Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 13
Текст из файла (страница 13)
2.172). 7 ~ х И Ьх+Ь вЂ” )в?? ь(ь — З ) в ( (см 2172) Л 2с с* 2св 2св ) Я ~ хвдх 1 а (2ас — Ьв)+Ь (Зае — Ьв)* Ь(6ае — Ьв) ( ах ~Х~ 2ев + евДВ 2свД ) Я (см. 2.172). ~ »аИх (х~ аьх 2а ) 1 ЗаЬ 2.176 с(х — ь( +.— 2) ( х"Ч?" (ес — 1) ах"' «В» в а ~ев — 1) (см. 2.173 1.). с(ее+2» —.3) ( в?х а (ес — 1) ) хвв вВ» 2Л77 г сх 1 * Ь Г (х 1. ~ — = —. )в — — — ~— »В 2а Я 2аЗЯ (см. 2.172).
(см. 2.172). Г Сх 1 1 1 хв Ь Г ах Ь Г гх Ь ГЗ» 3. ~ — = —. + -, -- + —.— — )в — — — ~ — — — ~ — — — )— ь »Вв 4аяв 2авВ 2ав я 2» л я* 2а* З яв 2ав ) я (см. 2.172, 2.173). се Г Зх Ь * 1 Ь вЂ” За Г Я 4. ~ — = — — )в — — — + —. ) хЧ? 2ав В ах 2ав Ь В (см. 2Л72). ( ь ) + + (ь — з )(ь+з*) Ьв хв??в ав Я ав»В авДЯ 1 'Ьв 6Ьве бсв ~ Г Ых (см. 2Л72). Г Нх ас — ?х хв Ь 1 Ь (Зае — Ьв) Г Сх 7.
1 — = —, (в — + — — — + 3 — (см. 2Л72). хвВ 2ав Л авх 2ахв 2а* ) Я (см. 2Л731. и 2.1772.), )»Ч?в (2ахв+ авхе Вв +(ав а~~ хЯв+ ав ~ (Р (см. 2.1732., 2Л773.). 84 2. нвопгвдклвнныв ннтвггилы от елвмвнтигных егнкцин 2.18 Формы, содержащие квадратный трекчиек а+Ьх+ех» и бином а+()х Обоаначения: В. а+Ьи+сх»; и=а+бх; А=а()и-аЬ()+гор; В=Ь)) — 2са; А=4ас — Ь». 1.
~.ха.а = "'='Яи'* — ("(")Я Г а"-«В" Ь— (ш+ 2»+1) е (ш+2в+ 1) е,\ (ш — 1)А Г ш «Лп («в+ 2»+1) с 2, Я»д 1 Яп 2вА ~ Я" «ди «и» (и» вЂ” 2» — 1) Р «» (ш — 2в — Ц 3» .) «ш »В (' Яш«дх (ш — 2п — 1) б» ) «ш» — () Я» «(ш — л — 2) В Г Яидх (ш — 2» — 3) е (' Япдх (ш — 1) А «ш « (ш — 1)А д «ш ' (ш — 1)А 3 «'" * Ла 184 (4)и Ла 148 (5) Ла 148 (6) Яп «дх, 2пс Г Я»» «дх +("' — 1) Р» 5 (ш — в)В Г «ш»дп (ш — 2в+1) с д Яп п — — .=-+-- 3. «ш дх () «»и « и:Бхи (ш- — 1) А Г «"»» ди (ш — 2и.р1) с 3 Я» «ш 2(»в — 2»+3) с Г «дх Вш Я -1 (в — 1)'Ь 3 Ял ° (в — 1)Д Ла 147 (1) Ла 148(З) а+2сх ( — 1)ь дх 1 (ш+в — 2) В Г дх «БЯ» (п«1) А «т «Ли-» (ш Ц А ) «\и «Яп (ш+2»- — 3) е Г дх (ш Ц,а 3 «е»-«Яп Ь 1 В Г дх (~-(2 — 3)3 2 (л — 1) А «»«-«Я»-» 2А ) «е' «Вл + дЧ(и — 1) А Ла 148 (7) «т яш« Ла 148 (8) При т=1 и я=1 При А=О дх р с'»Л» (ш+л — 1) В (и+ 2в — 2) с ( дх ,„+л „, ~~,„,Я„.
Л 148(0) «шл . 2.2 АЛРЕБРАИЧЕСКИЕ ФЬ«НКЦИИ 2.20 Ваедеаие 2.20!Интегралы ) «7~ х, ( — Ь), ( — ), ...)«(х, где г, и, ...— рацио- яалъаые числа, приводятся к интегралам от рациональных функций подстановкой Ф1157 ух+ Ь а'де ж общий анаменатель дробей г, и, ... 85 з.г апгввгаичвскив а«гпкции 2.21 Формы, содержащие бином а+Ьхз и ф'х Обозначение: з,=а+Ьх. — ==агс18 у — (аь~ 0$; аа 2 /Ьз з«у'а )/аЬ вЂ” рл '*+21у-Ь ( Ь<О). =;-р.— ь ь'- 2.2$1 а"' $«г — ( — 1)"агзы " з, ( 2Ь ь1) ьз" (см. 2.211).
2.2$2 2.213 з« 5. ) —,= — — +,— ~ = (см. 2.211). «" )Гала Ь'з 1 р аа .) $ ь«, 263, У 6 ~* = — — ( ) (см. 2.2$35.) з« Ьз« Ь 3 г« 7. ~* $ (ж хьз ) *+ ьз ~,$* (см 2.2$35,). «зь« '«,2аз(ьазз«) Яаз ) г р'. (см. 2.21$). (см. 2.2$1). (см. 2.2$$). (см. 2.21$). 2.202 Иятегралы вида ~ х (а+ Ьх")аз(х (витегралы от бипомиалъиых дифференциалов), где т, п п р — рацяопальпыо числа, выражаются через елемептаряые фупкцпв только а следующих случаях: а) когда р — целое число; тогда етот интеграл имеет вид суммы интегралов, указанных в 2.20$; б) когда — целое число; подстаиовкой х" з этот интеграл препв+ 1 а з«+ з 1 г образуется к виду — ~(а+Ьз)аз " „з(з, рассмотренному в 2.20$; «а+ 1 в) когда — +р-целое число; при помощи той же подстановки х" з а даввый интеграл приводится к иптегралу ища — ~ ~ — ~ з " «(з, рассмотренному в 2.20$.
Формулы приведения для вптегралов от бипомиальпых дифференциалов см. 2.1$0. 86 2. нкопвкдвлннныв внтвггьлы от элвмкнтьгных отннцин ГУ'хана Г 1 1 ° — 1 Г С* 9. ) — = ( — —, + — ) )/х+ — ) — (см. 2.211). 2ЬЧ 4аЬа ) Заэ,) а у' Обо вначення: в = — а-(-Ьх', и= )/ —, х' = 1/ 2.215 ~ — = — ~ — (в " +агс16 —, ~ ~ — > О~; Г )/а ах 1 Г а+О у 2а+О' ОЪГБ-~ Г а Ы Ьоу'2~ уа о' — а ~ Ь = —,~ 1н +2агсья —,~ ~ — <О~ .
1 Г а' — Ьа 2Ьо' ~ о 1 Ьга 2.216 1. Г ау'а ах 2ьга а Г аа — — — — (см. 2.214). Ь Ь2,,У- 2. ~ ) — — (см. 2.215). а, ЗЬ Ь ) 3. ~ — == — + — ) = (см. 2.214). ~Ы 5 Г ~дГ= 2 аа 4а ) )Г. 2ам 4а .1 аа 5. ~ = — — + — ~ = (см. 2.214). Г а)Гааа ~/ж 1 ( аа аа 25аа 4Ь а а у".
6. = — — + — ~ — (см. 2.215). Г ааУ5аа Уа 3 Г )/ааа зь 2ьг, 4ь ) ы 9. ~ " =( 1 + — — а (см 2 214) 15 Ьа) ЗнаЬ,),, 5 16. ~ "Ь'*'*= ")' —" Ь'*" (.. 2.2166.). а) Ььаа а5Ъ .( а( 2.22 — 2.23 Формы, содержагдяе ьг(а +Ьх) Об овначение: а=а+ Ьх. га з. нконпкдкнкннык инткгханы от анкмкнтапных санкции У зз Нх )~'зз йх ~/зз Кх г* ) ьр (см .ау" ах 2а ) х )з'3 Кубический корень 2.224 4,). 2.224 4.). (см 2.224 4.). 2.224 4.)) 2.224 4.).
2.231 1 ( — ()З за "а" 3 фуа з ~~ кп — зь — з(пз — 1) — 2~ ел+за" зз -зз+з ' з=а к ) ° н. ( — 1)" Я з" ааз ) с ))',з( ~-зн-я ц(п) з з)'уан~ ~Х Зп — 31 — й (пз — 1) — 1 Ьа з з)' И вЂ” ЗЗ+З з=с з 1 3 Зп — Зпз+4 Е за з)х а+1 (зп — П ' + а(» — 1) а ) - ))Ыз 5.
зл Кх Хзз ф' зз При т=1 з" Их Зза +а ( х р' зз (Зп — 2) ~Ф Их йфа 6, хзаз) зз (Зп — 1)аза + а за-з Кх х)) зз 2.226 1 2 3 2.229 1. 2. 3, 1. 2. 3. =( з + ~)2 )~а+~~ ~ )Газ ЗЬ (' )Гзз Нх ах 2а а х хз-З -Х 2 с,ь + — „1=. (з)з+ц аа-ззз )г а'",) у'а ' (см. 2.224 4.). (см. 2.226 1.). (см. 2.226 1.). (см. 2.224 4.). 90 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕРРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕСРРАРНЫХ ахУНЛЦИИ Заза Ззах аз х 2 Зсзх 9 + 7 5/ Ьх саЗз 2 с™ „- С вЂ” 2 ~-515 С' с За р — С)д '" " 'р" — 'С)д 3 зас'Г" * 2 С",У- ЗлЗ Г Са ' Зз (~ — ~) з" ' '+(~ — > 3 .--х З'з ЛЕ $76(2) а А уаЗх'-= Зсзха-х Х (й) ЬА"с Е (р) ЗСс — 2р 2са+2 А а Р-а ссСа 2а х~з+Р ( з а) 2У з з* 2 Зф'з з" зх Заза 2 ~ Зф'з +ЗЕБР~ — — — за+Нар +~Р~ — — — +Лаз — аз с —.
'х, 5 3 с Зх 'х. х 5 .С Зх +З ~ (зх 2за аз) 2 2У'зх ра(зх Ззха Зза" ах~ 2$х'зх 2.2 АИГИБРАИЧКСИИИ Фй 1П(ЦИИ 2.244 1. ) 2))(з+а) ь у" 2))*( —;* - --") зз 3 ))(.+«) . з Иа(Р ( — 2за — аз) В,с у' в Ых вв,сх ауз + — + ; йв 23з ( — зйа+Звай +аз ) (. 5 Ьйу з 26( —;) ь'у У ЬИЗ ( з — — ) 262 (*+за* — '~ + в всх 2а зУ 3ЬУР зьу'Р ь ух ь у'з Ж*ф ( — 3) ба()з (з +2за — — ) Ьй у зй * 25з( — З. — З*а+ — ) ' зй аз'~ 1. з 3/ 4(З 5) 5Ь У зй ь*у 4ИВ(-1 — 5) 'Р (" +т) 2ай в' всх зй у з ьй у зй ьзу' За*6(з — Ч 3 Р(з* .
+') ь уй Ьз у'зй азз гр(:+з; й( ЬйУ вй раз — ~~=', Ла 176 3 °,Вх 2 з- „- (г — 1)А Г,-,Ъ 1 зп-1 (гвс — 1) Ь Г з"' й — Г (а — 1)6 са ' 2(л — 1)() ) ва-1У 1 з~ . х- (2а — гйп — 3) Ь Г з"' всх = — — — уз— (п — 1)А Ва ' 2(а — 1)А З Са-йу;,' -в (2а — 2ай — 3) (2а — 2и — 5), .
(2а — гвв — 21+1) ЬЗ ' 1 гй ' (а — 1) ( — 2) ... (а — А) Ай вп"з ( й 2 (га — гай — 3) (2а — гва — 5) .. ( — 2ва+3) ( — гвп-1-1) Ь" ' (' зв'ах 2» й (а — 1)! Ап 3 сух* 92 й. НЕОПРЕЛЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ 11РЕ 2 в'" Л Г а»»ьх (~ — 06 ув ЭР»А гу ла Л ГЛх '2 Х ) „—.+»а Ь1» =. А=Ь „зу'1 — уй 1 Вл В Ь"+1 Рл 2 зу' ы 16Л > 0); 1рл < О); <л=о1 — Х ° Е 2 зй-»аа З»» Г Ь -= — — =+~ — „, —. + — ~ = (см.
2.246). , — У-, ~7 лау -'зь+1) л"' ) а У; А=» 2.247 7Ь У, ЗЬЬ» 2Л,», Ь 1+ АЛ»»а у.в- 12Л»в у., —+ -+ ЗЬЬ З ЗЗЬ»З» Г,Ь + — + — —, ~ = (см. 2.246). АЛ» У.в — ЗЛ 1, У; + оь взь» 2ЛРА» У ° АЛ»7»в У" 1 ЕОЛ»в У" ги в взь (Р взь*)Р Г и, Ах мв у'1 10. авва у" а »7х 7»ва У' + — ~ = (см.
2.246). А»У' ЛУ'а Л 7 У* а~х 2 26 Зв Г Лх и у зл у4 л ув л 3 сЬГ1 1,.; ....'. —.... -), . Ех 2 2З 2В» ~3» Г »Ьх - +, — +, - + — в ~ (см. 2.246). — ° Ех у в Ь Г Ех == — — — — ~ = (см. 2.246). 3 ' * зх 1 зь ььз ььвв Г лх (см. 2,246). а»ау» ЛМ у'в ЗЛ» у'а Лву, 2Л' ) г у", Ь 1 7Ь 7ЬЗ 7ЬВ» »вха у в л»вв у зла у 1 злах у в л»у в 7ЬВ» Г Лх — — — (см.
2.246). 2Л» ) а у'а 2.2 ЗССГВБРЛИЯВСИИВ ФУНИЦИИ Г Г Г зс)» 2)/з Л Г йх а су/з 9 () зс)/4 16. 1 "и* ' ь/а+2АЪ" +А'1 " (см 2.246), 3 с)/з 3() 0* 6" 3 с у"з 14 *)/~ 2А )/~ '"' А' Г 14. С + + + Г 15. ( ' 3Сзу, ЛС + ()Л 26,) СЬ/з Г ззс(х ззЬ/4 ЬзУ'з 32 ухв 3ЪА Г ам 16. ~~ == — — + — + —,+ —, ~— . ),*)/ —,— — — — Вл — В* 29 3,, -. ,7 ( "С *Ь" +Ь")/*+ЬЬ Ь'+ЪЪАЬ'+ 17. (~,Ь, „+, +,, + Р, + Г г з у" Ьз)/ Ь*ЬГз Ь* Г Ь 18 à — — + — — + ' З Сз Ь/4 2АМ 4АМ 43лз 8()Л 4 С у'з 19 ) сз)/з 2лсз + 4Л'с ~4~" г"* ' 3 сз Ъ/з 2лсз Асс 49А» 4))зА (см. 2.246), (см. 2.246).
(см. 2.246). (см. 2.246). ( . 2.246). (см. 2.246). (см. 2.246). 2.249 Нх 2 )/ з (2л+2са — 3) )) с(х зтса)/2 (2лс — 1)л С" сза (2ас — 1) Ь ) спи с )/з Ла 177(4). ъ/ ( +2~ — 3)ь г а* (л — 1)л з С вЂ”вЂ” ,— 2( — 1)л' .) с з'" з/ При а= 1 Нх А 3 сз в-с )/ з (2лс — 1] А за-с .р — — + с(х )с з ( — 1 1 зтса Ь/з з"' ( (л — 1) Л сл с а-1 +Х вЂ” 1 12 ( +2 — 3)(2»+ — 3)...( +ъ» — гь+1)ьз+ ( — 1) 2" с(л — 1)(л — 2)...(Л вЂ” й) АЗ Са З) З=з 1 а-с (2л+2са — 3) (2л+ 2лс — 3)...( — 2са+3) ( — 2са+1) Ьа-с (,Ы +( ) 22'(" — 1))Лаз 51з"У ' 94 х нкопгидкл внныв интвгг»лы от злвмкнт»гных ев нинки 2.25 Формы, содержащие ~Га+ Ьш+ с»в» Способы интегрирования 2.251 Рационализация подынт»нрального выражения в интегралах вида В(х, Ь'а+Ьхч-схв) с(х достигается с помощью во крайней мере одной из следующих трех подстановон, называемых подсюпаяослас»а Эйлера: 1) 1» а + Ьх )- схв = х( * 1~ а при а ) О; 2) )/а-(-Ьх+ сх»=в+ х у с при с) О; в~ »;~..— ' ⫠—,с-«*-*с,«, .*..., ч»», аения а+ Ьх+ ах*= О деястзятельны.
2.252 Кроме подстановои Эйлера, существует еще следующий способ вычисления интегралов вила ~ Л (х, Р'а-с Ьх+ах») Ых. Лрнпочощв уничтожения иррациональности в знаменателе в простейших алгебраических операций подынтегральное выражение может быть сведено к сумме некоторой рациональной функции от х и выражения вида Р, (е) где Р, (х) Р, (х) У «+ Ъс Ь с«» и Р (х) — два многочлена. При помощи выделения из рациональной функции Р, (**) — — целой части и разложения остатка иа простейшие дроби интеграл Р» («) от последнего выражении сводится к сумме интегралов, каждый из которых имеет ожвн ив следующих трех видов: 1, ~ — —, где Р(х) — многочлен некоторой степени г; Р («) с»з у а+Ьз+сз» П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
