Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 5
Текст из файла (страница 5)
шала'.~л 6 О 1 З.,У; й = ~" ("+" ~'. 4. "~ )оо = — п(п+ 1) (2п+ 1) (Зпо+ Зп — 1). Ч 333 е. кккдкннк 5. Я й' = — ие (и -(- 1)е (2ае+ 2в — 1). ч ззз й ! б. 'Я йе —,п(п+ 1)(2в+ 1) (Зв'+ бпе — За+ 1). й ! » 7. ~~~"„й! = — п*(п+ 1)'(Зие -(- бпе — ие — 4а -(- 2). 24 1. Я (2й — 1)=пй. й ! 2. е", (2й - 1)й — а (4п' — 1). 1 2 й ! е Жл (32а) 3.
Х (2й — 1)е = пе(2ве 1). й ! Жл (32б) А(1ж 1) ОЛЗ1 1 Ае = -(й, 1 А,=12„ Э Ай= —, Ю (е Ай=И ! Жл(59) А(1375) ОЛЗЗ ОЛ24 ОЛ25 ОЛ25 й 1 !! 1+1 ~ (2й 1)е — ве+! — ( )2е йВ ие !— — —,' (е,) 2е — (2 — 1) В, -е-... (Псследннп член содержат и нлн ве.] ~ й(й+1)*= 12 и(а+1)(а+2)(зп+5). й ! йе) 1 ( ~ 1)(2ие й-! Х й(-й-( +1)( — 1.
Ь ! и (й+й)(, / Лю й! (и — й)) У а !!+ — ~, 2 /' й ! й 0.13 Су!кнм нс!вечна, обратнык натуральным чнслам 1 .Е 1 + в+ 2ю Л й(й+Ц...(й+й — 1) ° й! й й Где Ай — „~ х (1 — х) (2- х) (3 — х) ... (й — 1 — «) !йх. йл конечные еумны )Кл(71а) и КЕН (1841) ОЛ4 Суммы вронзведений величав. обратных натуральным тнслан 0.141 ГКПЕ(64)и (Р+Гй — 1) Ч)(р-)-йд) Р(р-)'лд) ' с л (ар+ ад+ д) Лй (р+(й — 1) Ч! (р+йд) [р-!-(й)-1) д! 2р(р+д) (р+лд) (р+(а-)-1) Ч) ГКШ(65) и з. 1 1 1 (Р+(й — 1) д! (р+йд) ...
)р+(й+1) д! ИЕ 1) д ) р(Р (-д)...(Р~-)Ч) ьм (р+лд) (р-(-(л +1) Ч!...(р+(а+ 1) Ч! А (1856) и 4. У, ' (1-Г(й — 1) д! (1+ (й — 1) д-~ р! й-1 л а 1 1 1 1 -- — — — ~ — — — ) . ГКШ(66) Р .~ 1-~-(й — 1)д 1+(й — 1)Ч+Р 1-.1 й — — 1 )Кл (157) ОЛ42 Я Ы !.1-1 1 л+1 (й+-2)~ Е (лт-а)! 0.151 0.152 Кр 62 (59.1) 0132 ~', ', = ~~ (С-г)ап)+)н2+ а„'т+ а „, '-). ° - ° й 0.188 з 2+1 Ь йй — 1 4 2л (л+1) ОЛ5 Суммы биномнальнык ковффвцнентов (и — натуральное чав! (е~+(з) - (а)+" =-,. ~~" +2еоал —,."~. Кр 64 (70.1) Кр 62(58.1) Кр 62(58.1) Кр 64 (70.2) е г числозык тядьг и экскопкчнык игоиззкдкниз 2 +\ Кр бч (72.3) Крбй(12.1) 0.2 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕПИЯ 0.21 Сходимость числовых рядов Ркд 0.2!! из = и)+из+из+ .
э=г называется абсолютно сходащиисл, если сходится рид е 0.212 Х !из(=!иг!+(~,(+(из!+..., а-г составленный из абсолютных значений (модулей) его членов. Если же ряд 0.21! сходится, а ряд 0.212 рзсходнтск, то ряд 0.211 назыэаетсв условно схсдлщазгсл. Всякий абсолютно сходнщийсв рлд сходится. 0.22 Признаки сходимости 0.22! Пусть г 1!ш(и~ ( = р. Если прз этом д ( ! то ряд 0.21! сходится абсолютно; если нгв а> 1, го ряд 0.21! расходится. (Кош и,) 0.222 Пусть Пш ~ — "" ~ = а. Если прн этом о с, С то ряд 0.21! сходится абсолотно. если ию д> 1, то ряд 0.2! ! расходится.
Если ~ ч й — '~ стремится к 1, остаззись больша ие единицы, то рнд 0.211 расходится, (Дала ибер.) 0.223 Пусть 1иш )с ~ ~ — ~ ~ — ! ~ = а. Если при агом д > 1, то рлд 0.2!! сходигся абсег~потно; если же д< 1, ге рлд 0.2!! расходитси, (Ра або.) 0.224 Пусть ! (х) — положительнал, убывающая функции, в пусгь при й натуральных е" г (е") )<а) Пгп — = д. Если прн этом д(1, то ряп ~ Г()г) сходктск; если жв !(>1, то втот ь г ркд расходитсн. (Ермаков.) 20 е Вэтдвкив 0.225 Пусть гДв Р> 1, а )оь) огРанвчевы, т.
е. 1о!) меньше некотоРого М, котаРое ве эависпт от к. Если прп атом д> 1, то ряд 0.211 сходится абсолютно, если же д ~ 1, та этот ряд расходится. (Г а у с с.) 0,226 Пусть функпия !'(и), определенная при г>у~1, непрерывна, положительна и мояотовио убывает. Прп эыполпгпии этих условий ряд „Х, 7'(й) сходится илв расходится в заввсимасти от того, сходится илв раглодится интеграл ~ 7(л)о!к.
(Интегральный признак Коши.) 0.227 Пусть все члены последовательности и,, и„..., и„положе тельны; а таком случае ряд 1„~ ( — 1)а'ги„=и,— и,+и,—... в-! называется энокочередумпцимсл (вли энокоперемениым). Если члены эвакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной велвчиве в стремятся к ну!по, т. е.
если 2. и„,! (иэ в 1(ши! =О, ! то ряд 0.227 1. сходится. Прв атом остаток ряда О> 3. ~ ( — 1)" ""и„=! ~ ( — 1)югиэ — Х ( — 1)""!ик~ <и.-!. е п.~-! А=! е=! (.! ! е в б и в ц.) 0.228 Если ряд ~ о„=-п,+о,+... +о!+ .. э-! сходвтся, а числа и образуют монотонную и ограниченную последовательность, т. е. если для некоторого числа М и для всех к ! и„! ( М, от ряд ОР г.
Х ия.= го!+по.+".-Г .пэ-)-." ь-! сходится. (А б е л ь.) Ф П 354 0.229 Если частичные суммы ряда 0.228 1. в совокупиоств ограиичевы, а числа и„обраэуют мавотовпую последовательность, стремящуюся к нулю, т. е. если ~ ~ оь ~ ~ М 1п = 1, 2, 3, ... 1 и 1(ш и„= О, ь=! ! то ряд 0.228 2. сходится. (Дирпхле.) Ф П 355 21 а з числовык анны и вссконкчнык неоизвкнкнив 0.23 — 0.24 Примеры числовых ридое 0.231 Прогрессии ~~~~ ~о») = — — [)») ( < Ц. »-а 2. ~~~~~ (о+(!Г)»( = 1 + (1 ((д( < 1» 1(сравни 0.113).
0.232 0.233 1. ~ —,=1+ — +-;„+ "-~(р) "-,! 1 1 (йе р х 1"( (йе р> О) УВ 11 44 2. ~ ( 1)'+' — '=(1-2 )Цр) 1 2»и »л»» 3. Х вЂ , = (2„), ( В !. Ф П 721 »+! 1 (2'" ' — 1) л'" 4. ч;( 1) — „,.= ", р (в„,). » Жл (165) ! (2»л — Ц я»л Х (2»-1)»™= 2 (а )! Жл(184Ы л'"" ( — 1) (2» 1)...= 2»л*(2„)! 1~ !. Жа (1844) 1. Х( — 1] +! 1 »» 12 ' »=! 1 л» »» (2» — 1)1 В »-! 3 ° ! — 1)» а 3.,2„+„, = а.
»=а у ( — 1)* ' л* (2» — И»,Н »-! 1 л» 5. (2» — Ц» ИЬ »-! Э 158и Э 163 ФП 482 Э 163 Э 163 ~к~~ ( — 1) + — = )п 2 (сраеяв 1.511). »=! »+1 ! 2. ~х~~ ~( — 1) 2! 1 — — 1 — 2 ~ (1» 1) (1»+1) 4 (сравни 1.643). »=! »=! 25 О.З ЧИСЛОВЫЗ ИНДЫ И ВКСКОНЗЧЯЫЗ Гы ОИЗЗЬДъпма Н (й-1-1)) А О А» ( 1)й Х ы( -)- д =~ (2).
А О 0,247 з-» (и+а — 1)! (л — 2).(в — 1)! А-! А ! Жл (159! Ю! е, ой= 2е, Я»=.5е, »А = 15е, ЛА 52з' ЮА 203е, Ю! = 877е, Яз 4140з. А 0.249 ~ —; — = 15з. А ! Жл (185) Жл(76) 0.25 Бесконечные произведения 0.250 Пусть дана последовательность чнсел а„аз, ..., ай, ...
Если суще- А ствует предел )Аш Ц (1+ай), конечный иМи бесконечный (но определен- А: й=! ного знака), то зтот предел навывают знвчемием бескомсчясзо лроиззедемил » Ц (1+ а ) и пишут! 1)п! Ц (1+а„)= Ц (1 )-ай). » ~! А=! 0.254 Из абсгогютной сходимоети бесконечного произведения следует его сходимость. 0.255 Произведение Ц (1+ ай) сходитси абсолютно Аогдз и только тогда, А-! когда ряд ~ ай абсолютно сходктси.
ФП406 й-! Если бесконечное произведение имеет конечное о т л и ч и о е о т н у л я, значение то его называю! сзодящизгсз, в противоположном случае беско- нечное произведение называют расяодящи.вся. ФП 400 0.2з1 Для того чтобы бесконечное произведение 0.2501. сходилось, необхо- димо, чтобы )Ашай = О. ФП403 О.252 Если для всех апачения индекса /г (начиная с некоторого) все ай ) О или все ай < О, то для сходмйюсти произведения 0.250 ). необходима и достаточна сходимость ряда ~„ ай, А=! СА 0.253 Произведение Ц (1+ ай) называется абсолютно сходящизйся. еглн А ! произведение Ц (1 + )ай)) сходится, ФП 406 А 1 в.
Ввнднппн 0.26 Прииеры бесконечных произведений П (1+ 'ть — ~1 )=4г2. ь < 0.262 3 171 ь 1 П(1-М=Ф. 2. Ц (1 — — в)= —. в=! ФИ 401 Оь 0.264 П = ео. ь=< 1-<— 0.266 Ц 114 х ') =-,— '- [! х) < 1). ФИ 401 0.3 ФУНКНИОНАЛЬНЫИ РЯДЫ ФИ 401 ФИ 402 0.30 Определенх<я н теоремы 0.301 Ряд )/ь<х))<п (й 1,2,3, ...), гдв и„суть члены некоторого сходящегося числового ряда Х иь — -пд+пв+".+на+ ... ь=< 1. ~ ть(х), <о< тавлеппыи из фупкцпп. называется ууунв«ванильным рядом. Миап<ество значении пезависииои изреченной х при которых ряд 0.301 1.
сходится. образует область сходпмосп<и етого ряда. 0.302 1'яд. «ходящпйся дяя всех зявчепий х из нблагти дУ, называется равномерно ссвдящ мся в этой области, если для ивин<о<о в ) 0 существует тапсе число Л<, что при и ) Л неравенства )в[х) ( <в ь= <.ч выполняется для всех х нз <)х.
О.ЗО3 Если члены фувкпиональпаго ряда 0.3011. удовлетворягат в области.)г иеравенстваи с ! Фувкционьлькык Ряды то рнд 0.3011. сходится в М равномерно. (Вейерштрасс.) ФП 449 0.304 Пусть ряд 0.301 1. сходится равномерно з области М, а функции и„(х) (пря каждом х) образуют моно!онную по<ледовательность и ограничены в совокупно!ми, т. е. дла некогорого числа Ь и для всех и и г выполняются неравенства 1.
) у„(х) ) ~ Ь; тогда рид (х) гь (х) сходится равномерно е области М. (А б е л ь.) Ф1145( 0.305 Пусть частичные суммь! ряда 0.3011. ограничены з совокупности т. е, пусть для некоторого Ь и для всех л и х вз М аьшол.!лютея неравенства ( ~', 7„(х) ~ (Ь; пусть, кроме тото, функции х„(х) (при как!дом х) образуаэт моиотояную погледовательиогть, которая сходится к нулю равномерно н области М. Тогда ряи 0.3042. сходитгя равяомерыо в области М. (Д ири х ле.) Ф(! 451 0.306 Если функции гд(х) (к=1„2, 3....) интегрируемы на отреаке [а, Ь) и составленный из оих рял 0.301 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
