Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 15
Текст из файла (страница 15)
~ —" Ь=и+Ы,. 4. ~ — =1. Д (234.03) и Д (234,01) п Д (204.01) и Д (204.03) и Д (204.05) и Д (204.07) и 2 нкопгкдклкннык мнткгндлы от злгмцнтлгных этннцин м-! 5 6 7 Д(242.05)и Д(242.03)и Д(242.01)и м-1-! 1 10. 2.277 Д(245.03)и Д(2445.0з)и Д(225.01)и Д (225.03)и ив иь — з(х = — —, ас 5,зхь и и" 2 сив — з!х = — — — + —— аз 5ахь+ 15 аз»в Д(246.03)и Д(246.0$)и — — — ° а» 1 тч 1 взз з дзз в+ х'.г !24 ! 1!дм-взввв з в 0 иь иь 5 в 15 15, — з(х = — — + — схив+ — асхи+ — ав! . — 8 8 мз ив 3 3 хв х 2 — з(х = — — -)- — схи+ — а! . з и и — ах= — — +! .
«в х з' 1.'*."-- —.'" И+х'=„"",'(,") (И" '1- в-з мь мь 5 5 5 — с(х = — — + — сиз+ — аси+ — авс! . хз 2»в 5 2 2 и ив 3 3 — а~х= — — + — си+ — ас! . 2в-2 г и и с — сзх = — — + — !в. 2»в 2 ах и с — = — — — — ! хви 2ахв 2а ах 1 Зс Зс — — = — — — — — — 1. авив 2ахви 2ави 2дв 1 5 с 5 ь 5 с — — — — — — !ах«ив 2ахвив 5 авив 2 ави 2 ав мь аи' 2дси с«хи 5 — з!х — — — — '+ + — ас! .
хь ЗЫ х 2 2 мв ив си — с(х — — — — +с! . хв Зхв х из — Их= — —. »с За»в ' ив и" 3 сив 3 свм 3 — ззх»» — — — — — + — — + — св! . 4»ь 8 ахв 8 а +8 и и 1 си 1 сз — 3х= — — — — — — — — ! . хь 4»в 8 ахв 8 а в. ах и 3 си 3 св хьи 4ахв 8 аз»в + 8 ав з!х 1 5 с 15 св 15 св — =- — — + — — + — з- — — ! .
»вив 4ах'м 8 а'хвм 8 аьи + 8 ав Д (243.05)и Д (243.03) и Д (243.01)и Д(223.01)и Д (223. 03)и Д(223.(б)и Д (244.06)и Д(244.03)и Д (244.01)и Х.Х АЛГВБРАИЧВСКИВ 'РУННВ(ИИ Д(228.О1 2.28 Формы, содержим(ие г" а+Ьх+гхв н многочлены первой и второй етенени О бе в н а ч е н н е: В = а+ Ьх + аьх См. также 2.252. в(х в»-вав Г= '1 Гг= — 1.
(»+р)» )/ В ) )вс+ (Ь вЂ” 2рс) В-(-(а — Ьр+ср ) Вв ~ «+Р3 2.281 =с ~ =+(Ь вЂ” ср) $ +(а — бр+ срв) ~— 2. ах Хв 1 ах (х+Р)(х+Я>)в' à — Р 2 (х+Р))в' Р— Ч З ( +Ч)У' — + )/В ах 1 '1 )в Вв(х 1 '1 )в Вах ( +р)(х+ч) а — р д *+р+ р — г 2 +ч ' ~(х+Р)Ф В')х ~ уl'вв( ( ( )~УВах (вх-(-в) Хх в — рг Ых в — дг ах (х+р)(х-)-д) Ьвн т — р .) (х+р) ~/В р — х ) (х(-г)ф'В' + ~Ат+В) ах А ~ а» 2Вс — АЬ ~ (1 — см)" вас — — — »+' (Р+Я)» УВ с 3 (Р+ Ч)»+ 2с 3 ~ Ьв -~п ° 4» 2.283 Ах+В ( А ), 2Вс — АЬ (р в ()) Ь' В с ~)в с р(ь — 4( +р>с) где !в== агс(81/ В !р) 01", где а= рввв и е Ь+2сх 2 у" — !р < с1. 2г' — р Ьг — р+г'В +»:"-' -"("") "СЧ )г 104 а.
неопРеделеннык внтеГРАлы От злкмеятАРяьах Функций Хз агс19 1/ " + [Р(Ьз — 4(а+Р)с)>0, Р~О); г Ьз — 4(а 1-р)с уд — агота ~+~ [р(Ьа — 4(я+ р) с) > О, р > 0]; ы — 4(+р) Ь д . 1п) +р ) + р( + ) [р[Ьз — 4(а+р)с) <О, р>0); У 4(а+ р) с — Ьз У Л вЂ” У р(Ь+2сх) 2.29 Интегралы, пряводящяеся к злляптическим и псевдоелляптичсским 4.
У а+Ьх+схз+ахз+схзт Ьхз+ахз 1 1' Лх 1 1' 'з [а=а+ у'аз — 1); [х = а — У аз — 1) 1 (' 1 (' аз У2 ) У(з+1)р У'2 ) Ус(з — 1)р где р = 2а (4аз — За) + 2 Ь (2аз — 1) -)- 2са Ь з(. 2.290 Интегралы ~ Л [х, У' Р (х)) з(х, где Р (х) — многочлеп третьей илв четвертой степени, путем алгебраических преобразований сводятся к сумме квтегралов, выражающихся через элементарные функции, и эллиптических интегралов (см.
8.11). Так как подстановки, преобрааующае данный интеграл в алляптический интеграл в нормальный лежандровой форме, различны длв различных промежутков интегрирования, то соответствующие формулы даны в рааделе определенных интегралов (см. 3.13, 3 17). 2.291 К интегралам вида ~ Л(х, ~/Р(х)) с(х приводятся некоторые кнз тегралы внда ~ Н [х Уср„(х)) Ых, где й>2, а Р„(х)-многочлен, степень которого вьопе 4. Ниже дюотся примеры такого преведеняя. Г = 1 1. 1 Гх'= у'1-*' 3 у'з+з"+* ь 1+ ' 1 ' ах 1 аз 2.
[хз = а). У'а+Ьзз+асс+Лаз 2,) Усаз+Ьзз+сзз+Лзз з 1 з Г.зл зз, 3. ~ (а+2Ьх+саа+Раз) сзх= — ~ 2 Ь Ь.~.зь*.~. И=с, с=с[ '+~ "хГ с*) 105 гл. Ьлгквгамчксккв сэгпкпик 5. —.' 1 у'а+бас+асс+бас+асс 2 2 )' Г)/а+ЬЗ+срс-).бас хаас [х=)/у], = — — — [у з+~ г= — 1]; 2)/2,) )/(с+1) р 2)/2,) )/(х — 1) р ах 1 Г аЪ 1 — +=1 [у = з- )/ з* — 1], 2)/2 2 )/(с+1) р 2уе22 у'(з — Ц р где р=2а(2зг — 1)+2Ьз+с.
'*1 ах 1,/а (' ас б* ух+6" + — 2 У . ) Ь 7 уа -ь,сс+ю 2)/2У ": ) 3)'(+1)р 3)/1 — Вр) 2У'2У с 1 ) У (з+1) р ] )/[с — 1) р ) ) х= ~/е — ')/1~ [1 = а+ф'"гг — 1]; [(=з — Р г:11] гда р=2а(2зс — 1)+Ь,; Ь,=Ь|/ —. 7. ** =2" 1 (/сц- бхс+схс .) )' А-).лхс (а+Ьх'-)-схс=за, А Ьс — 4ас, В=4с). 1 ах [ Ь'Ь' — (с — * ) +Ь 8. —, †. ( гааз у а-)-сбхс+схс э' (с — хс)')/Ьс — а(с — сс) — Л, (зс) гг~(г+ ~ У Ьс — а (с — сс) гда В,(зс) и В (за) — рациопалькыо функции от гс; а+2Ьхг+ схс= загс.
~,(х)= — «,( —,), 4г(х)= — )г(-~ — — — -), ~,(х)= — )с( 1 х ), 1. [ — (' — 1-)~ = ~В (з)аз [эх=У"х(1 — х)(1 — )ссх)]; )/х (1 — х) (1 — Ьсх) У х(1 — Их)~ )' 1 — х ~'="-''Л = ГВ,(г)(г =1, У" х (1 — х) (1 — Ьсх) 8. /сбх)"' ('В (,)Аг — з гдо В,(з), Вс(г), Вс(з) — рациональные фупкции от г.
2.292 В квкоторых случаях интегралы ~ В(х, )/Р(х))е)х, где Р(х)— мпогочлеп тратьои или четвертой степени, могут быть выралэоны при помощи влемоптарпых функций. Такие интегралы называются ясесдоэххинтичесзамк. Так, осли имеют место сооткоэпекия: нсопгьдклкннык нптсгг»лы от елкккнтагпык екнкцнн 2.3 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ Фх'НАЦИЯ 2.31 Фермы, содержаппге е " ~ Е Е(Хека —, а" к подыптегральвых фуикцкяк следует заменить через е™» а*. 2.311 2.312 2.313 — = — ]тх — )п (а+ Ье"'*)], ~ а+'- =-' е(х — =!п — =х — )п(1+с"). 1+ее 1+. = агс13 ( е ]/ —, ) [аЬ > О]; 1 Ь+»'"х 'Ь' — »Ь 2тл у' — »Ь Ь вЂ” еае» У' — »Б У' +Ь вЂ” У' )/а+ее»» н)/а 1/а+Ьеиь+у» агсск (е < О]. 2 )/ а+Ьеих ае )/ — а 1' — а П (410) П (409) П (411) ;1 2 2.314 ]аЬ < О] 2.315 2.32 Показательная и рациональные функпяи от ж 2.321 1 2 х е е(хеи — — — ] х са" ~(х.
р а а Г "+~ ) 1 а»(и — 1) ... (и — й+П „ь) ~, а а" е »=е 2322 1 2 3 ~Н-,( =,м™р /хе Зхе 6х 6'~ х'и Ых= а ( — — — + — — — ) . 1. а ае ае ае ) е» й е»х а Р1 ~(х) Р (х)е е(х= — ~ ( — 1)— 2.324' »-! — ъ е е а" е — — „е(х = — аеи Ъ + К( (ах). ' ' (и — Ц (и — 2) ... (и — Ь) хи-а (и — И( Ь-1 1 2 где Р (х) — многочлен относительно х степени кг, Р (х) — Й-я провакодрц вая по * от Р (х). 1()7 2,1 Гиппреоличаснии Фунинии 2.325 ) — 1(х = Е( (ах). Г еах Х~е 2.
~ — еех = — — -(- а Е1 (ах). ) и Г.Ч еах аеаа ае 3. ~ — 12х = — — — — -(- — Е( (ах). 2х 2 2 хе ее ах е ах (Цнах)1 ае(1+ах) 2.4 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 2.41 — 2.43 Стенеии ИЬюе сЬхе 151и и с(ЬИ2 вЬРхсЬвх11хеа + 1 (г вЬРхсЬР'ххе(х; РЬР ехсЬР ех д — 1 Г р+ч р+ч г — — Ь хсЬ хе(х; вЬР ехсае тх р — 1 Г Р+ч Р+1 ) вЬР 'асЬР 'а р — 1 Г = — — — — — — — — — ~ БЬе вхсЬ"вх1(х! о+1 ,+1 ) —:))аЬР" .Ь (х; вье" х Ье " д — 1 Г р+( р+1 еЬР 1хсЫе ех р+Ч+2 ( + )1 )в хс х 2.411 1.
) БЬРхсЬвах12х= — -- — — [сЬхп-1 х-(- вЬР 1.е Г 2п+р ( а 1 +~~ " . сЬ--х+ (2п — 1) (хп — З)... ( 21+1) .~~ ( +р — 2П2 +р — а) ... (2 +р — гк) 1=1 (2» - — 12! (2 + РН2 +р — 2) ... Се-(-2~ ) ральном и И=0 имеем: 2. $ВЬхх (Х=( — 1)" ( ) —. +,—,„, ~Ч"„( 1) (~) 1-О Т (543) 1 Чт ( 1)В ~ 2Ю+1') РЬ (2пе — 2ае+1) х 21е' лл ~, й / 2пе — 2й+ 1 ГХ1 [351[(5) Эта формула применима нрн любом лействительпом р, аа иснлю*1ением СЛЕДУЮОР12 Отрицательных чотных чисел.
— 2, — 4, ..., — 2п. При р нату- 108 т. нкопркдклкннык кпткгрхлы от элкмкнтввных охнкции вьх" х 4. ~ вЬРхсЬм"'хая= ~сЬ~х+ 2п+ +1 а + Х 2"и (п — 1)... (и — 4+1) пахи ых (2и+р — Л) (2 ~+р — 3)... (2п-)-р — 2а-)-1)) Эта формула применима прк любом действительном р, аа исключением следуккцих отрицательных чисел: — 1, — 3, ..., — (2п -(- 1). 2.413 1. ~ сЬрхвЬтахдхаа ~вЬв"-' х+ сьх 1а ( =2+ 1 „(2и — 1) ( — 3)...(йа — Вв+Эвь "- х) + ( — 1) .
---". - — — — )+ Х (2а-(-р — 2) (2п+ р — 4) .. (2а+р — 24) ) и +( ) (2п ) р) (2п.(.р — 2)... (р+2) ) Эта формула применима при любом действительном р, ва исключением следующих отрицательных четнь1х чисел: — 2, — 4, ..., — 2п. При р натуральном и п=О имеем: Т(541) 2.414 вЬ ах Нх = — сЬ ах. 1 и вЬ ахЫх= — вЬ 2ах — —. 1 х 2' вЬ хая= — — сЬ х-) — сЬЗх= — сЬ х — сЬх. 3 4 12 3 3 1 1 3 3 1 вйа х ах = — х — — вЬ 2х-)- — вЬ 4х = — х — — вЬясЬ х-) — вЬх х сЬ х„ В 4 32 8 8' 4 вЬа х Ых = — сЬ х — — сЬ Зх+ — сЬ 5х 5 5 1 8 48 80 4 1 э 5 е = — сЬ х-). вЬ хсЬх — — сЬ х.
15 2. 5. 3. сйт-+1хдх=,' ~~ ~~ +'~ ~"(, —, +')*. Т (542) с ~~ п=е =х(;),";; ГХ1 (351) (8) 4. ~ сЬвхвЬь*+1 хая= с ~~айвах+ 2п+р+1( + ( — 1)а 2ип (п — 1) ... (и — 4+1) и)а" иа х (2п+р — 1)( +р — 3) ... ( +р — 2а(-1) ~' а=1 Эта формула применмма при любой действительном р, ва исюпочением следующих отрицательных чисел: — 1, — 3, ..., — (2п+1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
