Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 6
Текст из файла (страница 6)
сходится па етом отрезке равномерно то его мокло иочлеыно интегрировать, т. е. $(~ уь(х))Ы =ч', $уь(х)Ы (а<х<Ь!. ФП439 а Ь=! ! ! а ! 0.307 Пусть функции !о(т) (й=1, 2, 3, ...) имеют на отрезке (а, Ь) непрерывныо производные ~,',(х). Если на этом отрезке ряд 0.301 1. сходится, а рид ~ Гь' (х), составленным из производных, сходится равномерно, то ь=! ряд 0.3011. можно почленво дифференцировать, т. е, ( ~ )ь(х))'= ~ (ь(х). 0.31 Степенные ряды 0.311 Функциональный ряд вида 1. 2.' а„(х — $) =ае+аг(х — с)+а,(х — с)з+.
ь=.о нааывается сжеиенным рядом. Для каягдо!о степоино!о ряда 0.311 1., егла только ов не является всюду расходящимся, область сходемости представляет собой кру! г цастров в !очке $ и радиусом, разнь!и Л, з ка>кдой точке внутри ьгого круга стопеяиои ряд 0.3111. сходится абсол!ство, а впе его р а с х о д и т с я, Круг этот называют кругом сходимости, а его радиус — радиусом сссдимосжи.
Если ряд сходигся во всех точках комплекгыой плоскости, то говорят, что его радиус схсдимос ни равен бесконечности (В= 4- со). о вввдннии 0.312 Степенные ряды можно почленно интегрировать и дифференцировать внутри круга сходимости, т. е. ~ д ад(х-Б)') 6х=~ „'", (х-Р'+' «=о «.=о — ~ ~ ад(х — Ь) ) = ~~, йа (х — ь) д=о д Радиус сходнмости ряда, получа гоп!его с я в реаультате почлепного интегрирования или дифференцирования, совпадает с радиусом сходимости исходного ряда. Операции над степеннымв рядамн 0.313 Деление степенных рядов.
~ о,' — с»ад, д о» ддд» д — о д=о где с„+ — ~Ч~ с дад — Ь„=О, о» «=1 лли аЬ вЂ” а»Ь, а 0 ... О! а»Ь» — аоЬ» а, ао ... 0 а»Ьо — аоЬ» ао а, ... 0 !)д с, = од А (6360) а'»Ьоа»Ь»»ада»»а» а„Ь» — а»Ь„а„, а„... а 0.314 Возведение степенных рядов ь степень ( ~. адх") 2» сдх", где с =а„с = — ~„(фа — т-4-я)а,с, ппи тл 1 д (и — натуры»алое число). А (0301) 0.315 Подстановка ряда в ряд. с, = а, Ь, с, = а Ь, + а,'Ь„с = а Ь, + 2а»а Ь, + а',Ь, с = а,д, + а,'Ь + 2а,а,Ь, + За,'а,Ь + а',Ь„... А (6362) 29 О.З ФРННЦИОПАЛЪНЫН РЯДЫ 0.316 Умножение степениыл рядов.
я Ю я Я аахя ~~ Ьъхя = ~~~ саве; с = ~ а Ь„ „. я е я о ь=о е е >1> 11 372 Ряд Тейлора называемый рядом Те>ъ!оро длв >[>твкцви ) (х). Рви Теилора сводится к фушщии )(х), если остаточный член 2. ' Н. (х) = ((х) -~($) — ~ — ';„' — '" Р">(~) е ! стремится к нулю при н-ъ со.
Выражении для о!.таточного члена в ряде Тейлора. 3. Н (х)= + ),-)!"+>>(В+В(х — $)) [О<В<'Ц. (Лагранж) (х. -1)я !' 1)Я > 4. Н„ (х) = :-" †, (1 — Ь)" Р"+>>($а й (х — ~)) [О < В < Ц. (К о ш и.) 5. Н (х)= —,— — — — —— 9 (! — 1) — >е (О) (х — 1)я >г — з)" >)>' ((х — 1) (1 — з)) я! — )> "+! (й ч й (х — Ц) [О < е < Ц, (Ш л е м и л ь л.) где >р(х) — произвольная функция, удовлетворяющая следующим двум условиям: 1) она вместе со своей производном >р'(х) непрерывна о промежутке (О, х — $): 2) производная ф' (х) ке меняет знак в том >ко промежутке; положив >р(х) =х"', получаем следующую форму остаточного члена: ( — М - (1 — е> -РН„(х)=-: — —: —,— )>'гы(й+(>(х — й)) [О < р<н; 0 < а < ц.
(Роше.) 3. Ня(*) = — $ Р"~>>(~)( — ~)" (г. 0.318 Другие виды записи ряда Тейлора: 1. 7(а+х)=,У„„Ъ, >7>А>(а)=((а)+ — >7'(а)+ —,, 1 (а)+... А=О 2. Дх)= ч >, ~! >(0)=~(0)+ 1>.7'(0)+ — >) (О)+... А=-Е [Рид Маклорена.) 0.319 Ряд Тейлора для функций многих переменныто /(х,у)=1($,!))+(х — з) — '+(у — !)) ' + о> (В. ч) з! (1 ч) ~(х еъ)! )(1 ч) +2(. ~)( ) ы>(их ч) ) ( )аде)(1 ч)~ 0.317 Если функция г(х) в окрестности точки $ имеет производные всех порядков, то можно написать рид: 1' ((Ц+ 1 У (я)+ 3! У (я)+ 3> У (я)+ ' 30 з ввгдпннк 0.32 Тригонометрические рщ<ы 0.320 Пусть !(х) — периодическав функции с периодом 2! абсолютно внтегрвруемая (хотя бы и несобстзен юм смыгле) з промежутке ( — (, !), Рядом Фурье э<оп функции натываогся три> ономэтрп ческий ряд \Ю ат ч< Ьях вяз 1.
— + ~„а„соз — + Ьь щп —, 2 ! ь-< коэффициенты которо<о (козу><рияиевжы Фурье) определяютгя по формулам > а+з> а„= — тэ !(1)СОЗ <й= —, ~ )(1)СОЗ вЂ” <й ()<=О, 1, г...,), 1 Г Яя< 1 зз< Й а.<-з 1 Г ая< ьк< 3. 61 — — — ~ )(!)жп — <й= — ~ ~(г) згп — <й ((<= 1, 2, ...). — ! -< а Признаки еходимоств 0.321 Ряд Фурье функции )(х) в точке зо сходится к числу 1(з< -1-0) .1-! (з< — О) если при яекотором Ь~ 0 интеграл ь ) ! <в<+0+! (з< — С) — ! (в<+О)- г(х< — О) ( ай е существует.
При этом предпола<ается, что функция !'(х) в точке т либо непрерывна либо имеет с обеих с>ороя разрывы перво<о рода (сьачки) и что оба предела )(хз 50) и 1(хе — О) <ущсствуют. (Дини.) ФП(524 0.322 Рид Фурье периодической функции 1(х), удовлетворяющей на отрезке [а, 6] у слозвям Дирихле, сходится в каждой точке х, к значенв<о 1 (1(х,+О)+у(хз — О)).
(ди рихле.) Про функцию г(х) говорят, что опа удовлетворяет условиям >(ирихле на отрезке [а, Ь], если она на этом отрезке ограничена и если отрезок [а, 6] моа,но разбить на конечное число интервалов. внутри каждо<о из которых функция 1[х) непрерывна к монотонна, 0 323 Ряд Фурье функции ! (х) в точке х, сходится к — Д (хе + О) р 1 (х — О)), 1 если в некотором промежутке (хз — а, хз-г Й) с центром в этой точке функция 1(х) имеет ограниченное изменение. (<Коркин-Дирихле.) Ф П) 528 Определение функция е ограниченным изменением.
Пусть функция !(х) опред лена на некотором отрезке [а, Ь] где а( 6, Разобьем этот отрезок произвольным образам на части с помощью точек деления, а=хе(х, (х ( ... (х„(х„= Ь и образуем сумму У [1(хь) — 1(хь-<) [. 31 в.з Фтнкциокьпънъ|в гяды ив «яэ — +распев ! в в -! где а'= ) у(!) "'" а!. 2с вя! в — ! 3 Оп326 Функцию /(х), определенную в промежутке (О, !), можно разложить з ряд по с и н у с а м вида вв 1. ~ Ьвюп где 2. 6„= —, ! (!) в(п — с(!. г г . ап! Признаки сходммостн для рядов 0.325 1. и 0.326 1. аналогичны признакам сходимости дли ряда 0.320 1, (см.
0.321 — 0.324). 0.327 К о эффи ци он ты Фу р ье ив и 6„(определяемые формулами 0.320 2. и 0.320 3.) абсолютпо интегрируемой функции стремятся к нулю при й — » со. Для функции !(х), интегрируемой с квадратом в промежутке ( — с, !), выполняется уравнение замкнутости ! — '+"!, (ай+~4)»в — ~ !в(х)с(х. (А. М. Липунов.) ФШ 705 в ! 0 328 Пусть !(х) и ср(х) — функции, интегрируемые е квадратом в про- межутке ( — (, !), а ав, 6„и сс„, ()в — нх коэффициенты Фурье. Для таких функций выполняется обоби)епсюе правление зимвпутести (равенство !Гар- севалл) в!ив — - Х (авц + 6врь) = —, 1 7( ) ф (х) б .
1 Г Примеры тригонометрических рядов см. 1.44, 1.45, ФШ 70э' Различным способам деления отрезка [а, 6[ (т. е. различному выбору точек деления х ) соответствуют, вообще говоря, различные су»чы, Если эти суммы в их совокупности ограничены сверху, то !озарят что функция )(х) на отрезке (и, Ь( имеет егрипичвнпиг измспещы (илп изрипичвн ную вариауию). Точную верхнюю грань этих сумм называют полным изменением (нли полней варвалпей) функции )(х) на отрезке (а, 6[. ФШ91 0.324 Пусть функция )(х) кусочно непрерывна на отрезке (а, 6( и в каждо отрезке непрерывности имеет кусочно непрерывную ироиззодяую Тогд» в каждой точке х, отрезка [а, 6[ ряд Фурье для функции !(х) сходится к — (!(хе+0)+ !(хв — О)).
! 0.325 Функцию 7!х), определенную в промежутпе (О, !), можно разложить з ряд по косинусам вида а ввкдвник 0.33 Асимптотнчгскне ряды Определение агимято>янческоэо раалоэюеяия. Расходящийся ряд ~~~~ — „ представляет собой асимптотическое разложение функции )'(х) в данной области значений аг8 э, если выра>кение )(а (э) =- га () (э) — Я„(г)), где и бч(Э) = ~Ч~ ~— „, удвепвтВОрявт УСЛОВИЮ. !1П> Гг„(Х) = 0 Прн ОнрвдЕЛЕННОМ я, Аа ш Ф Н 820 Расходящийся ряд, представлнющий собой асимптотическое рвало>кение некоторой функции, называется асммяв>отическим рядов>. 0.331 Свойства асимптотическвх рядов> 1.
Над асимптотическими рядами можно производить действия сложения, вычитания, умножения и воэведения в степвяь, точно так жв, как в над абсолютно сходя>цимкся рядами, ряды, полученные в результате этих действий, будут гакя<е асимптотическвми. 2. Два асимптотическкх ряда чожно делить друг на друга при единственном условии, что пгр>щй член >) делителя пе равняется нулю. Ряд, оолучепный при делении, будет также асимптотическим. ФН 823 †8 3.
Асвмптотическнй ряд можно почвенно инте г р прова т ь, и полученный ряд будет чашке асимптогичоскнм. Дифференцирование жг асимптогнческого ряда, еооб>це говоря, недопустимо. Ф Н 824 4. Одно и то >ке асимптотическое разложение может представлять собой разные функции. С дру>ои стороны, данная функция может быть только единственным способом раэложепа в асимнтотический ряд, УВ1208 0.4 НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕИ 0.41 Дифференпяровакиг определенного интеграла по параметру чы> 0 410 — ~ >(х, а)>(х:а(бр<а), а) 2~ — ~(зр(а), а) — „)+ Ка в>а> + ~ — 1(х, а) Ых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
