Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (947379), страница 67
Текст из файла (страница 67)
2"Ь. что и поверхность Клейна также имеет четную связность. В действительности же эта поверхность трехсвязна так же, как итор. Каноническая система разрезов может быть здесь выбрана так же, как и в случае тора; а качестве первого замкнутого разреза выберем шов, вдоль которого были соединены концы трубы.
За второй разрез примем ту кривую, которая переходит в отрезок образующей цилиндра, если разрезать поверхность Клейна вдоль шва и снова привести ее в цилиндрический вид. После разрезания поверхности Клейна вдоль этих двух кривых она так же, как и тор, переходит в прямоугольник. Но всякая кривая, соединяющая две точки контура прямоугольника, разбивает прямоугольник; поэтому для поверхности Клейна имеем согласно общему определению Ь вЂ” 1= 2, т. е.
й = 3, что итрвбовалось доказать. гл. чг, топология Таким образом мы получили из прямоугольника (или квадрата) посредством склеивания его сторон различными способами пять различных поверхностей, которые сопоставлены а таблице ') (см. таблицу на с. 309). Содержащиеся в таблице данные относительно проективпой плоскости ниже будут обоснованы.
Из этой таблицы следует, что мы можем получить мебпусову поверхность из модели бутылки Клейна, если мы устраним одно из двух склеиваний границ. Следовательно, если разрезать поверхность Клейна вдоль соот. ветственно выбранной замкнутой кривой, то мы должны получить поверху) ность Мебиуса. Предоставляем читателю проделать это на модели. На рис. 298 показано превращение бутылки Клейна в две мебиусовые полосы путем ее разрезания. Читатель может попытаться сделать соответствующий переход на квадратной модели.
В то время как мы б,) имели примеры замкну- тых односторонних поРис. 298. верхпостей как с четной, так и с нечетной связно. стью (гептаэдр и поверхность Клейна), приведенные до сих пор замкнутые двусторонние поверхности всегда имели нечетную связность. Можно показать, что не сушествует замкнутых двусторонних поверхностей четной связности. Так же как для квадрата, можно для всякого правильного 4р-угольника, склеивая различными способами его стороны, получить модели большого числа одно- и двусторонних поверхностей с границей и без границы.
Пусть АВ и СΠ— две поставленные в соответствие друг другу стороны 4р-угольника (рис. 299); тогда возможны два вида соответствия: 1) две ли- ') В проективном пространстве следует рассматривать однополостиый гиперболоид как поверхность, замкнутую в бесконечное"ч. На основании приведенной таблицы читатель может определить, эквивалентен ли топологически однополостный гиперболоид, рассматриваемый с втой точки зрения, бу тылке Клейка или тору. ам.
одностогоннне поввяхностн нии, соединявшие соответствующие друг другу точки, не пересекаются; 2) две такие линии пересекаются. Первый случай можно получить, например, если на рис. 299 отождествить А с С и В с О, а второй случай, если отождествляются точка А с точкой 0 н точка 3 с точкой С. Мы.утверждаем еле.
дующее: если какие-нибудь две стороны А 4р-угольника поставлены в соответствие Т Я друг другу по второму способу, то получа,ющаяся поверхность всегда односторонняя, независимо от того, какой вид соот- 1 у ветствия выбран для других сторон. Для доказательства воспользуемся методом, приведенным на с, 305, и покажем, что получающаяся поверхность неориентируем а. Пусть Р н Р' (рис. 299) — две отождествленные точки сторон' АВ и С0. / Тогда отрезок прямой РР' представляет замкнутый 'путь йа поверхности.
Точка, проходяшая . этот путь по поверхности, Рас. 2ээ, представлена точкой В, пробегающей путь по прямой РР' сначала до точки Р и затем возвращающейся из точки Р' всвое первоначальное положение. Припишем теперь точке поверхности, изображаемой точкой К,некоторое направление обхода, которое не должно изменяться прн движении этой точки..Для этого опишем вокруг точки Я окружность' весьма малого радиуса и изберем на этой окружности определенное направление обхода. Эта окружность должна непрерывно дви- з1о ГЛ. ЧЬ ТОПОЛОГИЯ гаться вместе с точкой Р.
При приближении точки В к точке Р только дуга БТ окружности остается внутри 4Р'-угольника. Чтобы получить на поверхности изображение замкнутой кривой, необходимо привлечь' точки 8'Т', лежащие на прямой СВ и отождествленные с точками ЗТ. Но так как прямые АВ и С0 приведены в соответствие друг другу по второму способу, то точки 5 и 8', а также точки Т и Т' расположены по разные сто. роны отрезка РР'. Таким образом замкнутая кривая на поверкности, имеющая определенное направление обхода, изображает. ся двумя дугами ВТ и Т'$'. Эта кривая не претерпевает разрыва, когда точка В приходит в точку Р, и начинает двигаться далее из точки Р'..
Прн удалении точки В на достаточное расстояние от точки Р'. дуга. БТ постепенно исчезает, а дуга Т'В" переходит в полную окружность. Однако 'эта окружность имеет направление обхода, противоположное тому, которое имела окружность при начале движения;. таким образом мы доказали; что изображаемая поверхность неориентируема. Односторонность проективной плоскости является частным случаем нашей теоремы: в модели проективной плоскости все соответствия — второго рода. Обратно можно легко показать, что если все соответствня— первого рода, то модель всегда представляет двустороннюю поверхность. Модель проективной плоскости мы получали из шаровой поверхности; в то же время поверхность Клейна оказалась связанной с тором, но в атом случае отношение.
между ними было другого рода, чем связь между шаром и проектнвной пло- ' скостью. Покажем теперь, что в действительности между .поверхностью Клейна и тором можно установить такое же соответствие, как между шаром и проективной плоскостью, и что вообще со всякой односторонней поверхностью можно таким же образом привести в соответствие некоторую двустороннюю поверхность. Мы получили из поверхности шара проективную плоскость,. ,рассматривая пары диаметрально противоположных точек как тождественные точки (с.
238). Проведем теперь такое же по. строение для тору. Будем называть центром тора точку М„в которой ось тора пересекается со всеми перпендикулярами, опущенными на нее из центров образующих кругов (рис.' 300). Еслй Р— какая-нибудь точка на торе, то точка Р', расположенная симметрично с точкой Р относительно центра М, также лежит на. торе: Будем называть диаметрально противоположными точками две точки тора, расположенные симметрично-относительно точки 1Й. Если рассматривать все пары диаметраль- .
но противоположных точек тора как тождественные, то можно й ат. ппонктипнля плоскость клк замкнутая поверхность ' з11 получить из тора новую поверхность Р. Мы утверждаем, что это' есть поверхность Клейна. Для доказательства рассмотрим образующий, круг тора. Этому образующему кругу соответствет другой образующий круг, как это видно на рис.. 300. Этими двумя кругами'тор разбивается на две половины. Мы можем получить поверхность Р, если отбросим одну половину тора, а в оставшейся половине отождествим точки границ, как было указайо выше; соответственно этому для построения проективной плоскости достаточно было брать полушар вместо целого шара.
Рассматривая теперь направление обхода на отождествляемых окружностях, можно убедиться, что при этом отождествлении из половины тора получается поверхность Клейна. Очевидно, мы можем вторую половину тора наложить на первую таким образом, чтобы все диаметрально противоположные точки попарно совпали.
При этом, как легко убедиться, мы дг)лжны вторую половину тора вывернуть наподобие перчатки так, чтобы внутренняя поверхность стала внешней., Если мы сложим опять обе половины, то тор превратится вдвлждыпокры- ьч тую поверхность Клейна' ). Поэтому говорят, что тор представ. й ! гг ляет двулнстную накрывающую поверхность для поверхности Рис.
Зсц Клейна. Точно так же шар определяют как двулистную накрывающую проективной плоскости. Вообще можно доказать, что для произвольной односторонней поверхности существует дэусторонняя поверхность, являющаяся для первой двулистной накрывающей поверхностью, й 47г Проективная плоскость как замкнутая поверхность Для определения связности проективной плоскости применим к квадратной модели теорему Эйлера о многогранниках. Проведем через центр М квадрата (рис, 301) параллели РО и )тЯ к сторонам квадрата, Таким способом мы разобьем квадрат на четыре квадрата: 1, 2, 3, 4. Вследствие соответствия сторон большого квадрата квадраты 1 и 3 изображают один и тот же многоугольник проективной плоскости. То же самое справедливо д4я квадратов 2 и 4.
Далее стороны РМ и (~М следует рассмат- ') Это построение не может быть проведено при помоши простой деформации тора, как могло бы показаться с первого взгляда. Необходимо тор разрезать, чтобы можно было вывернуть одну половину тора. згй гл. яь топология -ривать как одно и то же ребро, гак как точки Р и Я представ'ляют одну и ту же точку, Точно так же стороны ЯМ и ЯМ об))азуют одно и то же ребро. В качестве вершины следует рассматривать только одну точку. Поэтому в формулу Эйлера следует подставнтвя Е= 1, К = 2, Р = 2. Теорема Эйлера дает: Š†.К + Р = 1 = 3 — Ь. Следовательно, проективная плоскость двусвязна,' как это указано в таблице на щ 309.
В аналитической проективной геометрии играет роль другое разбиение плоскости, которбе возникает при введении трилинейных координат. Это разбиение изображено иа рис. 302, причем вместо квадрата использован в качестве модели круг. Эта поверхность разбивается на семь областей тремя дугами, уу ие проходящими через одну и ту же точку. 4 3 Допустим, что каждая из этих дуг пересекается с границей круга в диаметрально противоположных точках. Тогда области 2 н 5 соРис,301.
ставляют один-единственный треугсьпьник; точно так же области 8 и 6, 4 и 7 определяют ,у по одному треугольнику. Можно убедиться, д что три прямые, не проходящие через одну и 4 ту же точку, разбивают проективную, пло- скость подобным же образом иа четыре тре.к ' угольника,'). Теперь нужно подставить в формулу Эйлерр Е = 3, К = б, Р =4, и мы снова получаем й = 2.
Рис.. 302, Точно так же, как мы получали поверхность тора и поверхность Клейна из их квадратных моделей путем склеивания сторон, мы можем использовать квадратную модель для получения проектнвной плоскости. Для этого деформируем сперва квадрат, превратив его в иоверхибсть шара, нз которого вырезан малый четырехугольник АВСР (рис. 303). Далее следует склеить АВ с СО и ВА с ВС. Это будет возможно, если мы приподнимем поверхность в точках А и С и опустим в точках В и О, сблизив точки А и С и точки В и.0 (рис. 304). В конечном счете мы получим замкнутую поверхность, имеющую в качестве линии ') Изображеяиые иа рис, 301 и 302 разбиеиия проективиой плоскости мы получали иа с.
Щ 153 при помощи проекций октавдра, Как читатель может убедиться, то же самое разбиеиие имеет место иа поверхности тептавдра. Эта поверхность, следовательно (так же как и «римская» поверлиость Штейиера), представляет собою модель проективиой плоскости. $ ЕТ. ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ КАК ЗАМКНУТАЯ ПОВЕРХНОСТЬ 313 самопересечения прямолинейный отрезок (рис. 305).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
