е]. )/(с — х) [х — Ь) (х — с) !г а — с БФ (231.00) БФ (232.00) БФ (233.00) БФ (234.00) БФ (235.
00) 234 с — с. Ьихиииииииььи иихийиьиы с2 иииииьссьииыи ихиииий ЗЛ32 с [ср ф, р)+ Ь) (с — х) (Ь вЂ” х) (с — х) ))са — с « -Ь (а — с)Еф, р)] — 2 [/ ' " [а> Ь> с > и]. БФ(232Л9) с х Нх )/ (с — х) (Ь вЂ” х) (х — с) « х ах )) (с — )(х — Ь)(х — с) ь с х ах ь ):«))*- ))*- ) « « ха« Ьс(х — с) (х — Ь) (с. — с) с ЗЛЗЗ « )Г(с — х)с (Ь вЂ” х) (с — х) (с — Ь) )Га с [Р(а, р) — Е(а, р)] ) [а > Ь > с > и], БФ (231,08) с ~)) — ») - ) ) -»)"= — — [Рф Р) Еф РН+ 2 / с — « + к а — с Г (а — и) (б — и) [а > Ь > с > и]. БФ (232.13) 6 7 8 Нх Р (а — х) (х — Ь) (х — с) « « ах )с (х — с) (х — Ь) (х — с) с сх у (х- х) (х — Ь) (х — с) Р(Л, у) [а > и> Ь > с].
БФ(236.00) РОЬ, д) [и>а> Ь>с]. БФ(23700) — Р(ч) д) [и>а> Ь> с]. БФ(238.00) [а > Ь>и> с]. БФ(233.17) [(Ь вЂ” а)П(Ь, ь)ь, д)+ар(Ь, ьу)] [а > Ь> и>с[. БФ(234.16) [(Ь-с)П(и, рс, р)+ар(и, р)] [а> и > Ь > с]. БФ(235.16) Р(Х, р)+2 — Ь'а — с Е()ь, р) С с — с Ь [а > и> Ь > с]. БФ(236.16) ..
[а(а — Ь)П(р, 1, д)+Ьср()ь, д)] [и > а > Ь > с]. БФ(237.16) зл — Ь.з стапинныи и АНРИБРАинискии арункнни ах )Р (а — х)з (Ь вЂ” х) (х — е) о 2 ра — Ь) (а — е) ]~ з — ( ь) Ь,а —, Е(7, 9) [а> Ь>а> с], БФ (233.09) — ) .— Е(Ь, ч) и [а > Ь > а>с]. БФ(234.05) В'ирр — а~ — ) ~ — )р': — [Р(н, р) — Е(к, 2 ре и — Ь Е(м, 9)+ ) И|* —.ри-ои — о ( — ее=. и и 2Ь» е Е( )ре(д ) (Ь.
)з(д х) (а — Ь) (Ь вЂ” е) р)]+ БФ (235. 04) БФ (238. 05) ах 2 )7(а — х)(х — Ь)з(х — е) (а — Ь) )р а — е — — р()„р)— и 2Ь'а — е 2 р (а — и)(и-е) — (. ьць — е)Е() р)+(.— Ь)(ь — ) ]~ .— ь ['>а>Ь>с]- ЬЭ (245 03) 10 ах 2 Реа — е, ) у( — а) (х — Ь)'( — е) ( — Ь)(Ь вЂ” е) а Р()ь, д) [а>а>Ь>с]. (Ь вЂ” а) )р а — е БФ (237.12) — .— -рр, рр — — И~ ' " ~ зрз и З за(ир.оор ах 2 Ьра — е 8. — — — — -- — — Е(р, р)— р.(» х)(ь-.)-(е .) (. Ь)(Ь вЂ”.) Г()р, р) [а> Ь>с>а]. БФ(232.14) (а-ь) у »в дх 2 9. )ре(а — х)(Ь вЂ” х)з (х — е) (Ь вЂ” е) )р"а — е -=Р(Ъ 4)— е БФ (233.
10) с — к опикдилкннык инткгиьлы от злкмкнтаинык ехницик 12, Их 2 )Гьь — с — -"--" — =-- ----- — Е(», у)— )Г( ) ( ьр (х с) (а — '"ь Дь"' — '' с) — — Р( * д) —, ь ~Г(„ь(и, ] Ь> ] БФ(23 4) 13. — Е (а, р) + )Г(а — «) (Ь вЂ” х) (с — х)" (а — Ь) у а — с г 2 Г Ь вЂ” и Ь 14. — ]Р(Ь, ч)— У (а — х)(Ь вЂ” х)(х — с)с (Ь вЂ” с) У а — с ~)]+Ь, ~Г(, „)(„,) (а> Ь> и>е] БФ(23404) 13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
