Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 66

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 66)

288). Добавим к восьми треугольным граням этого многогранника еще три квадрата, расположенных в трех Рис. 288. плоскостях, определяемых диагоналями октаэдра (например, АВСь1 на рис. 288). Эти одиннадцать поверхностей не определяют многогранника, так как в противоположность данномувышеопределению ккаждому ребру сходятся не две, а три поверхности. Удалим теперь четыре треугольника, а именно: на верхней половине октаэдра, изображенного иа чертеже, левый передний треугольник и правый задний, а на нижней половине †лев задний и правый передний треугольники. В итоге остаются только четыре треугольника октаэдра, которые на нашем чертеже заштрихованы. гл ю топология Таким способом мы построим фигуру, состоящую из четырех треугольников и трех квадратов. Ребра и вершины этой фигуры совпадают с ребрами и вершинами октаэдра, но диагонали отаэдра являются не ребрами, а линиями, проходящими сквозь нашу фигуру. Очевидно, в каждом ребре сходятся в точности две грани и от всякой грани можно перейти к любой другой, переходя через ребра.

Таким образом наша фигура представляет многогранник; так как она имеет семь граней, то она называется гептаэдром. Так же, как и октаэдр, она имеет двенадцать ребер и шесть вершин. Для этого сл теорема дает: Š— К+ Поэтому связност Как ники мо руемы в Рис. 289. имеется простая замкнутая поверхность, в которую можно деформировать гептаэдр. Это — поверхность, называемая «римской поверхностьюэ (рис. 2о9). Ее исследовал Штейнер. Опа подобно гептаэдру имеет три попарно перпендикулярных отрезка, проходящих сквозь фигуру. В прямоугольных координатах она опре. деляется уравнением: у'г'+ гзхэ +.

х'уз + хуг = и т. е. представляет собой поверхность четвертого порядка. ЗМ. ОЛНОСТОРОННИЕ ПОВЕРХНОСТИ Помимо четной связности н наличия кривых самопересече» ния поверхности, гептаэдр обладает еше одним важным свойством, которое отличает его от всех до сих пор рассмотренных поверхностей. Представим себе, что эта поверхность осуществлена при помощи некоторой пленки, н рассмотрим некоторое существо, например жука, который ползет по этой пленке, начиная с некоторой точки Р. Напротив этой точки, с другой стороны тонкой пленки, расположена некоторая точка Р', совпадающая с точкой Р, если заменить пленку первоначальной геометрической поверхностью.

Казалось бы, что жук не может Рис. 290. попасть из точки Р в точку Р' иначе, как проделав в каком-нибудь месте пленки дыру. Такое предположение верно по отношению к шару и ко всем кренделям, которые мы рассматривали до сих пор. Однако гептаэдр представляет собой поверхность, для которой такое предположение не оправдывается. Выберем в качестве исходной точки Р некоторую точку на квадратной грани, параллельной плоскости рисунка, на стороне, обращенной к наблюдателю (рис. 290). Рассмотрим теперь путь, который ведет по поверхности гептаэдра нз точки Р, пересекает ребра 1, 2, 3, 4 и затем снова приводит на первоначальную квад. ратную грань.

Жук, который путешествует по этому пути, оче. видно, переходя через ребро 4, попадает на обратную сторону той квадратной грани, с лицевой стороны которой он начал свое путешествие. Ему приходится трижды просверлнвать пленку гептаэдра, но не ту грань, по которой он путешествует, а другую грань, которая преграждает ему дорогу в точках самопересече. ния поверхности. гл.

ть топология Вследствие этого гептаэдр называется односторонней поверх» пастью, в то время как шар и рассмотренные до сих пор крендели называются двусторонними. Для поверхностей, имеющих границу, также можно провести такое различие. Для этого следует посмотреть, имеется ли на поверхности (которую рассматриваем как пленку) такой путь, который ведет с одной стороны поверхности на другую без того, чтобы при этом приходилось пересекать границу поверхности или просверливать поверхность в том месте, через которое проходит рассматриваемый путь. Если такой путь на поверхности имеется, то поверхность называется односторонней; в противном случае — двусторонней.

Поверхности с границей, рассмотренные нами до сих пор, были все двусторонними; на- Я пример, круг. Оказывается, можВ Ю лее простой, чем гептаэдр, односторонней поверхности, имевшей Рис. 291. границу, именно, поверхность Мебиуса. Мы построим эту поверхность из бумажной полоски, которая имеет вид сильно вытянутого прямоугольника (рис. 291). Если мы сложим короткие стороны АВ и СВ так, что точка А совладает с точкой С, а точка В с точкой В, то получим, как мы уже видели выше, кусок кругового цилиндра, двустороннюю поверхность с двумя краями.

Вместо этого мы теперь до складывания повернем на 180' один конец полосы по отношению к другому. Следовательно, мы сложим концы так, что точка А совпадет с точкой 1Э, а точка В с точкой С (рис. 292). Мы получим модель мебиусовой поверхности. Легко убедиться, что эта поверхность односторонняя. Начертим, например, до складывания линию РР', параллельную длинным сторонам прямоугольника. Эта прямая после складывания перейдет в линию ф;~', которая представляет путь, ведущий с одной стороны полосы на другую'). Односторонние поверхности можно охарактеризовать при помощи другого важного топологического понятия, для формулировки которого не приходится предполагать, что поверхность представляет собой пленку.

Представим себе, что вокруг всякой точки заданной поверхности (за исключением точек границы, если таковая имеется) проведена малая замкнутая кри- ') Различие между мебиусовой поверхностью и цилиндрической полосой можно усмотреть также в следующих двух явлениих: граница мебиусовой поверхности не распадаетси на две замкнутые кривые, подобна границе цилиндрической полосы, а состоит из одной единственной замкнутой кривой. Далее, если разрезать мебиусаву поверхность вдоль кривой 00', то она не распадается подобно цилиндрической полосе, а остается связной. в 4в. одностононннв позе»хностн 305 вая, целиком расположенная на поверхности.

Попытаемся теперь на всех этих замкнутых кривых так определить направление обхода, что достаточно близкие точки будут обходиться всегда в одном и том же направлении. Если такое установление направления обхода возможно, то оно называется ориентацией поверхности н поверхность называется орнентируемой. И вот, односторонние поверхности никогда не могут быть ориентируемы. Для доказательства этого представим себе один из тех замкнутых путей, существование которого равнозначно односторонности поверхности, например путь Щ' на мебнусовой поверхности, причем мы опять будем рассматривать точки Я и Я' как тождественные, Если установим для точки Я некоторое направление обхода и если сохраним это направление обхода на протяжении всего пути ЯЯ', то в точку Д = Я' мы необходимо придем с обратным направлением обхода.

Такое явление не могло бы наступить, если бы поверхность Мебиуса была ориентируемой. То же самое имеет место и для всех других односторонних поверхностей. Обратно, можно показать, что все двусторонние поверхности орнентируемы. Таким образом разделение поверхностей на двусторонние н односторонние тож- Рис. 292. дественно с разделением на ориентируемые и неорнентнруемые. Легко видеть, что поверхность тогда и только тогда неориентнруема, если на ней имеется такая замкнутая кривая з, что малая ориентированная окружность, центр которой непрерывно движется по кривой з, приходит в начальную точку ориентированной в противоположном направлении (напрнмер, кривая Щ' на рис.

292). Если на поверхности двигаться вдоль кривой з по одну сторону от этой кривой (по одному ее «берегу»), то в конце концов можно оказаться по другую сторону 'кривой, хотя при этом движении не приходилось пересекать кривую. Поэтому говорят, что кривая г имеет один «берег». В то время как на ориентируемых поверхностях все кривые имеют два берега, наличие замкнутых однобережных кривых характерно для неориентируемых поверхностей, Односторонние поверхности н однобережные кривые взаимно обусловливают друг друга.

Первое свойство относится к расположению поверхности в пространстве, а второе — к расположению кривой на поверхности. В противоположность мебиусовой поверхности гептаэдр содержит линии, проходящие сквозь поверхность. Повидимому, всякая односторонняя замкнутая поверхность должна пересе- гл.ш. топология 306 кать сама себя. В самом деле, этн поверхности имеют только одну сторону н, следовательно, не могут отграннчнвать части пространства от всего остального пространства, т.

е. онн не раз« бнвают пространство на внутреннюю н внешнюю части. Для замкнутой поверхностн без лежащих на ней лнннй самопересечення такое поведение нельзя себе представнть. И действнтельно, все односторонние замкнутые поверхности пересекают сами себя. Однако доказательство этого должно быть проведено совершенно иным путем. Не всякое самопересеченне поверхности представляет топо- логическую особенность. Рассмотрнм, например, поверхность Рис. 294. Рис.

ййз. вращения, возннкаюшую прн вращении изображенной на рнс. 293 кривой вокруг пунктирной прямой этого чертежа. Точ. ка А описывает окружность, представляющую кривую самопересечения этой поверхности. Однако путем непрерывной деформа. цнн можно перевести эту поверхность в поверхность врашення, образуюшая кривая которой изображена на рнс. 294. Эта поверхность не пересекается сама с собой н, очевидно, топологнчески эквнвалентна шару. Обратно, можно получить нз шара описанную поверхность врашення.

Таким образом наличие крнвых самопересечення не представляет существенного топологнческого свойства. В то время как здесь кривая самопересечення замкнута, кривая самопересечення гептаэдра имеет шесть концевых точек, именно вершины гептаэдра. Этн точки дейстннтельно следует рассматривать как особенности. Окрестность обыкновенной точки поверхности всегда может быть непрерывной деформацией преобразована в круг; для окрестности вершины гептаэдра (рнс.

288) подобная деформация не всегда возможна. Гептаэдр имеет шесть особых точек, н возникает вопрос, имеются лн вообше односторонние замкнутые поверхности без особых точек. Клейн первый дал пример подобной поверхности. Будем всходить нз трубы, открытой с обенх сторон (рнс. 295). Выше мы получали нз подобной трубы путем ее изгибания н скленвання границ поверхность тора. Сейчас мы будем прикладывать границы друг к другу несколько иным способом. Представим з м.

одностогонние поваихностн зот Рис. 297 себе, что один конец трубы несколько уже, чем другой, и соответствующим изгибанием добьемся такого расположения, чтобы более узкий конец трубы, пройдя через стенку трубы, выходил в отверстие широкой части трубы так, чтобы оба граничных круга расположилнсь концентрично (рис. 296). Изгибая теперь внешний широкий круг внутрь, а внутренний узкий Рис. 295. круг наружу, мы можем соединить обе границы так, чтобы при этом не получалось особенностей. Таким образом мы получим поверхность Клейна («бутылку Клейна») (рис. 297). Она, очевидно, односторонняя и имеет замкнутую кривую самопересечения в том месте, где мы воткнули узкий конец трубы в стенку широкой ее части. Первый пример замкнутой односторонней поверхности, именно, гептаэдр, отличался от рассмотренных выше двусторонних замкнутых поверхностей тем, что он имел четную связность; поэтому мы моглибы ожидать, Рис.

Характеристики

Список файлов книги